2025全国高考试题数学汇编：椭圆

2025全国高考真题数学汇编

椭圆

一、解答题

1.(2025全国高考真题)已知椭圆。：£+与=1(〃>〃>0)的离心率为正，长轴长为4.

a-b-2

⑴求C的方程；

⑵过点(()，-2)的直线/与。交于A组两点，0为坐标原点，若4044的面积为收，求|A8].

2.(2025北京高考真题)己知椭圆匕5+*=13〃>0)的离心率为"，椭圆E上的点到两焦点的距

离之和为4.

⑴求椭圆£的方程；

(2)设O为坐标原点，点〃小,为乂毛工°)在椭圆后上，直线内/+2yoy-4=。与直线y=2,产-2分别交

于点4B.设△Q4M与△O8W的面积分别为，㈤，比较今与黑的大小.

XIotiI

3.(2025全国高考真题)已知椭圆。:5+[=1(稣〃>())的离心率为出，下顶点为A,右顶点为8,

a'b3

|AB|=Vio.

(1)求C的方程；

(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|4用JA”=3.

(i)设尸(〃?,〃)，求R的坐标(用如〃表示);

(ii)设O为坐标原点，。是C上的动点，直线OR的斜率为直线。。的斜率的3倍，求IPQI的最大值.

22

4.(2025天津高考真题)己知椭I吟十百■=1("…)的左焦点为尸，右顶点为A,尸为…上点，且

直线尸产的斜率为(，aPEA的面枳为;，离心率为g.

J乙

(1)求椭圆的方程;

⑵过点尸的直线与椭圆有唯一交点8(异于点A),求证：PP平分NAF8.

22

5.(2025上海高考真题)已知椭圆「:=+工=1(〃>石)，"(0,〃?)。〃>0),A是「的右顶点.

a~5

(1)若「的焦点(2,0),求离心率e；

(2)若。=4,且「上存在一点P,满足9=2诉，求加；

⑶已知AM的中垂线/的斜率为2,/与「交于C、。两点，NCMD为钝角，求。的取值范围.

参考答案

I.⑴％片

⑵石

【分析】(1)根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；

(2)设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数/表示面积后可求f的值，从而可求弦长.

【详解】(1)因为长轴长为4,故。=2,而离心率为当，故《二及，

故6=0，故椭圆方程为：—+^-=1.

42

由题设直线A8的斜率不为0,故设直线="y+2),A(N，yJ,8(w，M)，

由只用可得(r+2)22.4=0,

故A=16/-4(/+2乂4/-4)=4(8-4巧＞0即＜应,

..4产4/一4

且i=K，.=K

=gX|2z|XIy一%|=＞|J(x+M)2—4凹必="=四，

故

解得/土件,

______I—T-_______________ryJ32-I6x—

故|AB|=71+r|y,一必|=§x"(X+%/-4)也=J-x-L------1=75.

--r2

3

2.(1)—+^-=1

42

⑷S2\OB\

【分析1(1)根据椭圆定义以及离心率可求出。，J再根据a*,c的关系求出/九即可得到椭圆方程;

\OA\S,|AM|

（2）法一：联立直线方程求出点AB坐标，即可求出身，再根据？=局，即可得出它们的大小关

-

系.

法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到NAQM=N8QM,再根据三角形的面枳公式即可

解出.

【详解】⑴由椭圆可知，…所以"2,又芍吟,所以M-2,

故椭圆E的方程为

V+2>0>'-4=0

（2）联立〈x2y2，消去x得,+2/=4,

—+—=1</

42

整理得，(2X+4y；)y2一]6)，o)，+16-4£=O①,

22

又}等=1,所以2片+41=8,16-4片=躅,

故①式可化简为8丁_|6），“，+8尤=0,即（），一），0）2-0,所以），=儿,

所以直线不工+2%），-4=0与椭圆相切，”为切点.

