2025北京重点校初二（上）期末数学汇编：全等三角形（京改版）

2025北京重点校初二（上）期末数学汇编

全等三角形（京改版）

一、单选题

1.（2025北京门头沟初二上期末）如图，在△48。中，4C3=90。，AC=BC,40平分NB4C交4c于

点D,延长4c到点E,使CE=C。，连接交力。的延长线于点尸.给出下面四个结论：

E

①AD=BE@BE=2BF；③/16=4C+CZ）；④△相。的面积是△力CO的面积的2倍；上述结论中，所有

正确结论的序号是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.

2.（2025北京门头沟初二上期末）如图,AC,BD交于点、O,且力。=。。，添加下列条件不用判定

△//。^△。。。的是（）

A.AB=CDB.BO=DOC.ZJ=ZCD.4B=4D

3.（2025北京石景山初二上期末）如图,在△/4C中，N4C8=90。，CA=CB,。。是N/1C8内部的射线

且tBCD<45°.过点力作4E1CD于点E,过点B作BELCD于点F.给出下面四个结论①4EAB=ZFBA；

②48=3；③上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.0X2）®

4.（2025北京燕山初二上期末）如图，△ER7g"和是对应角.在△EFG中，FG是最长边,

在△NM”中，MH是最长边，EF=2.1cm,E//=1.1cm,Nl/=3.3cm,Z£=109°,则线段MW的长度及NN的

度数是（）

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5.(2025北京海淀初二上期末)如用，Z8=ZC,点。在48上，点E在4C上，若添加一个条件可使

△ABE^ACD,则添加的这个条件小可以是()

A.N8=NCB.AD=AE

C.乙4DC=NAEBD.BE=CD

6.(2025北京通州初二上期末)下面是“作N4O8的角平分线”的尺规作图方法：

(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线。408于点GD.

(2)分别以点C、。为圆心，大于［c。的长为半径作弧，两弧在/408的内部交于点

2

(3)作射线QW.。时就是N4O8的平分线.

上述方法通过判定△OMC3△OMQ得到NCQW=^DOM,其中到定△OMRAOMD的依据是：)

B

A,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.二边分别相等的两个三角形全等

二、填空题

7.(2025北京怀柔初二上期末)如图，△48C小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种全等三角

形的判定方法，以下是小明的操作过程：

第一步：尺规作图.

作法：(1)作射线QM；

(2)以点。为圆心，线段8c的长为半径画弧交射线0M于点E；

⑶以。为圆心，线段48的长为半径画弧；

(4)以七为圆心，线段力。的长为半径画弧，与前弧相交于点尸；

(5)连接。尸，EF.

第二步：把作出的S灯剪下来，放到V/8C上.

第三步：观察发现△44。和4所重合.

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根据小明的操作过程，请你写出小明探究的是哪种判定三角形全等的方法.

小明探究的是.

8.（2025北京东城初二上期末）如图，点£,产在8C上，AB=CD,AF=DE,AF,。七相交于点G,若

添加一个条件，可使得b出△QCE,则添加的条件可以是.

9.（2025北京怀柔初二上期末）如图，力产||CE,Z4=ZC,要使AABFmACDE,可以添加的条件是_

（添加一个即可）

10.（2025北京朝阳初二上期末）如图所示的网格为正方形网格，则N2-N1=

11.（2025北京石景山初二上期末）如图，AB〃CD,点、E,尸在8c上且8尸=CE.请你只添加一个条件,

使得VIE偿VOPC.

⑴你添加的条件是；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

⑵依据所添条件，判定△NE8与△Z）FC全等的理由是.

12.（2025北京二中初二上期末）如图，在3x3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1.则

Zl+Z2=.

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13.（2025北京西城初二上期末）如图，在△力CO和ABCE中，AC=BC,乙4CD=/BCE.只需添加一个条件

即可证明V4C店V3C£,这个条件可以是.（写出一个即可）

14.（2025北京通州初二上期末）如图，在△力8c中，AC=4,线段48的垂直平分线交力8,力C于点

N,若8N=3,则NC的长为.

15.（2025北京延庆初二上期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径''的探究任务，小聪想到

老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测显的物体，移'到可以直接测显的位置测后”于是他

设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒/C,4。的中点。固定，只要测得C。之间的距离，就可

知道内径48的长度.此方案中，判定△408卫△COO的依据是.

