2026年深圳中考数学复习分类汇编之解答压轴题型：函数综合题（原卷版）

备战深圳数学中考一一3年真题及模拟分类汇编

专题16解答压轴函数综合题

一、解答题

1.（2024•广东深圳•统考中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺

垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为X,轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

（II）描点：请将表格中的（X,），）描在图2中；

CII）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；

（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线），=。（工-力『+攵的顶点为C,该数学兴趣小组用水平

和竖直直尺测量其水平跨度为A8,竖直跨度为CD,且A8=根，CD=n,为了求出该抛物线的开口大

小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中•种方案，并完善过程：

方案一；将二次函数y=a（x-/if+R平移，使得顶点。与原点O重合，此时抛物线解析式为），=依2.

①比时点的坐标为

②将点"坐标代入y=中，解得。=；（用含切，”的式子表示）

方案二：设。点坐标为（力次）

①此时点B的坐标为;

②将点4坐标代入），=〃（工一力）2十攵中解得•=；（用含，小〃的式子表示）

（3）【应用】如图4,已知平面直角坐标系xO1y中々A,8两点，A%=4，且A6〃x轴，二次函数

G：y=2（工+/?『+4和6：%=。（工+〃『+〃都经过A，8两点，且C1和G的顶点P，Q距线段的

距离之和为10,若48〃x轴且A3=4,求。的值.

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人

们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，

这样就形成了一个温室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形A8CO和抛物线AE。构成，其

中4B=3m,BC=4m,取8。中点O,过点O作线段8C的垂直平分线OE交抛物线AED于点E,

若以。点为原点，3c所在直线为x轴，OE为），轴建立如图所示平面直角坐标系.

请回答下列问题：

（1）如图，抛物线AEO的顶点片（0,4）,求抛物线的解析式；

（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFG7,SMNR,若

FL=NR=Q75m,求两个正方形装置的间距GM的长；

（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到。点，此时大棚截面的阴影为8K,求8K的长.

3.(2022・广东深圳•统考中考真题)一个玻璃球体近似半圆。,力8为直径，半圆。上点C处有个吊灯ER

EF//AB,CO1AB,所的中点为D,OA=4.

(1)如图①，CM为一条拉线,M在OB上,OM=1.6,。/=0.8,求8长度.

(2)如图②，一个玻璃镜与圆0相切，H为切点、,M为OE上一点,"”为入射光线，M7为反射光线，

3

N0HM=40HN=45°,tan4coH=二，求QN的长度.

4

(3)如图③，M是线段08上的动点，为入射光线，/〃。河=50。,“可为反射光线交圆0于点",

在M从0运动到8的过程中，求N点的运动路径长.

4.(2024・广东深圳•盐田区一模)【项目式学习】

项目主题：车轮的形状

项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮

制作成圆形的相关原理.

【合作探究】

(I)探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变.另外圆形车

轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的.如图I,恻形车轮半径为4cm,其车轮最高点到地面

的距离始终为cm；

(2)探究3组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化.如图2,正方形车轮的轴心为。,

BD

/。1线a、K：门认、『。

左侧投影面右侧投影面.............4...........or

长度为/长度为，

图1图2

材料二：重要定义

①视差——点p在左、右相机的视差定义为a=同一ai.

②盲区一相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点尸位于该区域时，若在左、右投影面

上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2,阴影区域是盲区之一）.

③感应区——承卜,若在左、右投影面均可形成成像点,则该国域称为感应区.

材料三：公式推导片段

以下是小明学习笔记的一部分：

fEP.FP

如经3,显然，△。出E△P。/”，40RFAPOrH,可得工=君=77^

ZC/rrz

fEP.+FPr

所以，*7=。用+0,〃（依据）…

任务:

（1）请在图2中（A,B,C,。是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区.

（2）填空：材料三中的依据是指；已知某双目相机的基线长为200mm,焦距/为4mm,则位

于感应区的目标点尸到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为.

（3）如图4,小明用（2）中那款双目相机（投影面C。长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正

好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知”的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当“刚好进入感

应区时，=0.05mm,当M刚好经过点O,的正上方时，视差d=0.02mm,在整个成像过程中，d呈

现出大一小一大的变化规律，当"恰好减小到上述4的;时，开始变大.

①小明以水平基线为工轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛

物浅的表达式为（友情提示：注意横、纵轴上的单位：lm=1000mm）；

②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度.

