2025年线性代数居家自测版试题

2025年线性代数居家自测版试题一、单项选择题（每题3分，共10题，共30分）设三阶行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix})的值为（）A.0B.1C.-1D.2设矩阵(A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})，则(A^{-1})的伴随矩阵(A^*)为（）A.(\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}-4&2\3&-1\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}4&-3\-2&1\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}1&-2\-3&4\end{bmatrix})向量组(\alpha_1=(1,0,0)^T)，(\alpha_2=(0,1,0)^T)，(\alpha_3=(1,1,0)^T)的秩为（）A.1B.2C.3D.0设(A)为(3\times4)矩阵，且(r(A)=2)，则齐次线性方程组(Ax=0)的基础解系所含向量个数为（）A.1B.2C.3D.4矩阵(A=\begin{bmatrix}2&1\1&2\end{bmatrix})的特征值为（）A.1,3B.-1,-3C.2,2D.0,4若矩阵(A)与(B)相似，则下列结论正确的是（）A.(A)与(B)合同B.(A)与(B)等价C.(A)与(B)有相同的特征向量D.(\vertA\vert\neq\vertB\vert)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_3^2)的矩阵为（）A.(\begin{bmatrix}1&1&0\1&2&0\0&0&4\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}1&2&0\0&2&0\0&0&4\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}1&1&0\1&1&0\0&0&4\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&4\end{bmatrix})设(A)为正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.(\vertA\vert=\pm1)B.(A^T=A^{-1})C.(A)的特征值的模为1D.(A)必为对称矩阵设(A)，(B)均为(n)阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）A.((AB)^T=A^TB^T)B.((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1})C.(\vertA+B\vert=\vertA\vert+\vertB\vert)D.(r(A+B)=r(A)+r(B))二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2)的正惯性指数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（每题4分，共5题，共20分）行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\0&4&5\0&0&6\end{vmatrix}=)________。设矩阵(A=\begin{bmatrix}1&0\2&1\end{bmatrix})，(B=\begin{bmatrix}1&1\0&1\end{bmatrix})，则(AB=)________。线性方程组(\begin{cases}x_1+x_2=1\x_1-x_2=3\end{cases})的解为________。设向量(\alpha=(1,2,3)^T)，(\beta=(3,2,1)^T)，则(\alpha)与(\beta)的内积(\langle\alpha,\beta\rangle=)________。二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2)的标准形为________（用正交变换法）。三、计算题（每题10分，共5题，共50分）计算四阶行列式(D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix})。设矩阵(A=\begin{bmatrix}1&2&3\2&2&1\3&4&3\end{bmatrix})，求(A^{-1})。解线性方程组(\begin{cases}x_1+x_2+2x_3=1\2x_1+3x_2+5x_3=2\3x_1+4x_2+7x_3=3\end{cases})，并写出其通解。设矩阵(A=\begin{bmatrix}0&-1&1\-1&0&1\1&1&0\end{bmatrix})，求其特征值和对应的特征向量。用配方法化二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3)为标准形，并写出所用的可逆线性变换。四、解答题（每题15分，共4题，共60分）设向量组(\alpha_1=(1,1,1)^T)，(\alpha_2=(1,2,3)^T)，(\alpha_3=(1,3,t)^T)，问：（1）当(t)为何值时，向量组线性无关？（2）当(t)为何值时，向量组线性相关？并求出此时向量组的一个极大线性无关组。设矩阵(A=\begin{bmatrix}1&-1&1\2&4&-2\-3&-3&5\end{bmatrix})，（1）求(A)的特征值和特征向量；（2）判断(A)是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵(P)和对角矩阵(\Lambda)，使得(P^{-1}AP=\Lambda)。已知线性方程组(\begin{cases}x_1+2x_2+kx_3=1\2x_1+kx_2+8x_3=3\end{cases})，（1）当(k)为何值时，方程组无解？（2）当(k)为何值时，方程组有唯一解？（3）当(k)为何值时，方程组有无穷多解？并求通解。设二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3)，（1）写出二次型的矩阵(A)；（2）求正交矩阵(Q)，使得(Q^TAQ)为对角矩阵；（3）判断二次型的正定性。五、证明题（每题