2025年线性代数社交网络分析试题

2025年线性代数社交网络分析试题一、填空题（每题3分，共30分）设某社交网络有5个用户节点，其邻接矩阵(A)满足(A_{ij}=1)（若用户(i)与(j)互相关注），(A_{ij}=0)（否则）。若矩阵(A)的秩为3，则该网络中用户的最大独立集规模为________。在微博社交网络中，用户影响力可用特征向量中心性度量。设用户影响力向量(\boldsymbol{x})满足(A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x})，其中(A)为邻接矩阵，(\lambda)为最大特征值。若(A=\begin{pmatrix}0&1&1\1&0&0\1&0&0\end{pmatrix})，则(\lambda=)________。某短视频平台的推荐系统使用矩阵分解技术，将用户-内容交互矩阵(M\in\mathbb{R}^{1000\times500})分解为(M=UV^T)，其中(U\in\mathbb{R}^{1000\timesk})，(V\in\mathbb{R}^{500\timesk})。若(\text{rank}(M)=20)，则最优分解维度(k=)________。社交网络中信息传播的阈值模型可表示为线性方程组(\boldsymbol{x}=\betaA\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b})，其中(\beta)为传播概率，(\boldsymbol{b})为初始感染向量。当(\beta)满足________时，系统存在唯一解。设某学术合作网络的拉普拉斯矩阵(L=D-A)（(D)为度矩阵），其特征值为(0=\lambda_1\leq\lambda_2\leq\dots\leq\lambda_n)，则该网络的连通分支数为________。在微信朋友圈的社交关系中，若用户(A)到用户(B)的有向路径数量由(A^k)的元素((A^k)_{AB})表示，则长度为2的路径数量对应的矩阵运算为________。某社交平台的用户活跃度向量(\boldsymbol{v}=(3,1,4,1,5))，其(L_2)范数(|\boldsymbol{v}|_2=)________。利用SVD分解对社交网络邻接矩阵(A)降维时，若保留前(r)个奇异值，则重构误差由剩余奇异值的________决定。设某网络的模块度矩阵(Q=(A_{ij}-\frac{k_ik_j}{2m}))，其中(k_i)为节点度，(m)为总边数，则(Q)的迹(\text{tr}(Q)=)________。在舆情传播模型中，若初始感染向量(\boldsymbol{x}_0=(1,0,0))，传播矩阵(P=\begin{pmatrix}0.8&0.1&0.1\0.2&0.7&0.1\0.3&0.2&0.5\end{pmatrix})，则第2步的感染向量(\boldsymbol{x}_2=)________。二、选择题（每题3分，共15分）下列矩阵中，可表示无向社交网络邻接矩阵的是（）A.(\begin{pmatrix}0&1&0\0&0&1\1&0&0\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}0&1&2\1&0&3\2&3&0\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&0&1\0&1&0\1&0&1\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}0&-1&1\1&0&-1\-1&1&0\end{pmatrix})关于特征向量中心性与PageRank的区别，下列说法正确的是（）A.两者均依赖邻接矩阵的最大特征值B.PageRank引入阻尼因子解决无入度节点问题C.特征向量中心性对有向网络无效D.PageRank的计算复杂度高于特征向量中心性设社交网络的邻接矩阵(A)的谱半径(\rho(A)=2.5)，则信息传播模型(\boldsymbol{x}(t+1)=\alphaA\boldsymbol{x}(t))的稳定性条件是（）A.(\alpha<0.4)B.(\alpha>0.4)C.(\alpha<2.5)D.(\alpha>2.5)下列线性代数工具中，不适用于社交网络社区发现的是（）A.谱聚类（基于拉普拉斯矩阵特征向量）B.非负矩阵分解（NMF）C.最小二乘法拟合D.k-means聚类（基于特征向量空间）若某社交网络的邻接矩阵(A)满足(A^T=A)且所有特征值非负，则该网络一定是（）A.有向网络B.无向网络C.加权网络D.完全图三、计算题（共55分）1.社交网络基础分析（12分）某学术合作网络包含5个研究者（节点1-5），其无向邻接矩阵为：[A=\begin{pmatrix}0&1&1&0&0\1&0&1&1&0\1&1&0&0&1\0&1&0&0&1\0&0&1&1&0\end{pmatrix}]（1）计算每个节点的度(k_i)及网络密度(\rho)；（2）求矩阵(A^2)，并解释元素((A^2)_{14})的含义；（3）判断该网络是否连通，并说明理由。解析：（1）节点度(k_i=\sum_{j=1}^5A_{ij})，则(k_1=2,k_2=3,k_3=3,k_4=2,k_5=2)。总节点数(n=5)，总边数(m=6)，网络密度(\rho=\frac{2m}{n(n-1)}=\frac{12}{20}=0.6)。（2）(A^2=A\timesA)，计算得：[A^2=\begin{pmatrix}2&2&2&1&1\2&3&2&1&2\2&2&3&2&1\1&1&2&2&1\1&2&1&1&2\end{pmatrix}]元素((A^2)_{14}=1)表示节点1与节点4之间长度为2的路径数量为1（如1-2-4）。