2025年线性代数数值线性代数初步试题

2025年线性代数数值线性代数初步试题一、填空题（本题总计20分，每小题2分）设矩阵(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，则行列式(|A|=)______。已知向量组(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,t)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)的秩为2，则(t=)______。设(A)为3阶方阵，且(|A|=2)，则(|2A^{-1}|=)______。齐次线性方程组(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\2x_1+3x_2+4x_3=0\end{cases})的基础解系所含向量个数为______。设(A)为正交矩阵，则(|A|=)______。二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2)对应的对称矩阵为______。已知矩阵(A\simB)，其中(B=\begin{pmatrix}1&0\0&2\end{pmatrix})，则(A)的特征值为______。向量(\alpha=(1,2,3))与(\beta=(4,5,6))的内积(\alpha\cdot\beta=)______。设(A)为(m\timesn)矩阵，若(r(A)=m)，则非齐次线性方程组(Ax=b)______解（填“有唯一”“无穷多”或“一定有”）。若矩阵(A)满足(A^2=A)，则(A)的特征值只能是______。二、选择题（本题总计10分，每小题2分）设(A,B)为同阶方阵，则下列等式成立的是（）A.(|A+B|=|A|+|B|)B.((AB)^T=A^TB^T)C.((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1})D.(|AB|=|A||B|)向量组线性相关的充要条件是（）A.向量组中含有零向量B.向量组中任意两个向量成比例C.向量组中存在一个向量可由其余向量线性表示D.向量组的秩小于向量个数设(A)为3阶方阵，且(r(A)=2)，则齐次线性方程组(Ax=0)的解空间维数为（）A.0B.1C.2D.3矩阵(A)的属于特征值(\lambda)的特征向量为(\xi)，则下列向量中仍为(A)的特征向量的是（）A.(A\xi)B.(\xi+A\xi)C.(\xi+\eta)（(\eta)为其他特征值的特征向量）D.(k\xi)（(k\neq0)）下列矩阵中不是正定矩阵的是（）A.(\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}3&0\0&4\end{pmatrix})三、计算题（本题总计60分，1-3题每小题8分，4-7题每小题9分）计算行列式(D=\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix})的值。解：通过初等行变换将行列式化为上三角形式：(D\xrightarrow{r_2-4r_1,r_3-7r_1}\begin{vmatrix}1&2&3\0&-3&-6\0&-6&-12\end{vmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_2}\begin{vmatrix}1&2&3\0&-3&-6\0&0&0\end{vmatrix}=0)。设矩阵(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，求(A^{-1})。解：方法一：伴随矩阵法。(|A|=1\times4-2\times3=-2\neq0)，故(A)可逆。(A^*=\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix})，则(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\begin{pmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix})。求向量组(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,6)^T)，(\alpha_3=(3,5,7)^T)的秩及一个最大无关组。解：对矩阵((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3))作初等行变换：(\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&5\3&6&7\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1,r_3-3r_1}\begin{pmatrix}1&2&3\0&0&-1\0&0&-2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_2}\begin{pmatrix}1&2&3\0&0&-1\0&0&0\end{pmatrix})。秩为2，最大无关组为(\alpha_1,\alpha_3)（或(\alpha_2,\alpha_3)）。设非齐次线性方程组(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+3x_3=2\x_1+3x_2+tx_3=3\end{cases})，讨论(t)为何值时，方程组有唯一解、无穷多解或无解；在有无穷多解时求通解。解：增广矩阵(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\1&2&3&2\1&3&t&3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1,r_3-r_1}\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&2&1\0&2&t-1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_2}\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&2&1\0&0&t-5&0\end{pmatrix})。当(t\neq5)时，(r(A)=r(\overline{A})=3)，方程组有唯一解；当(t=5)时，(r(A)=r(\overline{A})=2<3)，方程组有无穷多解。此时同解方程组为(\begin{cases}x_1=0-x_3\x_2=1-2x_3\end{cases})，令(x_3=k)，通解为(\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\1\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-1\-2\1\end{pmatrix})（(k\in\mathbb{R})）。设矩阵(A=\begin{pmatrix}2&-1\-1&2\end{pmatrix})，求正交矩阵(P)，使得(P^{-1}AP)为对角矩阵。解：（1）求特征值：(|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&1\1&\lambda-2\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-3)=0)，特征值(\lambda_1=1)，(\lambda_2=3)。（2）求特征向量：(\lambda=1)时，((E-A)x=0)，解得基础解系(\xi_1=(1,1)^T)，单位化得(\eta_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T)；(\lambda=3)时，((3E-A)x=0)，解得基础解系(\xi_2=(1,-1)^T)，单位化得(\eta_2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T)。（3）正交矩阵(P=(\eta_1,\eta_2)=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix})，且(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\0&3\end{pmatrix})。设向量组(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)线性无关，证明向量组(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2)，(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3)，(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1)线性无关。证明：设(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0)，即((k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0)。因(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)线性无关，故(\begin{cases}k_1+k_3=0\k_1+k_2=0\k_2+k_3=0\end{cases})，解得(k_1=k_2=k_3=0)，故(\beta_1,\beta_2,\beta_3)线性无关。用高斯消元法求解线性方程组(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=4\2x_1+5x_2+7x_3=9\3x_1+7x_2+8x_3=13\end{cases})。解：增广矩阵(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&2&3&4\2&5&7&9\3&7&8&13\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1,r_3-3r_1}\begin{pmatrix}1&2&3&4\0&1&1&1\0&1&-1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_2}\begin{pmatrix}1&2&3&4\0&1&1&1\0&0&-2&0\end{pmatrix})。回代得(x_3=0)，(x_2=1)，(x_1=2)，故唯一解为((2,1,0)^T)。四、应用题（本题总计10分）某工厂生产甲、乙、丙三种产品，每件产品消耗A、B两种原料的数量如下表所示：产品原料A（kg/件）原料B（kg/件）利润（元/件）甲213乙124丙325若每天原料A、B的供应量分别为100kg和80kg，问如何安排生产可使利润最大？解：设甲、乙、丙的日产量分别为(x_1,x_2,x_3)，目标函数(\maxz=3x_1+4x_2+5x_3)，约束条件：(\begin{cases}2x_1+x_2+3x_3\leq100\x_1+2x_2+2x_3\leq80\x_1,x_2,x_3\geq0\end{cases})。通过线性规划方法（如单纯形法）求解，可得最优解为(x_1=20)，(x_2=30)，(x_3=0)，最大利润(z=3\times20+4\times30=180)元。五、数值线性代数计算题（本题总计20分）用雅可比迭代法求解线性方程组(\begin{cases}4x_1+x_2=1\x_1+4x_2=2\end{cases})，取初始向量(x^{(0)}=(0,0)^T)，迭代2次。解：迭代公式：(\begin{cases}x_1^{(k+1)}=\frac{1-x_2^{(k)}}{4}\x_2^{(k+1)}=\frac{2-x_1^{(k)}}{4}\end{cases})。(k=0)：(x_1^{(1)}=0.25)，(x_2^{(1)}=0.5)；(k=1)：(x_1^{(2)}=\frac{1-0.5}{4}=0.125)，(x_2^{(2)}=\frac{2-0.25}{4}=0.4375)。用列主元消去法计算行列式(D=\begin{v