2025-2026学年北师大版八年级数学上册《二元一次方程与一次函数》导学案

第五章二元一次方程组

5.4二元一次方程与一次函数导学案

A学习目标与重难点

学习目标：

1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.

2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.

3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神,

进一步激发学生学习数学的兴趣.

学习重点：二元一次方程（组）和一次函数的关系：

学习难点：数形结合和数学转化的思想意识

A预习自测

一、知识链接

I.若两个变量x,y间的对应关系可以表示成的形式,

则称y是x的一次函数.

2.若两条直线互相平行，则这两条直线中的k.

3.关于x的一元一次方程都可以变形为kx+b=O（k/））的形式，方程kx+b=O的解即为函数y=kx+b

当时x所对应的值，从图象上看，则为函数图象与x轴交点的.

4.解二元一次方程组的方法有L

二、自学自测

（本节课内容预习自测，设置3-5个练习，选择题或填空题均可，题目难度相对简单）

教学过程

合作交流、新知探究

探究一；二元一次方程与一次函数的关系

问题1.方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.

问题2.以这些解为坐标的点在一次函数y=-x+5的图象上

吗？

问题3.在一次函数图象上任取几个点，它们的坐标适合方程x+y=5吗？它们是方程的解吗？

问题4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=-x+5的图象相同吗？

探究小结：

x+y=5是二元一次方程，变形成y=-x+5称为一次函数。函数图像上的点都是二元一次方程的解。

小试牛刀

1.把下列二元一次方程转化为一次函数

（1）y-2x=1；（2）2y+x=4

2.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数的图像相同

3.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程x-2y=2的解的是（）

探究二，用图像法解二元一次方程组

1、作y=5-x的图像，取两点（，）,（

出一次函数y=5-x的图象

2、作y=2x-l的图像，取两点（，），（

出一次函数丫二件％蟒墨5

3、解方程组［2x-y=\

I

解得：•

思考：方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系?

【方程组的解就是两直线的交点坐标】

小试牛刀

1.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图像，所得两条直线（）

A.有无数个交点B.没有交点C.只有一个交点D.以上都有可能

2.根据下列图象，说出哪些方程组的解.

探究三：两直线平行十方程组解的关系

1、在同一耳角坐标系的，一次函数y=x+

的图象有怎厢位置头系？

2、方程组解的情况如何？

3、探究小结

归纳：对于两条直线

当klrk2时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解.

当kl=k2bl#）2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解.

当kl=k2bl=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解.

小试牛刀：

1.已知二元一次方程组［ax-y+b=°的解为贝ij函数丫=1^+15和丫=1^的图象的交点坐标为______-

Ikx-y=O

2.以2x-；y=5方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象用同.

3..图中的直线y=x+4和直线y=2x+l的交点坐标是（1,3）则该坐标可以看作方程组的解。

y=-2x+3

y=2x

三、课堂练习、巩固提高

基础达标：

1.若方程组没有解，由此一次函数y=2~x与y=-x的图像必定().

A.重合B.平行C.相交D.无法判断

2.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？【】图象之间有何关系？【

3.直线y=ax+b和直线y=bx+3a的交点坐标是(2,-1),则a=,b

4、用图象法解方程组：

（得）

5.直线尸-2x+3与直线y=2x的交点坐标是方程组的解是

6.方程组/y=ax+4的解是f'=4则直线y=ax+4与直线y=bx+4的交点坐标是______—

Ly=hx+4Ly=。

7.如图，在平面直角坐标系中，直线//y=x+3与直线/,：y=mx+n交于点A(-l,b),则

关于X、y的方程组的解为()\|/

y=mx+n\1/

x=2x=2x=-l

y=ly=-l尸2

能力提升：

8.一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；

方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网E寸间计费。顾客选择那种收费方式更划算

呢？

CD:y=x+b

SMBD=2

拓展迁移:

9.如图，已知直线=分别与x轴、y轴交于点A,B,直线分别与x轴、

y轴交于点C,D,且直线AB与CD相

交于点P,.

(l)求b的值和点P的坐标；

(2)求AADP的面积.