（3）该网络连通，因为拉普拉斯矩阵(L=D-A)的第二小特征值(\lambda_2>0)（或通过图遍历验证所有节点可达）。2.特征值与社交影响力（15分）某微博大V的社交网络简化为有向图，邻接矩阵为：[A=\begin{pmatrix}0&1&0&1\0&0&1&0\1&0&0&1\0&0&0&0\end{pmatrix}]（1）求(A)的特征值与特征向量；（2）计算特征向量中心性（取最大特征值对应的特征向量）；（3）若节点4的出度增加1（即(A_{4j})中某元素从0变为1），分析对最大特征值的影响。解析：（1）特征多项式(|\lambdaE-A|=\lambda^4-\lambda^2=0)，特征值(\lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=0,\lambda_4=0)。对应特征向量：(\lambda=1)：(\boldsymbol{v}_1=(1,1,1,0)^T)(\lambda=-1)：(\boldsymbol{v}_2=(1,-1,1,0)^T)(\lambda=0)：(\boldsymbol{v}_3=(0,0,0,1)^T,\boldsymbol{v}_4=(1,0,-1,0)^T)（2）特征向量中心性由(\boldsymbol{v}_1)归一化得((0.33,0.33,0.33,0)^T)，节点4因无出度影响力为0。（3）节点4出度增加会使邻接矩阵非零元素增多，根据Perron-Frobenius定理，非负矩阵的最大特征值随元素增大而增大，故最大特征值将大于1。3.信息传播模型（14分）在某疫情舆情传播网络中，感染概率(\beta=0.5)，恢复概率(\gamma=0.2)，传播模型为(\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}=(\betaA-\gammaE)\boldsymbol{x})，其中(\boldsymbol{x})为感染比例向量，(E)为单位矩阵。网络邻接矩阵：[A=\begin{pmatrix}0&1&1\1&0&1\1&1&0\end{pmatrix}]（1）求传播矩阵(M=\betaA-\gammaE)；（2）判断系统平衡点(\boldsymbol{x}^*=0)是否稳定（提示：特征值实部符号）；（3）若初始感染向量(\boldsymbol{x}(0)=(1,0,0)^T)，求(t=1)时的近似感染向量（用一阶泰勒展开）。解析：（1）(M=0.5A-0.2E=\begin{pmatrix}-0.2&0.5&0.5\0.5&-0.2&0.5\0.5&0.5&-0.2\end{pmatrix})（2）特征值(\lambda_1=0.8,\lambda_2=\lambda_3=-0.7)，因存在正实部特征值，平衡点不稳定，疫情将扩散。（3）一阶泰勒展开(\boldsymbol{x}(1)\approx\boldsymbol{x}(0)+M\boldsymbol{x}(0)=(1,0,0)+(-0.2,0.5,0.5)=(0.8,0.5,0.5))。4.社区发现与矩阵分解（14分）某社交平台用户-兴趣矩阵(M\in\mathbb{R}^{4\times3})（行：用户，列：兴趣标签）：[M=\begin{pmatrix}5&3&0\4&0&2\0&4&5\2&5&0\end{pmatrix}]（1）用NMF分解(M=WH)（(W\in\mathbb{R}^{4\times2},H\in\mathbb{R}^{2\times3})），假设(W=\begin{pmatrix}5&3\4&0\0&4\2&5\end{pmatrix})，求(H)；（2）根据分解结果，将用户分为2个社区，解释分类依据；（3）计算重构误差(|M-WH|_F^2)。解析：（1）通过最小二乘法求解(H=(W^TW)^{-1}W^TM)，计算得：[W^TW=\begin{pmatrix}45&25\25&50\end{pmatrix},(W^TW)^{-1}=\frac{1}{1625}\begin{pmatrix}50&-25\-25&45\end{pmatrix},H=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&1\end{pmatrix}]（2）(W)的列向量代表社区特征：第1列对应“兴趣1-2”社区（用户1、2），第2列对应“兴趣2-3”社区（用户3、4）。（3）重构矩阵(WH=\begin{pmatrix}5&3&3\4&0&0\0&4&4\2&5&5\end{pmatrix})，误差(|M-WH|_F^2=(0-3)^2+(2-0)^2+(5-4)^2+(0-5)^2=9+4+1+25=39)。四、证明题（10分）设社交网络的邻接矩阵(A)为非负不可约矩阵，其最大特征值为(\lambda_{\text{max}})，证明：（1）(\lambda_{\text{max}}\leq\max_ik_i)（节点最大度）；（2）若网络为正则图（所有节点度相等），则(\lambda_{\text{max}}=k)。证明：（1）由盖尔圆盘定理，(\lambda_{\text{max}}\leq\max_i\sum_jA_{ij}=\max_ik_i)。（2）正则图中(A\boldsymbol{1}=k\boldsymbol{1})（(\boldsymbol{1})为全1向量），故(\lambda_{\text{max}}=k)。五、应用题（20分）某短视频平台有100万用户，采用协同过滤推荐算法，核心步骤如下：构建用户-视频交互矩阵(R\in\mathbb{R}^{10^6\times10^5})（稀疏矩阵，非零元素为播放次数）；对(R)进行SVD分解：(R=U\SigmaV^T)，保留前50个奇异值；计算用户相似度矩阵(S=UU^T)，推荐相似度最高的视频。（1）解释为何SVD分解可用于降维，说明(U,\Sigma,V