2025年高考数学试题分类汇编08：计数原理与概率统计

计数原理与概率统计

一、单选题

1.（2025•全国二卷）样本数据2,8,14,16,20的平均数为（）

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

【分析】由平均数的计算公式即可求解.

【详解】样本数据2814,16,20的平均数为2+8+：+16+20=三二⑵

故选：C.

2.（2025•上海）己知事件48相互独立，事件A发生的概率为P（A）=；,事件3发生的概

率为P（8）=g,则事件发生的概率尸（斗门的为（）

A."B.；c.yD.。

【答案】B

【分析】根据独立事件的概率公式可求P（Ac8）.

【详解】因为A3相互独立，故P（Ac3）=P（A）P（3）=；x；=；,

乙乙j

故选：B.

3.（2025•天津）下列说法中错误的是（）

A.若X~N（〃,〃），则P（XK〃一cr）=P（XN〃+b）

B.若X:/V（l,22）,Y/V（2,22）,则P（X<l）vP（y<2）

C.卜|越接近I.相关性越强

D.卜|越接近0,相关性越弱

【答案】B

【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可.

【详解】对于A,根据正态分布对称性可知，P（X<//-<T）=P（X>//+rr）,A说法正确;

对于B,根据正态分布对称性可知，P（X<l）=P（r<2）=0.5,B说法错误;

对于C和D,相关系数,I越接近0,相关性越弱，越接近1,相关性越强，故C和D说法

正确.

故选：B

二、填空题

4.（2025.上海）在二项式的展开式中，/的系数为.

【答案】80

【分析】利用通项公式求解可得.

【详解】由通项公式&=G♦2Fe.（T），=G♦（T）-25・『d・『,

令5-r=3,得r=2,

可得V项的系数为C；・（-l）2.25-2=80.

故答案为：80.

5.（2025•天津）在（x-l）6的展开式中，V项的系数为.

【答案】-20

【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.

【详解】（.Li），展开式的通项公式为北产C"吃.（7），，

当r=3时，7；=C"兀（一/=一20/,

即（x-l）6展开式中1的系数为-20.

故答案为：-20

6.（2025•北京）已知（1-2x）4=旬-2qx+4%x2-+16%£*，则4=

4+生+a3+%=_

【答案】©.10.15

【分析】利用赋值法可求。0,利用换元法结合赋值法可求4+4+%+4的值.

【详解】令x=（）,则％=1,

24

又（1-二4-2qx+4a2x-8。3V+16a4x，

4

故(1_2x)4=44-q(-2x)+%(-2x)~+%(—2x)3+a4(-2x)»

42

令，=-2x,则(1+z)=%+。"+a2t+，

令，=1,则％+。1+。2+。3+〃4=24,故4+生+。3+。4=15

故答案为：1,15.

7.(2025•上海)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均

是家长，则不同的排列个数有种.

【答案】288

【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.

【详解】先选两位家长排在首尾有理=12种排法；再排对中的四人有P：=24种排法，

故有12x24=288种排法.

故答案为:288

(567)

8.(2025•上海)已知随机变量X的分布为，则期望£[X]=.

【答案】6.3

【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.

【详解】由题设有司x]=5x().2+6xO.3+7xO.5=l+1.8+3.5=6.3.

故答案为：6.3.

9.(2025•全国一卷)一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若有放回地取三次，记

至少取出一次的球的个数X,则数学期望&X)=.

【答案】崇/2.44

【分析】法：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式

求得x的分布列，从而求得七(X)；法二，根据题意假设随机变量七,利用对立事件与独立

事件的概率公式求得E(XJ,进而利用数学期望的性质求得£(X).

【详解】法—：依题意，X的可能取值为1、2、3,

总的选取可能数为5、=125,

其中X=l：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，

为0.5,若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为().4,6圈的概率为0.6；若第一次

跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6,4圈的概率为().4.小桐一周跑11圈的概率为；

若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X,则期望七")=

【答案】0.63.2

【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.

【详解】设小桐一周跑11圈为事件A,设第一次跑5圈为事件B,设第二次跑5圈为事件C,

则p(A)=p(⑻+P伍)P(C|再=0.5X0.6+0.5x0.6=0.6；

若至少跑11圈为运动量达标为事件。，P(£>)=P(A)+P(B)P(C|B)=0.6+0.5x0.4=0.8,

所以X〜8(4,0.8),E(X)=4xO.8=3.2；

故答案为：0.6；3.2

三、解答题

II.(2025•全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随

机调查了1000人，得到如下列联表：

超声波检查结果组别正常不正常合计

患该疾病20180200

未患该疾病78020800

合计8002001000

(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P,求P的估计值；

(2)根据小概率值2=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

附/=m加-姐*

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（x2..k）0.0050.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(*

（2）有关

【分析】（I）根据古典概型的概率公式即可求出；

（2）根据独立性检验的基本思想，求出/然后与小概率值对应的临界值10828比

较，即可判断.

【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以〃的估计值为

180_9

200=10；

（2）零假设为，°：超声波检查结果与患病无关，

_I000X(20X20-780X180)2

根据表中数据可得,2

=765.625>10.828=xoool»

800x200x800x200

根据小概率值。=。.001的/独立性检验，我们推断久不成立，即认为超声波检查结果与患

该病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001.