6.（2024・广东深圳•33校联考二模）【项目式学习】

项目主题：设计落地窗的遮阳篷

项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度A3=2m，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬

的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务.

方案1：直角形遮阳篷

如冬I,小明设计的第一个方案为直角形遮阳篌点。在的延长线卜CDAC

CD

B-

N——J-----------M

A

（1）若3C=0.5m,C£）=lm,则支撑杆80=—m.

（2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2,他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平

14

面的最小夹角为〃，最大夹角为从小明查阅资料，计算出tan〃=Q,tan/7=-,为了让遮阳篷既能最

大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与BD平行），乂能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与

A。平行）.请求出图2中3CCD的长度.

图2

方案2：抛物线形遮阳篷

（3）如图3,为了美观及实用性，小明在（2）的基础上将C'。边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点/为抛

物线的顶点，。厂段可伸缩），且NC7D=90。，BC,8的长保持不变.若以。为原点，CD方向为

x轴，8C方向为y轴.

①求该二次函数的表达式.

2

②若某时刻太阳光与水平地面夹角。的正切值tan6=§使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点。上升

的高度最小值（即点以到。。的距离）

图3

7.（2024・广东深圳・33校联考一模）如图1,一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口，离地竖直高度为〃=1.2

米.建立如图2所示的平面百.角坐标系,可以把灌溉车喷出水的卜、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象.

把泳化带横截面抽象为矩形OEFG,其水平宽度。石=2米，竖直高度所=0.7米，下边缘抛物线是由

上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌

（2）求下边缘抛物线与x轴交点4的坐标；

（3）若。=3.2米，灌溉车行驶时喷出的水（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带.

8.（2024.广东深圳.南山区一模）己知一次函数》=&+/〃土0）的图象与二次函数），二;（"2）2—2的

图象相交于点

(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

(2)根据函数图象，直接写出不等式丘+〃<!*+2)2-2的解集：

(3)当时，抛物线y=；(x+2)2-2与直线y=〃只有一个交点，求〃的取值范围；

2

(4)把二次函数)，=万5+2)2-2的图象左右平移得到抛物线G：y=-(x-m)-2t直接写出当抛物

线G与线段AB只有一个交点时加的取值范围.

9.(2024.广东深圳.罗湖区模拟)如图，在平面直角坐标系中，。为原点，已知4(2,0)、C(l,3^),将

二Q4C绕4C的中点旋转180。，点。落到点4的位置.，抛物线)，=。/-2伤经过点4,点。是抛物线

的顶点.

D

(1)求抛物线的解析式：

(2)判断点B是否在抛物线.匕

(3)若点P是线段Q4上的点，且NAPQ=N0A8,求点。的坐标；

(4)若点P是八•轴上的点，以P、A、。为平行四边形的三个顶点作平行四边形，使该平行四边形的另一

个顶点在)，轴上，请直接写出点P的坐标.

10.(2024・广东深圳•宝安区三模)根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？

图1中有一座拱桥，图2是其

素抛物线形桥拱的示意图，某时■^_一■_L

材测得水面宽20m,拱顶离水面

15m.据调查，该河段水位在rH-----20m-----H

用1曲2

此基础上再涨1.8m达到最高.

为迎佳节，拟在图1桥洞前面

的桥拱上悬挂40cm长的灯

笼，如图3.为了安全，灯笼底桥横/"]刖

素[2

部距离水面不小于1m；为了/安全距离：

材

实效，相邻两盏灯笼悬挂点的/：最高

2

水平间距均为1.6m；为了美

图3

观，要求在符合条件处都挂上

灯笼，且挂满后成轴对称分布.

问题解决

任

务确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.

1

任

在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标

务探究悬挂范围

的最小值和横坐标的取值范围.

2

任

给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，

务拟定设计方案

求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.

3

11.（2024•广东深圳•福田区二模）根据以下素材，探索完成任务.

如何设计喷泉安全通道?

在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿

梭过程中人的高度变化忽略不计）.

图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化

素It

而上下移动.不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的

材-

一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的

1图l

右侧.

八

图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的

OM

素示意图，水落地点离喷水口的距离为。4m,水柱最高点离图2

材地面3m.

2图3是某一时刻时•，水柱形状的示意图.Q4为喷水管，3为水

1

的落地点，记。8长度为喷泉跨度.