A

16.（2025北京燕山初二上期末）如图，点C是线段力8的中点，4DCA="BC.请你添加一个条件，使

XDA0XECB.你添加的条件是.（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

17.（2025北京大兴初二上期末）如图，在△力8C中，点力在8C边上，连接4。，且CQ=5,/1D=13,直线

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跖是边力C的垂直平分线，若点M在EF上运动,则VCQM周长的最小值为.

18.（2025北京平谷初二上期末）如图，点C在8七上，AB1BE,DE1BE,给出以下四个等量关系：

®JC1DC.®AB=CE,③"=④4C=CQ请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真

命题，并证明.

⑴条件：,结论：；（填序号）

（2）写出你的证明过程.

19.（2025北京怀柔初二上期末）如图，点4,E,C,厂在一条直线上，4c与OE相交于点。AB=DE,

N3=ADEF,BE=CF.求证：△ABHADEF.

20.（2025北京朝阳初二上期末）如图，点4B,C,。在一条直线上，4A=NFBD,AC=BD,EC\\FD.求

21.（2025北京平谷初二上期末）已知：如图，£尸是线段8C上的两点，AB=CD,AB\\CD,BE=CF.求

证：AF=DE.

22.（2025北京延庆初二上期末）如图,OC是/力。8的角平分线,点。在射线3上.点F在射线08上.

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点尸在射线。。上，连接。F,EF.请你添加一个条件，使“FD%OFE.

小明同学写出以卜条件：

①（）D=OE,②40DF=£0EF,③/OFD=/OFE,

④FD=FE,⑤）NADF=4BEF.⑥NDFC=NEFC.

他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使△。。出△。庄.”

（1）小明的说法（填“正确”或“错误”）；

⑵从小明写出的条件中选择一个（填写序号），使得△。尸补全图形，并写出证明过程.

23.（2025北京延庆初二上期末）在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图所

24.（2025北京东城初二上期末）如图，在△XBC和△4QE中，AB=AD,NB4D=/CAE,AC=AE.求

证：BC=DE.

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25.（2025北京西城初二上期末）如图所示的10x10网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在

格点上的三角形称为格点三角形.将与V4AC全等，并与V48C有且只有一条边重合的格点三角形称为

△ABC的“友好格点三角形

（1）画出以为公共边的△/1&?的所有“友好格点三角形”；

3MBC共有个“友好格点三角形

26.（2025北京大兴初二上期末）如图，在△上。中，片。是8c边上的中线，AC=AF,AB=AE,

NC4B+NE4E=180。.求证：上/=2/。.

27.（2025北京西城初二上期末）如图，点£尸分别在四边形/BCD的边48,CO的的延长线匕连接£7二

分别交力Q,BC干点、G.H.AB\\CD.AE=CF.EH=FG.

⑴求证："EHKFH；

（2）判断线段力。与4C'的位置关系，并证明.

28.（2025北京海淀初二上期末）如图，E是AB上一尽,CA=CD,CB=CE,/BCE=ACD.

求证：EC平分/BED.

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29.（2025北京大兴初二上期末）如图，点E,尸在8c上，BE=CF,4=NO,ZB=ZC,求证：力8=。。.

30.（2025北京通州初二上期末）已知：如图，点4D、B、£在同一直线上,

AC=EF,AD=BE,NC4B=ZFED,求证：BC=DF.

31.（2025北京燕山初二上期末）如图，AC和〃。相交于点。OA=OC,OB=OD.求证：/用二。D

32.（2025北京门头沟初二上期末）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AC=DB.AE=DF,BE=CF.求

证：/E=/F.

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参考答案

1.B

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.根据

全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可.

【详解】解=90°,

/BCE=180°-Z,ACB=90°,

在△/IOC和△AEC中，

AC=BC

•NACD=NBCE=9e,

CD=CE

二.△/^々△8£1C(SAS),

:,AD=BE,4CAD=NCBE,

故①正确，符合题意；

,二乙4DC=4BDF,4cAD=4CBE,

:ZCD=NBFD=90°,

：.AFiBE,

..ND平分N84C,

Z.EAF=BAF,

在△力EF和A4BF中,

"EAF=/BAF

-AF-AF,

[AAFE=^AFB=W

"EF义UBF(ASA),

EF=BF,AE=AB,

BE=2BF,

故②正确，符合题意；

：AE=AC+CE,AE=AB,CE=CD,

AB=AC+CD；

故③正确，符合题意；

根据三角形面积公式得，只有8O=2CO时，△44。的面积是“。。的面积的2倍，

故④错误，不符合题意；

故选：B.

