空间向量与立体几何解答题专练+-2026届高三数学一轮复习

-2-空间向量与立体几何一轮复习解答题专练1．（25-26高二上·天津·月考）如图，在直三棱柱中，，为中点，，.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)点在线段上，且，求到平面的距离.2．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，.(1)证明：平面；(2)若，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积；(3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.3．（25-26高二上·广东茂名·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，，.(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.4．（25-26高二上·山东淄博·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD．是等腰三角形，且．在梯形ABCD中，，，，，．(1)求证：平面PCD；(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值；(3)棱BC上是否存在点Q到平面PBA的距离为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．5．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是菱形，，.(1)证明：；(2)求的长；(3)线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.参考答案1．解：（1）由直三棱柱性质可得平面，又、平面，则，，又，故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有、、、、、，则、、、，设平面与平面的法向量分别为、，则有，，令，则，，，即、，则，故，故平面平面；（2），平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，故，即直线与平面所成角的大小为；（3）由，则，则，又平面的法向量为，则到平面的距离.2.解：（1）延长，交于点，连接，因为平面，，平面，所以，，即，.因为为等边三角形，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，即平面.（2）由（1）可知，，两两垂直，故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）易得，又，所以，所以，，，，.设，球的半径为，则，，，，，联立解得，，则球的表面积为.（3）由（2）可知，设，则易得，，则，，，.设平面的法向量为，则，故可取，设平面的法向量为，则，故可取.设平面与平面的夹角为，则，令，则，所以，则，故平面与平面夹角的余弦值的取值范围为.3．解：（1）因为，，，所以，即，在直三棱柱中，平面，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，得，则，易知平面的法向量为，则，设平面与平面的夹角为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.（2）假设线段上存在点，使得点到平面的距离是，由（1）知，，设，，所以，则，由（1）知平面的法向量为，，所以点到平面的距离为，解得，

所以当时，存在点满足题意.4．解：（1）因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）取BC中点E，连接PE，因为，E为BC中点，所以，因为平面PBC⊥平面ABCD，且平面平面，平面，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，过C作，交AB于F，则，所以，则，则，在中，.以D为原点，DA、DC及平面ABCD过点D的垂线分别为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则，所以，设平面APB的法向量，则，即，令，则，所以，设平面PBC的法向量，则，即，令，则，所以，由图象可得平面APB与平面PBC夹角为锐二面角，所以，所以平面APB与平面PBC夹角的余弦值为.（3）假设BC上存在点Q到平面PBA的距离为，设，，所以，由（2）得，平面PBA的法向量，所以点Q到平面PBA的距离，解得或（舍），所以棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为，且5．解：（1）易知，因为，所以，所以，故.（2）由（1）知，因为，所以，所以.（3）如图，取的中点，连结，则，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则由得解得，