/、,、S,04

设4（不凹）,4（X2，）’2），易知，当为=X2时，由对称性可知，—=LJ-

s2|06|

故设W\，易知口国一力

+2?4=0,解得斗=匕坐，乂=2,

联立v>v-

y=2

与弋杵4=。，解得/=/办=_2,

联立

y=-2%

4-4%小

所以3='""二—------=4-4为7；

”「"S?x-x]_不也

02石一4），0-4

人0

二2y：一4%=2f,

-2乂-4)b2+%’

I。川={X。)+4=中(1-%)。+/=中(l-yj+Jy；=5-4%+4=2-%

3J(4+：/[।4,4(1+姆+片j4(l+y°)2+4—2£&：+/+42+%

双邑\OB\'

法二：不妨设人（西,凹）,3&,%），易知，当玉=超时，由对称性可知

邑|。用

故设

联立｛；7…，解*T…

联卑f解得行肾…,

若用=。，则%=1，N）=±&，W=扫0，

由对称性，不妨取天尸五,9=40，则A（o,2）,3（4&,—2）,M卜反,1）,

x/2+V2

tanNBOM=6tanZBOM=24=0所以NAOM=N8QM,

.五0

1-------x-----

24

同理，当天二。时，ZAOM=NBOM,

当反工。时，则勉=+津==,%=/急一缶…一食

又会祟I,所以小2无=4,

/为

所以tanZAOM=七人』=L.%/

]+kOA.k°M1+/X比

2-2%飞

片+2y；-2/_4_2yo_2

——--,

冷（先2）%（为2）/

为十—4—,,

（anZBOM=如一"迎=_飞2+2%_=芯+2得+2.%=4-2.%=_2_

।+k0M,k°B[+为*_"。"。（）'。+2）M（%+2）-Vo

面、2+2）b,

贝lJtanZAQM=tanN8QM,g|JZAOM=ZBOM,

一5,_\OA\\OM\sinZAOM_\0A\

所以W=|O即OA^sinN80M=血'

3.⑴]+.\，2=[

3mn+2-m'-n2

(2)(i)(ii)3(x/3+x/2)

m2+(n+\)2〃/+(〃+if)

【分析】（1）根据题意列出〃，Ac的关系式，解方程求出外〃，J即可得到椭圆的标准方程;

（2）（i）设式（如兄）,根据斜率相等以及题目条件列式，化简即可求出或者利用数乘向量求出;

（ii）根据斜率关系可得到点。的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接

运算即可解出.

yJa2+b2=A/10

c272

【洋解】（1）由题可知,人（0,4）,8（«0）,所以，e=—=------.解得。*=9,/=l,c?=8,

a3

=a2-b2

故椭圆C的标准方程为三+炉=］；

⑵（i）设R（%,%），易知〃?#0,

y+1〃+1

法一：所以故--n--=—,且加%>0.

因为A(0,—l),|A/?MH=3,所以Jx；+(%+1yx/+(〃+1)2=3,

n+13m〃+2-in2-n

即1+加=3,解得与=>+（〃+广所以》。

nr+(n+l)2'

3mn+2-tn2-n2

所以点R的坐标为

〃「十(〃+l)~in+(/z+l)2)

法二：设衣=/lA户,/1>0,则|4刚44=3=>2/+(〃+1)[=3,所以

33m3(〃+1)

y,AR=A,AP=A(m,n+\)=，故

m4-(/1+

n+2-nr-n2

22

m+(??4-l)>

n+2-nV-n2

/••Rd，〃/十(〃+1)~n+2-m--n2.n..