2.A

【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法•一判断即可.

【详解】解：A、/408和NCOQ分别是和8的对边，不能判定故A符合题意；

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B、由SAS判定△48。空△C。。，故B不符合题意；

C、由ASA判定△/18gAC£)0,故C不符合题意；

D、由AAS判定故D不符合题意.

故选：A.

3.B

【分析】本题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，由4E1CQ于点£BF±CD

于点凡证明力/，则NE4B=NFB4,可判断①正确；再证明得4E=CF,CE=BF,

由EF=CF-CE=AE—BF,可判断③正确，由/«>&?,BC>CF,推导出月8>C凡可判断②错误；于

是得到问题的答案.

【详解】M：QAE1CD于点E,BELCD于点F,

:.AE\\BFf/AEC=/CFB=9(f,

NEAB="BA,故①正确；

•:乙4cB=90。,

上CAE=Z.BCF=90°-Z/fCF,

在“?/£和V5Cr中.

ZCAE=NBCF

"EC=NCFB,

AC=CB

「.△CAE^^BCF(AAS),

AE=CF,CE=BF,

EF=CF—CE=AE-BF,

..EF=AE-BF,故③正确，

'：AB>BC,BC>CF,

：.AB>CF,故②错误；

故选：B.

4.C

【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可求解•.

【详解】解:&EFGmANMH,ZF和4M是对应角.

；.NM=EF=2.Tcm,NN=NE=109。

故选：C.

5.D

【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可.

本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

【详解】解：A.添力Il/8=NC.

在〃BE,"CD中

第10页/共第页

Z5=ZC

■AB-AC

NBAE=/CAD

.•./B庐40)(ASA),

故此选项正确，不符合题意；

B.添力口力£>=4E,

在^ABEgACD中

AE=AD

•/-NBAE=Z.CAD

AB^AC

小8虐△4CO(SAS),

故此选项正确，不符合题意；

C.添力口乙4DC=NAEB

在A/18E△38中

ZJDC=NAEB

ACAD=ABAE

AC=AB

二.庐△/ICQ(AAS),

故此选项正确，不符合题意；

D.添加BE=CD,不符合任何一定判定定理，

无法证明，

故此选项错误，不合题意：

故选：D.

6.D

【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图得到0C=0Q,CM=QM,再根据O“=OM,得到

△OMyQl〃)(SSS),即可.

【详解】解：由作图过程可知，OC=OD,CM=DM,

■：OM=OM,

M)MC^OMD(SSS),

一.判定△0Af(W.0MQ的依据是三边分别相等的两个三角形全等.

故选：D.

7.SSS

【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS；三条边对应相等的两个三

角形全等，由此即可得到答案.

【详解】证明：由题意得：BC=DF,BA=DF,AC=FE,

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由SSS判定△48仪^DEF.

故答案为：SSS

8.乙4=/D（答案不唯一）

【分析】本题考查了三角形全等的判定：添加条件使三角形全等，由全等三角形的判定方法，即可得到答案.

【详解】依题意，若添加条件是4=NO,

.•.在△48/和中，

AB=DC

，4=，

AF=DE

二.△48/星△OCE（SAS）

二.使得△48/dDCE,

则添加的条件可以是4=NO（答案不唯一）

故答案为：4=NQ（答案不唯一）

9.AF=CE（答案不唯一）

【分析】本题考查全等三角形的判定方法，由题意得乙〃^=NC£下，推出N4Q=NCK。，结合N4=NC即

可求解；

【详解】证明：VAF\\CE,

;ZFE=NCEF,

•:ZAFB+Z.AFE=NCED+Z.CEF=180°,

:.ZAFB=/CED,

•/Z/i=ZC,

.•.当dF=C£1时，可通过ASA证△/〃产COE；

故答案为：力/=。后（答案不唯一）

1（）.90

【分析】先证△力4C治则可得N1=N3,再根据三角形外角定理即可得解..

本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理.熟练掌握以上知识是解眶的关键.

【详解】解：「△/8C和中,

AC=CE=2

-乙ACB=ZLCED=9（7,

[BC=DE=\

&△CZ）E（SAS）,

/.Z1=Z3,

,.・N2是△COE的一个外角，

.\Z2=Z3+ZCED,

即N2=N3+90°,

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/.Z2=Z1+9O°,

/.Z2-Zl=90°.

