2025年线性代数生物启发计算中的群体智能试题

2025年线性代数生物启发计算中的群体智能试题一、选择题（每题3分，共30分）在粒子群优化算法中，粒子的位置更新公式可表示为矩阵形式X(k+1)=X(k)+V(k+1)，其中速度矩阵V的更新依赖于认知项和社会项的加权组合。若某粒子群系统的认知系数矩阵为C1=[[0.8,0],[0,0.8]]，社会系数矩阵为C2=[[0.5,0.2],[0.2,0.5]]，则该系统的群体信息交互强度可用矩阵的（）来衡量。A.特征值之和B.行列式C.迹D.条件数蚁群算法中，信息素矩阵τ的更新规则为τ=(1-ρ)τ+Δτ，其中ρ为挥发系数，Δτ为信息素增量矩阵。若初始信息素矩阵τ₀=[[5,3],[3,5]]，ρ=0.1，Δτ=[[2,0],[0,2]]，则经过一次迭代后的信息素矩阵τ₁的谱半径为（）A.6.3B.6.5C.7.0D.7.2遗传算法中，种群染色体的交叉操作可视为向量空间中的线性变换。若父代染色体向量为α=[1,0,1,0]ᵀ，β=[0,1,0,1]ᵀ，交叉算子矩阵P=[[1,1],[1,0]]⊗I₂（⊗为克罗内克积，I₂为2阶单位矩阵），则子代染色体向量P(α+β)为（）A.[1,1,1,1]ᵀB.[1,0,1,0]ᵀC.[0,1,0,1]ᵀD.[1,1,0,0]ᵀ群体智能系统的稳定性分析中，若系统状态转移矩阵A满足ρ(A)<1（ρ为谱半径），则系统（）A.渐进稳定B.临界稳定C.不稳定D.无法判断在蜂群算法的雇佣蜂-侦查蜂模型中，蜜源位置的邻域搜索可表示为xᵢⱼ=xᵢⱼ+φᵢⱼ(xᵢⱼ-xₖⱼ)，其中φᵢⱼ为随机数矩阵。若将该操作视为线性方程组Ax=b的迭代求解过程，则其迭代矩阵属于（）A.雅可比迭代B.高斯-赛德尔迭代C.超松弛迭代D.共轭梯度法鱼群算法中，个体的聚集行为可用向量场描述为v=k₁·∇ρ+k₂·∇u，其中ρ为种群密度，u为食物浓度。若ρ(x,y)=x²+y²，u(x,y)=-x²-y²，则该向量场的旋度在点(1,1)处的值为（）A.0B.2(k₁-k₂)C.2(k₁+k₂)D.4(k₁-k₂)多智能体系统的一致性问题中，若通信拓扑图对应的拉普拉斯矩阵L满足rank(L)=n-1（n为智能体数量），则系统（）A.存在唯一一致性解B.存在无穷多一致性解C.无法达成一致D.仅在无向图下达成一致模拟退火算法的温度衰减过程可建模为T(k+1)=αT(k)，其中α∈(0,1)。若初始温度矩阵T₀=diag([100,80,60])，α=0.9，当系统达到热平衡时（T→0），温度矩阵的核空间维数为（）A.0B.1C.2D.3狼群算法中，头狼位置的更新公式为Xₗ=Xₗ+η·rand·(Xᵦ-Xₐ)，其中Xᵦ、Xₐ分别为猎物和最差狼的位置向量。若将该过程视为线性变换，则其雅可比矩阵的特征值为（）A.1B.η·randC.1+η·randD.1-η·rand群体机器人的队形控制中，期望队形矩阵H与实际队形矩阵Ĥ的偏差可通过范数||H-Ĥ||₂衡量。若H为正交矩阵，Ĥ=H+E（E为误差矩阵），则当||E||₂<1时，Ĥ的逆矩阵近似为（）A.Hᵀ-EᵀB.Hᵀ+EᵀC.H-ED.H+E二、填空题（每题4分，共20分）粒子群优化算法中，粒子速度更新公式为vᵢₖ=ωvᵢₖ₋₁+c₁r₁(pᵢₖ₋₁-xᵢₖ₋₁)+c₂r₂(p₉ₖ₋₁-xᵢₖ₋₁)。若将该公式表示为矩阵形式V=AV+BP+CG，其中V为速度矩阵，P为个体极值矩阵，G为全局极值矩阵，则系数矩阵A的对角线元素为__________。蚁群算法求解TSP问题时，城市间距离矩阵D=[[0,5,8],[5,0,6],[8,6,0]]，信息素矩阵τ=[[0,2,3],[2,0,4],[3,4,0]]，启发函数矩阵η=1/D（对角线元素为0）。