四、总结反思、拓展升华

利用图像法求二元一次方程组的解一般步骤：

1、将两个方程化成一次函数形式；

2、画出两个一次函数图象；

3、找到两条直线交点坐标即为方程组的解

若两条直线相交，则交点就是二元一次万程组的解；

若两条直线平行，则二元一次方程组无解.

若两直线重合是二元一次方程组有无数个

五、【作业布置】

基础达标：

I.如图，若宜线)'=占*+4与直线〉=4相交于点A,则方程组?

的解是()

y=k2x+b2

x=-2fx=3J人=2(x=-2

A.l)'=3B.V，=_2C.b'=3口.U=-3

2.小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的

这个方程组可能是（）

第1题第2题第3题

3.如图，已知一次函数尸ax+b和尸kx的图象相交于点P,则根据图象可得二元一次方

程组[y=ax+b的解是（）

IKx-v=O

4.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（）

A.有一个交点B.有无数个交点C.没有交点D.以上都有可能

y=-x+2

5.以方程组二川的解为坐标的点在，）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.若直线4经过点（0,4）,4经过点（3,2）,且4与《关于x轴对称，则4与4的交点坐标为（）

A.(-2.0)B.(2,0)C.(-6.0)D.(6.0)

3x=T+y\x=—1

7.方程组的解为；所以点㈠'D是直线--------与直线-----------的交点.

8.直线y=kx-2和y=2x+k的交点的横坐标为2,则k=.

能力提升：

9如图，已知A（3,1）与B（l,0）,PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ=J],

（Q在P的下方），当AP+PQ+BQ最小时，Q点坐标为（）

拓展迁移:

2I

10.已知一次函数y=可%+。和％=-弓工+〃的图象都经过点A(2O),且与y轴分别交于点B,点C.

求4ABC的面积.

11.如图，一次函数L:y=kx+b(kX0)的图象经过A(0,4)和D(4,0)两点，一次函数L:y=x+l的图象

I2

与x轴交于点C,直线相交于点B连接AC.

的值：

⑵求点B的坐标；

(3)求△ABC的面积.

课堂练习参考答案:

1、B

2、没有；平行

3、a=-l,b=l

4、x=2

y=6

“a

6.、(4,0)

7、A

8、方法一：设上网时间为x分钟，收费为y元。

方式A:y=0.lx方式BY=0.05X+20

解方程组y=O.lx

y=0.05x+20

rx=4(x)

得V

_y=40

故交点坐标为（400,40）。

由图象知:

当0<x<400时，选方式A省钱;

当x=400时，选方式A或B都一样

当x>400时，选方式B省钱。

方法2：设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的差额yB-yA为y元,

得y=-0.05x+20,当差额为0是即

-0.05x+20=0得：x=400

故直线与x轴的交点为（400,0）

由图象知：

x（分）

当0<X<40()时，y>0,选方式A省钱；

当x二400时，y=0,选方式A或B都一样；

当x>400时，y<0,选方式B省钱

9、解答提不;

(1)求出A,B两点的坐标A(-2,0),B(0,1);根据三角形ABD的面=2和A,B的坐标,求出D点坐标，即

可求出b.再把两个二元一次函数联立成方程组，可求出P点坐标。

(2)三角形ADP的面积二三角形ABD面积+三角形BDP面积或等于三角形ACI)面积十三角形ACP面枳

答案是：(l),b=-l；P(4,3)

(2),6

课外作业参考答案:

9、解析】:作B点关于PQ的对称B1,BQ;BjQ,B(l,0);B[(0,1);

过A点作MN〃PQ,并将A点沿MN向下平移五单位得A-由于A(3,1),AA,=V2.

AA,(2,0),则四边形AA.PQ是平行四边形，得到AP=QA1如图；

AP+PQ+BQ=QA1+PQ+BQ],由于PQ是固定值，只有当储、Q、1“三点共线时AP+PQ+BQ值最小。E((0,1);A

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।(2,0)用待定系数法求出A।B1的解析式y=-0.5x+l,与直线y=x联立解方程求出交点坐标，Q(Q，Q)