题型专练11相似三角形的计算与证明

第四部分题型专练题型专练11相似三角形的计算与证明1.（2025·南海）如图，已知在Rt△ABC中∠BAC＝90°.（1）实践与操作：用尺规作图法在边BC上找一点P，连接AP，使得△APC∽△BAC；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明）解：如答图，点P即为所求.（2）应用与求解：若AD为BC边上的中线，且AB＝7，AC＝6，△ABD的周长为16，求△ACD的周长.解：由条件可知BD＝CD.∵△ABD的周长为16，AB＝7，∴AD＋BD＝9.∴AD＋CD＝9.∴AD＋CD＋AC＝15.∴△ACD的周长为15.2.（2025·袁州）如图，在矩形ABCD中，E为边DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在边BC上的点F处，且AD＝6.（1）求证：△ABF∽△FCE.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵把△ADE沿AE翻折，点D落在边BC上的点F处，∴∠AFE＝∠D＝90°.∵∠BAF＋∠AFB＝90°，∠CFE＋∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠CFE.∴△ABF∽△FCE.（2）若F为BC的中点，求AE的长.解：∵F为BC的中点，BC＝AD＝6，

∵AF＝AD＝6，

3.（2025·拱墅）如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，连接EF，交对角线AC于点G，EF∥AD.（1）求证：△CFG∽△ABC.证明：∵EF∥AD，∴∠CFG＝∠D.∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B，CD∥AB.∴∠CFG＝∠B，∠FCG＝∠BAC.∴△CFG∽△ABC.（2）若CF＝2，FD＝4，AD＝3，求CG的长.解：∵CF＝2，FD＝4，AD＝3，∴CD＝CF＋FD＝2＋4＝6.

4.（2025·浦东）如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，∠A＝∠DCB，E是CD上一点，连接BE，BE＝BD.（1）求证：△ADC∽△CEB；证明：由条件可知∠BED＝∠BDE，则∠ADC＝∠CEB，∵∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CEB.

解：由（1）可知，△ADC∽△CEB，

由条件可知∠CEF＝∠CFE，∵∠CEF＝∠DCB＋∠CBE，∠CFE＝∠A＋∠ABF，∴∠CBE＝∠ABF.由（1）知，∠BED＝∠BDE，∠BED＝∠BFC，

5.（2025·徐汇）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF，连接EF.（1）求证：△AEF是等边三角形；证明：如答图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ADC＝∠B＝60°.∴△ABC和△ADC都是等边三角形.∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACF＝60°.

∴△ABE≌△ACF（SAS）.∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝∠CAE＋∠BAE＝∠BAC＝60°.∴△AEF是等边三角形.（2）延长EF，交AD的延长线于点G.求证：AE2＝CF·AG.证明：如答图，延长EF，交AD的延长线于点G，∵CB∥AD，CD∥AB，∴∠CEF＝∠G，∠FCE＝180°－∠B＝120°.∵FE＝FA＝AE