故答案为：90

11.=或4=NO或n。叱；(答案不唯一)SAS或AAS或ASA(答案不唯一).

【分析】本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关

键.

(1)由根据平行线的性质得N8=NC,由BF=CE得BE=CF,根据SAS,AAS,ASA添加相应的条件即可；

(2)先证明=再由平行线的性质得NB=NC,然后证明V4E偿即可得出结论.

【详解】解：.；BF=CE,

:.BF-EF=CE-EF,

即BE=CF,

AB//CD,

N8=NC,

「•添加的条件是48=。。，根据SAS,△力砥△。打C(SAS),

添加的条件是NJ=NO,根据AAS,△力诲△。/C(AAS),

添加的条件是"C,根据ASA,△AE晓2FC(ASA),

故答案为：4B=OC或4=/。或NAEB=£DFC；

(2)方法一：添加的条件是44=ZX?时:

•:BF=CE,

BF-EF=CE-EF,

即BE=CF,

AB//CD,

N4=NC.

在“AEB和△OEC中，

AB=DC

<N8=/C,

BE=CF

“E旌△QRT(SAS),

故答案为：SAS.

方法二：添加的条件是4=N。，

第13页/共27页

■:BF=CE,

:.BF-EF=CE-EF,

即8E=CF,

■:ABHCD、

ZB=NC、

在/EB和△OEC中，

Z=ZD

Z5=ZC,

BE=CF

△AE聆ADFC'Z^),

故答案为：AAS.

方法三：添加的条件是nAEB=cDFC,

•；BF=CE,

BF-EF=CE-EF,

即8E=C尸,

'：AB//CD,

£B=4C、

在一E4和△。尸。中，

2B=ZC

BE=CF,

ZAEB=NDFC

△/IE^ADFC(ASA),

故答案为：ASA.

12.1800/180ffi

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.根据SAS证

明△48。组利用全等三角形的性质与平行线的性质即可得到结论.

【详解】解：如图，标注字母，

在△Z6C与△£:7)尸中,

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BC=DF

■Z.ABC-/.EDF-W,

AB=DE

/.A=NBAC.

.•.由平行线的性质可得N84C+N2=180°,

Zl+Z2=180°.

故答案为：180°.

13.CD=CE（答案不唯一）

【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键.根据全等三角形的判定填

写即可.

【详解】解：添加的条件为：CD=CE,

QAC=BC,NACD=ZBCE,CD=CE,

二△力CNZk8C£（SAS）,

故答案为：CD=CE（答案不唯一）.

14.1

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相

等是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质得到N4=N&进而解答即可.

【详解】解：・「是线段//的垂直平分线，

:.NA=NB,

：.CN=AC-AN=AC-BN=4-3=\t

故答案为：1.

15.5JS/边角边

【分析1根据题意可得，OC=OA,OB=OD,4DOC=AOB,再根据全等三角形的判定方法，即可求解.

【详解】解：根据题意可得，OC=OA,4DOC=4OB,OB=ODt

则△力03COO（SAS）,

故答案为：SAS

【点睛】此题考杳了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.

16.DC=EB（答案不唯一）

【分析】由已知条件可知：NOO=NE8C,力。=。?，再添力口DC=EB,根据SAS判定

【详解】解：添加条件：DC=EB；

证明：•・,点C是线段的中点，

/.AC=CB.

在二D4c和aECB中，

第15页/共27页

DC=EB

Z.DCA-Z.EBC,

AC=CB

:.'DA0RECB(SAS).

故答案为：OC=E8(答案不唯一).

【点睛】本题是开放性题目，考查了全等三角形的判定；添加条件不唯一；熟练掌握全等三角形的判定方法

是解题的关键.

17.18

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AM=MC,则△CD”的周长=CO+CW+OM=C£>+4M+DW=5+4W+3M

即可得到当4M。三点共线时.4W+DW的值最小，此时4M+DM=4)=13,由此即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接4”，

•••S是力。的垂直平分线，M在"'上运动，

:XM=MC,

：.ACDM的周长=C7XCW+OM=C£>+4W+OM=5+4"+OM,

要想△COM的周长最小，即AM+DM的值最小，

.,.当4M、。三点共线时，力历+DM的值最小，此时4"+。/=4力=13,

.•.此时△CDM的周长=13+5=18,

「.△CDW的周长最小值为18,

故答案为：18.

【点睛】本题主要考查J'线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够热练掌握线段垂直平分线的性质.

