辽宁省营口市普通高中2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷（含解析）

辽宁省营口市普通高中2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．下列直线中，倾斜角为的是（

）A． B． C． D．2．若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（

）A． B． C． D．103．设空间向量，则（

）A．6 B．9 C．-6 D．-94．设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（

）A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆5．在空间直角坐标系中，已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．6．若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（

）A．2 B． C．1 D．7．当时，圆与圆的位置关系不可能是（

）A．内含 B．相交 C．外离 D．外切8．如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（

）A． B．C． D．10．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（

）A． B． C． D．11．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为0B．的最大值为C．若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为D．若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为三、填空题12．两条平行直线之间的距离为.13．若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是，的离心率的取值范围是.14．在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为.四、解答题15．（1）分别求直线在轴、轴上的截距；（2）求过点，且与直线垂直的直线方程；（3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角.16．已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，虚轴长为4，且渐近线方程为.(1)求的标准方程；(2)设为上异于顶点，的动点，证明直线与的斜率之积为定值，并求该定值.17．在四棱锥中，底面.(1)证明：平面CDE.(2)设.（i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于.18．已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线.(1)求的标准方程.(2)若直线与交于，两点，求的最大值.(3)过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且.(1)求的方程.(2)设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为.（i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率.（ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

参考答案1．C【详解】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，所以这四条直线中，倾斜角为的是.故选：C2．B【详解】设双曲线的实半轴长为，则，所以到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为.故选：B.3．B【详解】因为，所以，解得故选：B.4．D【详解】设，，则（*），，由，，则，即有，将其代入（*），，化简得，即动点的轨迹为长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆.故选：D.5．A【详解】因为，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.故选：A.6．A【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得.设，则，则，因为点是线段的中点，，所以，所以.故选：A.7．C【详解】由题意圆，圆的圆心分别为，则，又圆，圆的半径分别为，两圆的圆心距，因为，所以两圆半径之和.即.而两圆外离的条件是，故两圆的位置关系不可能是外离.故选：C.8．B【详解】设球的半径为，球的大圆在光线照射下形成椭圆形，易知椭圆的长半轴长，短半轴长，因为，所以.故选：B9．AB【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点，所以，A正确，C错误.因为，且，，所以，B正确.，D错误.故选：AB．10．BCD【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，依题意得，即，解得，.故选：BCD11．ABD【详解】由题意知，设，则，对于A，，则，当时，取最大值，所以的最大值为正确.对于B，，所以，当时，取最大值，所以的最大值为，B正确；对于C、D，设，因为，所以，得，又，所以，C错误，D正确.故选：ABD12．【详解】之间的距离，即直线之间的距离为.故答案为：.13．【详解】由，得，则，所以.因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则，即，，所以的实轴长的取值范围为.且，所以.故答案为：；.14．6【详解】以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，，，，即，，当时，，此时为棱的中点；当时，，此时为棱的中点，设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN，，点的轨迹长度为6.故答案为：.15．（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3）【详解】解：（1）（方法一）由，得，所以直线在轴、轴上的截距分别为.（方法二）令，得，令，得，所以直线在轴、轴上的截距分别为.（2）（方法一）依题意设所求直线方程为，将点的坐标代入得，解得，所以所求直线的方程为.（方法二）因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为，即（或）.（3）（方法一）因为直线的倾斜角为，所以，又直线的斜率为，所以，所以直线的倾斜角为.（方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，所以这两条直线的倾斜角互补，所以直线的倾斜角为.16．(1)；(2)证明见解析，定值为4.【详解】（1）依题意可设的方程为，则解得，，所以的标准方程为.（2）证明：设，则，即，不妨设为左顶点，则，，则，

所以直线与的斜率之积为定值，且该定值为4.17．(1)证明见解析(2)（i）；（ii）证明见解析【详解】（1）证明：因为平面平面CDE，所以平面CDE.（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,

则.

设平面BCE的法向量为，则，令，得.

（i）设直线AD与平面BCE所成角为，因为，所以，所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.

（ii）证明：设平面CDE的法向量为，则,令，得.

设平面CDE与平面BCE的夹角为，由，所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于

.18．(1)(2)(3)存在；【详解】（1）设动点，则，，而，故，化简得：，故的标准方程为.（2）设，，联立得：，故，根据弦长公式得：，令，，

故，设，易知在上单调递减，故当，最大，即最大，此时，故（舍）或，故最大值为.（3）设点坐标为，，，过点的动直线为：.联立得：，故，，，又，位于过点的动直线：上，故，.则，将代入上式，得：，若使为定值，则必须为常数，而且与无关，故此时只能为.当直线的方程为时，也成立，故存在点，使得，此时点坐标为.19．(1)(2)（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，

则，

\则，又因为椭圆C的右顶点为，故，

所以，所以的方