2025年线性代数期末考试试题（A卷）

2025年线性代数期末考试试题（A卷）考试时间：120分钟试卷总分：100分考试形式：闭卷注意事项：答案请写在答题纸上，写在试卷上无效。一、单项选择题（每题3分，共15分）设A和B均为n阶矩阵，且AB=O，则必有（）A.A=O或B=OB.|A|=0或**|B|=0**C.A+B=OD.|A|+|B|=0设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A.A=OB.B≠C时A=OC.A≠O时B=CD.|A|≠0时B=C设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是（）A.m<nB.m>nC.r(A)<nD.r(A)<m若ξ₁,ξ₂是方程Ax=b的解，η₁,η₂是方程Ax=0的解，则（）是方程Ax=b的解A.ξ₁+ξ₂B.η₁+η₂C.ξ₁-ξ₂D.2ξ₁-ξ₂设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不为0D.所有r阶子式都不为0二、填空题（每题3分，共15分）已知向量α=(1,2,3)与β=(t,4,6)正交，则t=__________。行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}$的值为__________。设3阶矩阵A的行列式**|A|=8**，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为__________。若η₁=(1,0,1)^T，η₂=(0,1,1)^T都是方程Ax=0的解，且r(A)=1，则A的行数n=__________。向量组α₁=(1,0,0)^T，α₂=(0,1,0)^T，α₃=(1,1,0)^T线性__________（填“相关”或“无关”）。三、计算题（10分）计算n阶行列式：$$D_n=\begin{vmatrix}0&1&1&\cdots&1\1&0&1&\cdots&1\1&1&0&\cdots&1\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&1&1&\cdots&0\end{vmatrix}$$四、计算题（10分）已知矩阵A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}，B=\begin{pmatrix}2&1\4&3\end{pmatrix}，且X=A^{-1}B，求矩阵X。五、计算题（10分）求齐次线性方程组的一个基础解系及其通解：$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\2x_1+3x_2+x_3+x_4=0\x_1+2x_3+2x_4=0\end{cases}$$六、计算题（12分）判定二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_2x_3$的正定性，并求该二次型的秩。七、计算题（10分）求向量组α₁=(1,2,3,4)^T，α₂=(2,3,4,5)^T，α₃=(3,4,5,6)^T，α₄=(4,5,6,7)^T的秩及一个极大线性无关组，并将其他向量通过该极大线性无关组线性表示。八、综合题（12分）已知矩阵A=\begin{pmatrix}2&0&0\0&3&a\0&a&3\end{pmatrix}（1）求A的特征值；（2）求可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵。九、证明题（6分）设A是n阶方阵，且A^2=A，证明：r(A)+r(A-E)=n，其中E为n阶单位矩阵。十、解答题（10分）设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，证明向量组β₁=α₁+α₂，β₂=α₂+α₃，β₃=α₃+α₁也线性无关。十一、解答题（10分）已知非齐次线性方程组：$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+tx_3=2\x_1+4x_2+t^2x_3=4\end{cases}$$问t取何值时，方程组有唯一解、无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求其通解。十二、解答题（10分）设矩阵A与B相似，其中A=\begin{pmatrix}1&2&3\0&4&5\0&0&6\end{pmatrix}，求：（1）矩阵B的行列式**|B|；（2）矩阵B的迹tr(B)；（3）矩阵B**的特征值。十三、计算题（10分）设A是3阶矩阵，已知A的特征值为1，2，3，对应的特征向量分别为ξ₁=(1,0,0)^T，ξ₂=(0,1,0)^T，ξ₃=(0,0,1)^T，求矩阵A及A^k（k为正整数）。十四、综合题（10分）设A是n阶实对称矩阵，证明：A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=P^TP。十五、应用题（10分）某工厂生产甲、乙、丙三种产品，每件产品消耗A、B两种原材料的数量如下表所示：|产品|原材料A（kg/件）|原材料B（kg/件）||------|------------------|------------------||甲|2|3||乙|1|