若某蚂蚁当前位于城市2，则其选择转移到城市3的概率（按轮盘赌选择）为__________（保留两位小数）。遗传算法中，种群适应度向量为f=[10,20,15,25]，选择算子采用比例选择，则选择概率向量p的L₁范数为__________。人工鱼群算法中，鱼群中心位置向量为μ=(1/4)(x₁+x₂+x₃+x₄)，其中x₁=[1,2]ᵀ，x₂=[3,4]ᵀ，x₃=[5,6]ᵀ，x₄=[7,8]ᵀ。则鱼群位置的协方差矩阵Σ=(1/4)Σ(xᵢ-μ)(xᵢ-μ)ᵀ的迹为__________。群体智能系统的一致性协议中，若智能体的状态更新规则为xᵢ(k+1)=Σₖ=1ⁿaᵢₖxₖ(k)，其中A=(aᵢₖ)为邻接矩阵。当A为__________矩阵时，系统能在有限步内达成一致性。三、计算题（每题10分，共30分）（粒子群优化的收敛性分析）已知粒子群系统的位置更新方程为：x(k+1)=x(k)+v(k+1)v(k+1)=0.8v(k)+0.5r₁(p(k)-x(k))+0.3r₂(g(k)-x(k))其中r₁,r₂为[0,1]上的随机数，p(k)为个体最优位置，g(k)为全局最优位置。（1）将系统表示为状态空间模型[x(k+1);v(k+1)]=M[x(k);v(k)]+N[p(k);g(k)]，求系数矩阵M和N；（2）若r₁=r₂=1，判断系统矩阵M的稳定性（需计算谱半径）。（蚁群算法的矩阵迭代）某蚁群系统的信息素更新规则为：τ(k+1)=(1-ρ)τ(k)+Q·Δτ(k)其中ρ=0.2，Q=10，Δτ(k)为第k代最优路径的信息素增量矩阵，且Δτ(k)=diag(1/Lₖ)，Lₖ为第k代最优路径长度。已知初始信息素矩阵τ(0)=diag([5,5,5])，第1-3代最优路径长度分别为L₁=2，L₂=1.5，L₃=1.2。（1）计算τ(1),τ(2),τ(3)；（2）求τ(k)当k→∞时的极限矩阵τ*。（遗传算法的种群多样性度量）设遗传算法种群的染色体向量空间为ℝ⁴，种群个体为：α₁=[1,1,0,0]ᵀ,α₂=[1,0,1,0]ᵀ,α₃=[0,1,0,1]ᵀ,α₄=[0,0,1,1]ᵀ（1）计算种群的协方差矩阵Σ；（2）利用Σ的特征值计算种群多样性指标D=tr(Σ)+det(Σ)。四、证明题（每题10分，共20分）证明：在粒子群优化算法中，当惯性权重ω=0，认知系数c₁=c₂=2时，粒子位置序列{x(k)}满足x(k)=Aᵏx(0)+(Aᵏ-I)(A-I)⁻¹b，其中A为系统矩阵，b为常向量，并证明当k→∞时x(k)收敛于(A-I)⁻¹b的充分必要条件是ρ(A)<1。证明：对于蚁群算法的信息素矩阵τ(k)，若挥发系数ρ∈(0,1)，信息素增量矩阵Δτ(k)有界（即存在M>0使得||Δτ(k)||₂≤M），则τ(k)必为收敛序列，并求其极限矩阵τ*。五、应用题（20分）（群体智能在传感器网络定位中的应用）考虑由4个传感器节点组成的无线传感器网络，节点坐标为s₁(0,0),s₂(10,0),s₃(0,10),s₄(10,10)。未知节点x的位置估计可通过粒子群优化求解，目标函数为：f(x)=Σᵢ=1⁴(||x-sᵢ||-dᵢ)²其中dᵢ为测量距离，d=[8,8,8,8]ᵀ（单位：m）。（1）写出目标函数f(x)的梯度∇f(x)，并证明其Hessian矩阵∇²f(x)为正定矩阵；（2）设计粒子群优化算法求解该问题，要求：粒子速度更新公式中引入梯度信息（即v(k+1)=ωv(k)+c₁r₁(p-x)+c₂r₂(g-x)+c₃r₃∇f(x)）设定初始种群x₀=[5,5]ᵀ+N(0,I₂)（正态分布采样）迭代5次，给出位置序列x(k)及目标函数值f(k)六、开放题（20分）（群体智能与量子计算的融合）量子粒子群优化（QPSO）算法将粒子位置表示为量子态|φ⟩=α|0⟩+β