(u)因为心R=--------盆-----=------------,=一，由%,=3%P,可得

力"3mm

—+(〃+1)2

—="‘之t"一"，化简得川++8〃-2=0,即nr+(〃+4f=18(/〃工0),

m3m

所以点P在以N(0,T)为圆心,3&为半径的圆上(除去两个点)，

|P°L为Q到圆心N的距离加上半径，

法一：设Q(3cos0,sin夕)，所以

|QV『=(3cos+(sin0+4『=9cos26>+sin2<9+8sin6?+16

=8cos20+l+8sin6+16

=8(l-sin26>)+8sin6>+17

=-8sin2^+8sin6>+25

=一81sin+27<27，当且仅当sin夕=g时取等号，

<2J2

所以|PQL=历+3夜=3(石+夜).

7

法二：设。(々，人)，贝I」?+其=1，

=后+("+4『=9-9无+无+8^+16=-84+8%+25

=-8卜-£]+27K27,当且仅当“二g时取等号，

故|PQL=4+3&=3(6+0).

4.⑴工+工=1

43

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意，利用椭圆的离心率得到。=2c,再由直线。尸的斜率得到，〃=c,从而利用三角形

的面积公式得到关于。的方程，解之即可得解：

(2)联立直线与椭圆方程，利用K位置关系求得&,进而得到直线m的方程与点片的坐标，法一，利用

向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；

法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证.

22

【详解】(1)依题意，设椭圆「r+与v=1(0/，>0)的半焦距为C,

。一lr

则左焦点2—。，0),右顶点44,0),离心率“二£=:，即〃=2c,

a2

因为P为x="上一点，设尸(。,机),

又直线p尸的斜率为!，则上即/L=：，

所以J-=：,解得阳=c,则尸(，,c),即尸(2"),

2c+c3

3

因为的面积为Q，|4用二所(-c)=a+c=3c,高为|〃?|二C,

ii3

所以2*=5卜目帆=5><3CXC=1,解得C=1,

则。=勿=2,b2=a2-c2=3，

(2)由(1)可知P(2,l),产(-1,0),A(2,0),

易知直线PA的斜率存在,设其方程为y=h+则1=24+〃?，即加=1-2&,

y=kx+m

22

联立消去）'得，（3+4A2）x+Skmx+4m-12=0,

因为直线与椭圆有唯一交点，所以△=(8"城-4(3+4攵2).(4>72)=0,

01

即4/一〃/+3=0，则4左?_（"2上）+3=0,解得无=则〃?=2,

所以直线依的方程为y=-gx+2,

3

联立解得vq则叫5)，

以下分别用四种方法证明结论：

法一：则方二(2,|),9=(3,1),以=(3,0),

EAF户3x3+lx（）3>/10

cosZ.PFA=

网•同「3五+12"io-

则cosN8Q=cosN*'又NBFP,/PFA4。,号.

所以NB0=NPE4,即尸尸平分44所.

2_ni-o।

kAF

法二：所以％_2_3,kPf=-———=-=0,

1--0

由两直线夹角公式，得tan/8QtanZ.PFA=3_

31+03,

则tan4BFP=tan/PFA,又/BFP、/PFAe(0,-),

2

所以ZBfP=N/V%,即PF平分ZAM.

13

法三：MtanZ.PFA=k=-tanNBFP==—，

PF3f4

2tanZPFA

故tan2Z.PFA=tan/BFP

l-tan2ZPFA

又NBFP,NP/弘£（03），

2

所以/BFT=/PFA,即PF平分NAra.

法四：则女=32-o_3,

FB1-（-1）4

所以直线FB的方程为y=：（x+l）,即3x-4.v+3=0,

|3x2-4xl+3|

则点P到直线所的距离为"二m+㈠：=1，

又点，到直线E4的距离也为1,

所以P/平分NA/芳.

5.（1）|

⑵师

⑶g,而）

【分析】（1）由方程可得〃=5,再由焦点坐标得。，从而求出。得离心率；

（2）设点P坐标，由向量关系中=2好坐标化可解得。坐标，代入椭圆方程可得加；

（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得宜线/方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不

等式祝•砺＜（），再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得〃范围.

22

【详解】(1)由题意知，