18.⑴②③；①

(2)证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，命题，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

(1)根据全等三角形的性质与判定组成真命题即可"

(2)根据全等三角形的判定证明(1)中的命题即可.

【详解】(1)解：条件：①@或①③或①④或②③或②④或③④，结论：③或④；②或④；②或③；①或④；

①或③；①或②；(答案不唯一)

(2)证明：ABLBE,DE1BE,

N8=NE=90。，

(1)条件：①②，结论：③或④时

AC1.DC.

第16页/共27页

/.WACB=/D=900-4DCE,

在△48C和△CQE中

Z4CB=ZZ)

4B=NE,

AB=CE

...AABUACDE(AAS).

:.@BC=ED,④4C=CD.

(2)条件：①③，结论：②或④时

•••ACLDC,

：.2ACB=/D=900-/DCE,

在/VIA。和△CQE中

Z1CB=ND

BC=DE,

4B=/E

.•sABC^CDE(ASA).

.\®AB=CE,®AC=CD.

⑶条件：①④，结论：②或③时

•••AC].DC,

：.LACB=ZD=9()P-ZDCE,

在△43c和中

'NACB=ND

-4B=NE,

AC=CD

AABC^^CDE(AAS).

：.@AB=CE,③BC=ED.

(4)条件：②③，结论：①或④时

在△月BC和中

AB=CE

，=NE,

BC=DE

.^ABC^^CDE(SAS).

:“=NDCE,®AC=CD.

•「£)8=90°,

ZJ+ZJCZ?=90°,

NQCE+4CB=90°,

第17页/共27页

/./48=90。,

..(1)ACLDC.

(5)条件：②④，结论：①或③时

在对△48C和R〃CQE中

AB=CE

AC=C>

^ABC^^CDE(HL).

:Z=/DCE，®BC=ED.

・「£)8=90°,

Z/1+ZJCT=90o,

NQCE+4C8=90。，

ZJCZ>90o,

:.®ACLDC.

(6)条件：③④，结论：①或②时

在火h44。和用“、£)£中

AC=CD

[BC=DE,

：.LABC^^CDE(HL).

•,Z=/DCE,②AB=CE.

•.,£)8=90°,

.•/+ZJC8=90。，

2DCE+4cB=9。。,

ZJCD=90°,

.•.①4C1OC.

19.见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定，由=得到4。=£下，即可证明；

【详解】证明:：BE=CF,

?.BC=EF,

在V/J8C和必石尸中，

AB=DE

<4B=Z,DEF,

BC=EF

/."Bq^DEF.

2().见解析

【分析】本题主要考查三角形全等.解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质.

第18页/共27页

根据ECllFD得到乙4CE=/Q,结合=AC=BD,,得至I"/1C庐4A。尸(ASA),即可得到证明.

【详解】证明.•二EC"FD,

/ACE=4D.

在A4JE和VBDF中，

Z=4FBD,

•AC=BD,

RACE=ND、

.-.△/4C£^ABDF(ASA).

:.AE=BF.

21.证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，

先根据“两直线平行内错角相等“得N8=NC,再根据“边角边”证明△力弘'四△QCE,即可得出答案.

【详解】证明：VAB\\CD,

N8="

,:BE=CF,

BF=CE.

•.•在△48/和△QCE中

AB=CD

4=NC

BF=CE

:.&ABFDCE,

：.AF=DE.

22.⑴错误

(2)①或②或③或⑤或⑥，图见解析，证明见解析

【分析】本题考查了添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)，熟练掌握全等三角形的判定方法是

解题的关键.

(1)利用全等三角形的判定方法对小明同学写出的6个条件逐一分析判断即可；

⑵补全图形，从小明写出的条件中选择一个，然后利用全等三角形的判定方法证明△。自。笑△。心即可.

【详解】(1)解：对于小明同学写出的6个条件，

选择条件①时，可以利用SAS证明△0/7)名△。在\

选择条件②时，可以利用AAS证明

选择条件③时，可以利用ASA证明△0/7)g正，

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选择条件④时，利用SSA不能证明/△。氏E,

选择条件⑤时，可以利用AAS证明AOFDAOFE,

选择条件⑥时，可以利用ASA证明△O")AOFE,

••・小明的说法错误，

故答案为：错误；

⑵解：补全图形如下：

选择条件①时，证明如下：

70C是/力。8的角平分线，

£DOF=4EOF,

在AO广。和△OPE中，

OD=OE

­/DOF=/EOF,

OF=OF

:."F庐“FE(SAS);

选择条件②时，证明如下：

:0C是N4O8的角平分线，

:./DOF=NEOF,

在AO/7。和△(?比中.

