2025年线性代数数据库中的查询优化试题

2025年线性代数数据库中的查询优化试题一、单项选择题（每题3分，共10题）在数据库查询优化中，矩阵的秩可用于分析连接操作的复杂度。若两个关系表的连接矩阵秩为r，下列说法正确的是（）A.连接结果的元组数量必为rB.该矩阵的行向量组线性无关C.可通过秩判定连接操作是否存在冗余计算D.秩越大表示连接效率越高设数据库索引对应的特征向量为α₁=(1,0,2)ᵀ，α₂=(0,1,-1)ᵀ，查询条件向量为β=(3,2,4)ᵀ，若β可由α₁,α₂线性表示，则该查询（）A.可通过索引加速，无需全表扫描B.需进行表连接操作C.存在查询条件冲突D.必须使用哈希索引给定查询代价矩阵A=，其特征值λ₁=5，λ₂=1，则该查询的最优执行计划对应（）A.特征值λ₁对应的特征向量方向B.特征值λ₂对应的特征向量方向C.矩阵A的行最简形D.矩阵A的伴随矩阵在分布式数据库中，某节点的查询负载向量为x=(2,3,1)ᵀ，负载转移矩阵P=，则经过一次负载均衡后，该节点负载为（）A.8B.10C.12D.14设关系表R的属性矩阵A为m×n阶，且r(A)=k，下列关于查询优化的说法错误的是（）A.可通过矩阵分解减少I/O操作B.索引设计应基于矩阵的列向量相关性C.当k=n时，查询条件需满足线性无关D.可利用奇异值分解（SVD）压缩查询结果数据库事务的ACID特性中，原子性（Atomicity）可通过下列哪种线性代数工具建模（）A.行列式B.正交矩阵C.初等变换D.线性空间的基设某查询的执行代价函数为f(x)=xᵀAx+bᵀx+c，其中A为正定矩阵，则最优解x满足（）A.Ax=bB.Ax*=-bC.Aᵀx*=bD.Aᵀx*=-b在时序数据库中，某指标的采样向量为v₁=(1,2,3)ᵀ，v₂=(4,5,6)ᵀ，v₃=(7,8,9)ᵀ，其协方差矩阵的秩为（）A.0B.1C.2D.3设查询优化器的决策向量空间维度为5，现有3个独立的优化策略，则该空间的维数为（）A.2B.3C.5D.8数据库索引的选择性可通过向量的哪种度量表示（）A.范数B.内积C.夹角余弦D.条件数二、填空题（每题4分，共5题）设某查询涉及3个关系表，其连接矩阵的奇异值分解为A=UΣVᵀ，其中Σ=diag(5,3,0)，则该查询的理论最小计算复杂度为______。给定查询条件向量组α₁=(1,2,3)ᵀ，α₂=(2,4,6)ᵀ，α₃=(5,1,2)ᵀ，该向量组的秩为______，对应的查询优化策略应合并______条件。分布式数据库中，若节点间通信矩阵为A=，则该系统的通信瓶颈位于第______节点，可通过______矩阵变换优化数据传输路径。设数据库缓存的命中率向量为h=(0.8,0.6,0.9)ᵀ，查询频率向量为f=(100,200,150)ᵀ，则加权命中率为______，优化时应优先缓存第______类查询。某查询的执行计划可用矩阵表示为P=，则该计划的执行顺序是先进行______操作（填“选择”或“连接”），再进行______操作，其时间复杂度为O(n______)。三、计算题（每题15分，共4题）设关系表R(A,B,C)的属性值矩阵为，查询条件为“B>2且C<5”。（1）写出该查询对应的行选择矩阵P；（2）计算P与A的乘积，得到查询结果矩阵；（3）若对属性B建立索引，其索引向量为α=(0,1,0)ᵀ，求查询条件向量在α上的投影，并分析索引有效性。已知数据库中有两个关系表：学生表S：(学号,姓名,专业)，对应矩阵S=（每行代表一个学生）成绩表G：(学号,课程号,成绩)，对应矩阵G=（1）用矩阵乘法表示连接查询“查询计算机专业学生的成绩”；（2）若专业列向量为p=(0,1,0)ᵀ（1表示计算机专业），求选择矩阵Q；（3）计算查询结果矩阵的行数，并分析该连接操作的时间复杂度。某查询优化器采用梯度下降法寻找最优执行计划，设代价函数为f(x,y)=3x²+2y²+2xy+4x+6y，其中x,y为两个执行参数。（1）写出代价函数的梯度∇f(x,y)；（2）求该函数的极小值点(x*,y*)；（3）若数据库系统限制x+y≤5，求约束条件下的最优解。分布式数据库包含3个节点，其数据分布矩阵为D=（D_ij表示节点i存储表j的比例），查询向量q=(1,0,1)ᵀ（1表示需要访问该表）。（1）计算各节点的查询负载向量；（2）若负载均衡目标为各节点负载方差最小，求负载转移矩阵T；（3）验证优化后各节点负载的标准差是否小于0.1。四、证明题（10分）设数据库查询的代价矩阵A为n阶实对称矩阵，证明：（1）A的特征值均为实数；（2）若A为正定矩阵，则该查询存在唯一最优执行计划。五、综合应用题（20分）某电商平台数据库包含用户表（U）、商品表（P）、订单表（O），其属性矩阵分别为：U：m×3（用户ID、年龄、消费等级）P：n×4（商品ID、类别、价格、库存）O：k×3（订单ID、用户ID、商品ID）平台需优化“查询25-35岁高消费等级用户购买的电子产品类商品”这一查询。（1）构建该查询的矩阵运算模型，包括选择矩阵、连接矩阵的定义；（2）利用矩阵的秩分析查询条件的冗余性；（3）设计基于特征值分解的索引优化方案，说明索引向量的选取依据；（4）若用户表和商品表分别存储在不同节点，计算分布式查询的通信代价矩阵，并给出负载均衡策略。（注：所有计算结果保留两位小数，矩阵运算需写出中间步骤）参考答案及评分标准（部分）一、单项选择题C2.A3.B4.B5.C6.C7.B8.B9.B10.C二、填空题8（解析：奇异值之和5+3=8）2，α₁与α₂（因α₁=2α₂，线性相关）2，初等行变换187（0.8×100+0.6×200+0.9×150），3选择，连接，²三、计算题（第1题示例）（1）行选择矩阵P=（对角线上1表示选中该行）（2）PA=（结果保留满足条件的第2、3行）（3）投影向量=αᵀβ/||α||²=2/1=2，因投影值唯一对应条件B>2，索引有效。四、证明题（提示）（1）利用实对称矩阵特征值的性质，通过内积证明λ=λ̄；（2）正定矩阵的二次型有唯一极小值，对应唯一最优解。五、综合应用题（要点）选择矩阵需同时过滤用户年龄（25-35）和消费等级（高）、商品类别