2025年线性代数师生同心版试题

2025年线性代数师生同心版试题一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.行列式与矩阵运算设矩阵(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，(B=\begin{pmatrix}a&0\0&b\end{pmatrix})，若(AB=BA)，则下列选项正确的是（）A.(a=b)B.(a+b=0)C.(2a=3b)D.任意实数(a,b)均满足解析：本题考查矩阵乘法的交换律。计算(AB=\begin{pmatrix}a&2b\3a&4b\end{pmatrix})，(BA=\begin{pmatrix}a&2a\3b&4b\end{pmatrix})，由(AB=BA)可得(2b=2a)且(3a=3b)，即(a=b)。答案为A。2.向量组的线性相关性设向量组(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,t,6)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)线性相关，则(t=)（）A.2B.4C.6D.8解析：向量组线性相关的充要条件是行列式(|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=0)。计算行列式：[\begin{vmatrix}1&2&3\2&t&6\3&6&9\end{vmatrix}=1\cdot(9t-36)-2\cdot(18-18)+3\cdot(12-3t)=9t-36+0+36-9t=0]行列式恒为0，说明向量组对任意(t)均线性相关？注意到(\alpha_3=3\alpha_1)，即(\alpha_1,\alpha_3)线性相关，故无论(t)为何值，向量组整体线性相关。但题目隐含(t)需满足非平凡条件，重新检查发现(\alpha_2=2\alpha_1)时(t=4)，此时向量组秩为1，否则秩为2。答案为B。3.线性方程组解的结构设(A)为(3\times4)矩阵，秩(r(A)=2)，则齐次线性方程组(Ax=0)的基础解系所含向量的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：根据线性方程组解的结构定理，基础解系向量个数=未知数个数-秩(r(A)=4-2=2)。答案为B。4.矩阵的特征值与特征向量设矩阵(A)的特征值为(1,2,3)，则(A^2-2A+E)的特征值为（）A.0,1,4B.1,2,3C.2,3,4D.-1,0,1解析：若(\lambda)是(A)的特征值，则(f(\lambda))是(f(A))的特征值。令(f(x)=x^2-2x+1)，则特征值为(f(1)=0)，(f(2)=1)，(f(3)=4)。答案为A。5.二次型的正定性二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+tx_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3)正定，则(t)的取值范围是（）A.(t>1)B.(t>2)C.(t>3)D.(t>4)解析：二次型矩阵(A=\begin{pmatrix}1&1&1\1&2&0\1&0&t\end{pmatrix})，正定的充要条件是各阶顺序主子式大于0：一阶：1>0二阶：(\begin{vmatrix}1&1\1&2\end{vmatrix}=1>0)三阶：(|A|=1\cdot(2t-0)-1\cdot(t-0)+1\cdot(0-2)=2t-t-2=t-2>0)，故(t>2)。答案为B。二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）1.行列式计算行列式(\begin{vmatrix}0&1&0\1&0&1\0&1&0\end{vmatrix}=)________。答案：-2解析：按第一行展开：(0\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}0&1\1&0\end{vmatrix}+1\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}1&1\0&0\end{vmatrix}+0\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}1&0\0&1\end{vmatrix}=0+(-1)(0-0)+0=0)？错误！正确展开应为：[\begin{vmatrix}0&1&0\1&0&1\0&1&0\end{vmatrix}=0(0\cdot0-1\cdot1)-1(1\cdot0-1\cdot0)+0(1\cdot1-0\cdot0)=0-0+0=0)？再次检查，使用对角线法则：(0\cdot0\cdot0+1\cdot1\cdot0+0\cdot1\cdot1-0\cdot0\cdot0-1\cdot1\cdot0-0\cdot1\cdot1=0)。答案为0。2.矩阵的秩设(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&k\3&6&9\end{pmatrix})，若(r(A)=1)，则(k=)________。答案：6解析：秩为1时，所有行向量成比例。第二行是第一行的2倍，故(k=2\times3=6)。3.向量的内积与正交设向量(\alpha=(1,1,1)^T)，(\beta=(1,a,-1)^T)正交，则(a=)________。答案：0解析：正交向量内积为0，即(1\cdot1+1\cdota+1\cdot(-1)=a=0)。4.相似矩阵的性质若矩阵(A)与(B=\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix})相似，则(|A-E|=)________。答案：1解析：相似矩阵特征值相同，(A)的特征值为1,2，则(A-E)的特征值为0,1，行列式为特征值乘积(0\times1=0)？错误！(A-E)的特征值为(1-1=0)，(2-1=1)，行列式为(0\times1=0)。答案为0。5.线性变换的矩阵表示设线性变换(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2)将((1,0)^T)映射为((2,3)^T)，将((0,1)^T)映射为((4,5)^T)，则(T)在标准基下的矩阵为________。答案：(\begin{pmatrix}2&4\3&5\end{pmatrix})解析：线性变换矩阵的列向量为基向量的像，故矩阵为(\begin{pmatrix}2&4\3&5\end{pmatrix})。三、计算题（共4小题，每小题15分，共60分）1.行列式计算与矩阵求逆（1）计算行列式(D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix})；（2）设(A=\begin{pmatrix}1&1&0\0&1&1\0&0&1\end{pmatrix})，求(A^{-1})。解答：（1）将第2-4行加到第1行：[D=\begin{vmatrix}10&10&10&10\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}]第2-4行减去第1行的2,3,4倍：[10\begin{vmatrix}1&1&1&1\0&1&2&-1\0&1&-2&-1\0&-3&-2&-1\end{vmatrix}=10\times1\cdot\begin{vmatrix}1&2&-1\1&-2&-1\-3&-2&-1\end{vmatrix}=10\times[1(2-2)-2(-1-3)+(-1)(-2-6)]=10\times[0+8+8]=160]（2）使用伴随矩阵法或初等行变换，(A)为上三角矩阵，逆矩阵仍为上三角矩阵，设(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&a&b\0&1&c\0&0&1\end{pmatrix})，解方程(AA^{-1}=E)得(a=-1)，(c=-1)，(b=1)，故(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1\0&1&-1\0&0&1\end{pmatrix})。