4JDF=40EF

NDOF=ZEOF,

OF=OF

.•.△OFiaOFE(AAS);

选择条件③时，证明如下：

7OC是的角平分线，

4DOF=zlEOF,

在△。尸。和△(?在中，

ZDOF=/.EOF

<OF=OF,

乙0FD=40FE

.•・△8庐△。阻ASA);

选择条件④时，利用SSA不能证明底。丝心；

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选择条件⑤时，证明如下：

.「0C是/408的角平分线，

ND0F=4E0F、

•：ZADF=NBEF,

/.180。-4ADF=180°-ZBEF,

即：4ODF=4OEF,

在△（）尸。和△（?在中，

"ODF=NOEF

NDOF=NEOF,

OF=OF

/庐在（AAS）;

选择条件⑥时，证明如下：

「OC是/408的角平分线，

NDOF=NEOF,

,.,/DFC=NEFC,

:.180°-4DFC=180°-4EFC,

即:/OFD=NOFE,

在AO/T）和△。在中，

ZDOF=/.EOF

OF=OF,

40FD=40FE

.•.△"7若△（?阳ASA）:

故答案为：①或②或③或⑤或⑥.

23.证明见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

甲同学得方法中，通过作角平分线，可得再根据（SAS）,即可得出△力8底zUCQ（SAS）,

从而证明；乙同学的方法中，通过作垂线线，可得4E8=4EC=90。，再根据（HL）,即可得出

RM/I8庐Rt"CE（HL）,从而证明N〃=NC；丙同学得方法中，通过作中线，可得出、。“，再根据（SSS）,

即可得出△ZB启△4CE（SSS）,从而证明=NC.

【详解】证明：甲同学的方法：

证明：如图，作/历IC的平分线交8c于点D

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乙BAD=NCAD,

在和“C。中,

AB=AC

4AD=4CAD,

AD=AD

*“CD(SAS),

AN8=NC.

乙同学的方法：

证明：如图，作力七工8。于点£

Z.AEB=Z.AEC=W,

在RtA/18E和Ra/CE中，

'AB=AC

AE=AE'

Rl△"庐RtUCE(HL),

,Z5=ZC.

丙同学的方法：

证明：如图，取AC的中点E连接4厂.

BF=CF、

在△月勿'和△NC〃中，

AB=AC

BF=CF,

AF=AF

2△4b(SSS),

N8=NC.

24.证明见解析

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【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由乙%Z)=NOE可得N84C=NQ4£,进而可证

△力以工△/Q£(SAS),即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

【详解】证明：•二/胡。=/。后，

ZBAD+NCAD=ZCAE+ZCAD,

即N8XC=NO力E,

又：AB=AD,AC=AE

/.ADE(SAS),

/.BC=DE.

25.(1)画图见解析

(2)7

【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解新定义是解答关键.

(1)根据新定义画出图形即可；

⑵根据新定义和全等三角形的性质画出图形来求解•.

【详解】(1)解：根据题意作图如下

以46为公共边的V/18C的所有••友好格点三角形”为：“BCQABGQABG.

⑵解：根据题意画图如下，AABC的“友好格点、三角形"有“BG,△ABC?,△ABG,"CCr"CC’,AJCC3,

△4CG共7个.

故答案为：7.

26.证明见解析

【分析】延长力。到点“，使。〃=力。，连接C”.证△力。偿△HOC,WAB=CH,/DAB=/DHC.再

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证明理即可得证.

【详解】证明：延长力。到点〃，使。“=力。，连接c〃.

・「是8c边上的中线，

：.CD=BD.

；在“DB和△HOC中

BD=CD

NBDA=NCDH,

AD=HD

:.&ADB^AHDC,

；.AB=CH,/DAB=4DHC.

AB=AE,

：.CH=AE

tDAB=4DHC、

：.NC48+N〃C4=180。.

1/ZC4B+Z/s4E=180°,

/.AlICA=/LEAF.

在和△£>!产中

AC=FA

-NHCA=NEAF,

CH=AE

:力HC启AEAF,

AH-EF,

：.EF=2AD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，同角的补角相等，中线定义，熟

练掌握全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质是解题的关键.

27.⑴见解析

(2)AD//BC,证明见解析

【分析】本题考查了平行线的判定及性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键.