12.（2025•北京）有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80

人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率.

（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率.

（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的

数学期望.

（3）若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点

则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，

设中校学生掌握该知识点的概率为A,乙校学生掌握该知识点的概率为P2，试比较网与〃2

的大小（结论不要求证明）

4

【答案】（I）-

（2）0.35,E（X）=1.55

⑶P[<〃2

【解析】

【分析】（1）用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率；

（2）利用独立事件可求恰有1人做对的概率及X的分布列，从而可求其期望：

（3）根据题设可得关于四,〃2的方程，求出其解后可得它们的大小关系.

【小问1详解】

用频率估计概率，从甲校班机抽取1人，做对题目的概率为更=!.

1005

【小问2详解】

设A为“从甲校抽取1人做对”，则P（4）=0.8,则尸（Z）=0.2,

设3为“从乙校抽取1人做对”，则P（3）=0.75,则P（可=0.25,

设C为“恰有1人做对”，故

P（C）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（5）+P（A）P（B）=O.35,

而X可取0,1,2,

P（X=0）=P（A^）=0.05,P（X=1）=035,P（X=2）=0.8x0.75=0.6,

故X的分布列如下表：

X012

P0.050350.6

故E（x）=1x0.35+2x0.6=1.55.

【小问3详解】

设。为“甲校掌握该知识的学生”，

因为甲校掌握这个知识点则有KX）%的概率做对该题R,

未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，

故尸（O）+］（l—尸（。））=0.8即P1+；x（l—〃J=0.8,故Pi=/，

同理有0.85〃2+工乂（1一〃2）-0.75,故“2一工，

46

故Pl<P2.

13.（2025•上海）2024年东京奥运会，中国获得了男子4xl（X）米混合泳接力金牌.以卜.是历

届奥运会男子4x100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列.

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

⑴求这组数据的极差与中位数；

（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

⑶若比赛成绩），关于年份x的回归方程为_y=-0.31Lv+/；，年份x的平均数为2006,预测2028

年冠军队的成绩（精确到0.01秒）.

【答案】（1）1005；210.015；

⑵a

10

⑶204.56

【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；

（2）由古典概型概率公式可得；

（3）先求成绩平均数亍，再由（元衿在回归直线上，代入方程可得再代入年份预测可得.

【详解】（1）由题意，数据的最大值为216.93,最小值为206.78,

则极差为216.93-206.78=10.15；

数据中间两数为209.35与210.78,

皿上d阳N209.35+210.68

则中位数为-------------=210.015.

故极差为10.15,中位数为210.015；

（2）由题意，数据共10个，211以上数据共有4个，

故设事件A二“恰有2个数据在211以上”，

则P(A)=§Wq,

jo1U

3

故恰有2个数据在211以上的概率为正；

(3)由题意，成绩的平均数

206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93

10

=211.399,

由直线y=-0.315+5过(2006,211.399),

则1=211.399+0.311x2006=835.265，

故回归直线方程为了=-0.311X+835.265.

当x=2028时，y=-0.311x2028+835.265=204,557«204.56.

故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒.

14.（2025•全国二卷）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个

球甲胜的概率为乙胜的概率为％〃+夕=1,且各球的胜负相互独立，对正

整数*22,记必为打完&个球后甲比乙至少多得2分的概率，％为打完出个球后乙比甲至

少多得2分的概率.

⑴求〃3,（用〃表示）.

（2）若包二包=4,求

%一夕3

（3）证明：对任意正整数加，〃2,”+1一%卅+1<〃2”,一%,”<〃2方2一%”,+2.

【答案】（1）〃3=〃\〃4="（4一3〃）

（2）P=|

⑶证明过程见解析

【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解：

（2）由题意甲=",%=、（4-3编,联立包二生=4,p+g=l即可求解;

%一%

⑶首先九-P2MLecp』-p2KLe黑小川小同理有%._q"=c黑尸pm,

%/n+2—%m+1=。2桁+1夕〃，作差有P2Mt.I-%卅+1<Pim~^2m»另一"方面

外“,+2一〃2,”="W-P[P-）,且同理有

〃?!（/〃+1）!I2m+1）

一%,”=-，作差能得到P2m72m<〃2m+2一%M，由此即可

加\2m+1）

得证.

【详解】（1）P3为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场,

故所求为〃3=C；(1-PYP，=P，，

处为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，

故所求为=C：(1一P)'//+C：(1-p)。P4=4"'(1-p)+p4=//(4-3p)；

⑵由(1)得P3=p3，〃4=〃'(4一3〃)，同理%(”3力

若-------4,p+q=\,

%一%

则P4—P3_/3(4_3〃)一〃33P3(1—〃)〜p3gJ

、%一名小(4一3G一/3/(1_q)/p(g,

由于。<〃应<1,所以〃=2q=2(l-〃)>0,解得〃=,：

(3)我们有

〃1一1〃|一14【一Itn-t

=CC

Plm~Plm^^2mP夕~h2,^\P夕=U2mp夕~2mP4一乙C21Mpq

A-0£-0Jt-OA-0

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=(|-p)t产£4p2…八工c"'"*w

A-0A-0Jt-oJt-0

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以及

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P2M-P2N=ZGzpi7-ZcD…八2G焉〃…八-Zc3