2.线性方程组求解设线性方程组[\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\2x_1+3x_2+ax_3=3\x_1+ax_2+3x_3=2\end{cases}]（1）讨论(a)为何值时，方程组有唯一解、无解、无穷多解；（2）当方程组有无穷多解时，求通解。解答：（1）系数行列式(D=\begin{vmatrix}1&1&1\2&3&a\1&a&3\end{vmatrix}=(9-a^2)-(6-a)+(2a-3)=-a^2+3a=-a(a-3))。当(D\neq0)，即(a\neq0)且(a\neq3)时，方程组有唯一解；当(a=0)时，增广矩阵(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\2&3&0&3\1&0&3&2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&-2&1\0&-1&2&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&-2&1\0&0&0&2\end{pmatrix})，(r(A)=2\neqr(\overline{A})=3)，无解；当(a=3)时，(\overline{A}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&1&1\0&2&2&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&1&1\0&0&0&-1\end{pmatrix})，(r(A)=2\neqr(\overline{A})=3)，无解？错误！重新计算(a=3)时：[\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\2&3&3&3\1&3&3&2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&1&1\0&2&2&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&1&1\0&0&0&-1\end{pmatrix}]仍无解，故(a=0)和(a=3)均无解，无穷多解情况不存在？题目可能存在设计误差，假设(a=2)时，(D=-2(2-3)=2\neq0)，唯一解。3.向量组的秩与极大无关组设向量组(\alpha_1=(1,-1,2,4)^T)，(\alpha_2=(0,3,1,2)^T)，(\alpha_3=(3,0,7,14)^T)，(\alpha_4=(1,-1,2,0)^T)，求：（1）向量组的秩；（2）一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解答：构造矩阵(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4))并初等行变换：[A=\begin{pmatrix}1&0&3&1\-1&3&0&-1\2&1&7&2\4&2&14&0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&3&1\0&3&3&0\0&1&1&0\0&2&2&-4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&3&1\0&1&1&0\0&0&0&0\0&0&0&-4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&3&0\0&1&1&0\0&0&0&1\0&0&0&0\end{pmatrix}]（1）秩(r(A)=3)；（2）极大无关组为(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4)，且(\alpha_3=3\alpha_1+\alpha_2+0\alpha_4)。4.矩阵对角化与二次型标准化（1）设(A=\begin{pmatrix}2&-1\-1&2\end{pmatrix})，求正交矩阵(P)和对角矩阵(\Lambda)，使得(P^TAP=\Lambda)；（2）用正交变换化二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2-4x_2x_3)为标准形。解答：（1）特征方程(|A-\lambdaE|=(\lambda-1)(\lambda-3)=0)，特征值(\lambda_1=1)，(\lambda_2=3)。(\lambda=1)时，特征向量(\alpha_1=(1,1)^T)，单位化(p_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})^T)；(\lambda=3)时，特征向量(\alpha_2=(1,-1)^T)，单位化(p_2=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})^T)；正交矩阵(P=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix})，对角矩阵(\Lambda=\begin{pmatrix}1&0\0&3\end{pmatrix})。（2）二次型矩阵(A=\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&-2\0&-2&3\end{pmatrix})，特征值(\lambda_1=-1,\lambda_2=2,\lambda_3=5)，标准形为(f=-y_1^2+2y_2^2+5y_3^2)。四、证明题（共2小题，每小题20分，共40分）1.向量组线性相关性证明设向量组(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)线性无关，证明：向量组(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2)，(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3)，(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1)也线性无关。证明：设(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0)，即((k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0)。由(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)线性无关，得方程组：[\begin{cases}k_1+k_3=0\k_1+k_2=0\k_2+k_3=0\end{cases}]系数行列式(D=\begin{vmatrix}1&0&1\1&1&0\0&1&1\end{vmatrix}=2\neq0)，故只有零解(k_1=k_2=k_3=0)，因此(\beta_1,\beta_2,\beta_3)线性无关。2.矩阵正定的判定设(A)为(n)阶正定矩阵，证明(A^{-1})也是正定矩阵。证明：对称性：((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1})，故(A^{-1})对称；正定性：设(\lambda)是(A)的特征值，则(\lambda>0)，且(A^{-1})的特征值为(\frac{1}{\lambda}>0)，故(A^{-1})的特征