GB

图3

41

素安全通道CO在线段。8上，若无论喷头高度如何变化，水柱都\

A

材不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安

3全区域.ocDBM

图4

问题解决

任在图2中，以。为原点，所

务确定喷泉形状.在直线为x轴，建立平面直角坐

1标系，求出抛物线的函数表达式.

任若喷水管。4最高可伸长到

务确定喷泉跨度的最小值.2.25m,求出喷泉跨度08的最

2小值.

现在需要一条宽为2m的安全通

道CO,为了确保进入安全通道

任

8上的任何人都能在安全区域

务设计通道位置及儿童的身高上限.

内，则能够进入该安全通道的人

3

的最大身高为多少？（精确到

0.1m）

12.（2024・广东深圳•光明区二模）【项目式学习】

项目主题：学科融合一用数学的眼光观察世界

项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成

像规律.

项目素材：

素材一：凸透镜成像规律:

0102030405060708090100Cfn

U-------------------------------------

像的大像的正

物体到凸透镜距离像到凸透镜距离

小倒

大于1倍焦距小于2倍焦

大于2倍焦距缩小倒立

距

2倍焦距2倍焦距等大倒立

大于1倍焦距小于2倍焦

大于2倍焦距放大倒立

距

小于焦距与物同侧放大正立

素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后

光线经过焦点.

项目任务：

任务一：凸透镜的焦距。下为6cm,蜡烛AZ?的高为4cm,离透镜中心。的距离是9cm时，请你利用所

学的知识填空：①O%N=，②MN=

任务二：凸透镜的焦距OF为6cm,蜡烛A3是4cm,离透镜中心。的距离是xcm（工＞6）时，蜡烛的成

像MN的高,请你利用所学的知识求出y与x的关系式：

任务三：

（I）根据任务二的关系式得出下表：

物距

•••810121416•••

x/cm

像高

•••1264m2.4•••

j/cm

其中机二；

（2）请在坐标系中画出它的图像:

-y

12

10…—・・—・”・：

8.

6

2

68101214161820x

（3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论:

13.（2024・广东深圳-33校三模）数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率一以小华同学为例活动背景:

某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球

命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据(图片标注的是近似值).

(1)模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中8、D、F

为篮球的三个不同位置，4点为球出手时候的位置.已知

AB=1.75m,CD=3.202m,EF=3.042m,AC=2.2m,AE=3.8m,篮球运动轨迹是抛物线的一部分，

数学小组以A、B、C、D、E、尸中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为)，轴建立平面直角坐标

系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为》=-1/+*工，根据解析式，请你判断该数学小组

是以点(填A、B、。、D、E、尸中的一个)作为坐标原点.

(5)0

!««

1•।

।।।।

1।.一一一一一一一一一一।j一一一一一一一一一।一一一一・

AaCE

(2)问题解决：已知篮球框与我球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在(1)的情况下，小华的

这次罚球能否罚进？并说明理由.

(3)模型应用：如下图所示为抛物线)，=—：/+工+2的一部分函数图象，抛物线外一点/4,3),试通

过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点

P.

14.(2024.广东深圳龙华区二模)【项H式学习】

项目主题：合理设计智慧泉源

项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LE。发光地破灯，

用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头鞋直高度

进行合理调整.围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习.

任务一测量建模

(I)如图1,在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线.经

过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高

度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建

立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式(不

需写自变量的取值范围)；

任务二推理分析

(2)学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，

当喷头竖直高度增加〃米，水柱落点形成的圆半径相应增加4米，〃与〃之间存在一定的数量关系，求出力

与〃之间的数量关系式；

任务三设计方案

(3)现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域ABC。，A3=1.4米，AC=0.4米，增设后的俯视图如

图3所示，A8与原水柱落点形成的圆相切，切点为A8的中点P.若要求增设的矩形区域ABCO被喷泉

喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加米.

15.(2024•广东深圳•罗湖区二模)综合与应用

如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立如图2所

示的平面直角坐标系xQy,运动员从点4(0,10)起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y(m)

与水平距离x(m)满足二次函数的关系.

(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离X与竖直高度y的几组数据如下表:

水平距离X

011.5

(m)

竖直高度y

10106.25

(m)

根据.上述数据，求出y关于x的关系式；

(2)在(1)这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离0。的长；

(3)信息I：记运动员甲起跳后之到最高点8到水面的高度为k(m),从到达到最高点B开始计时，则他

到水面的距离，(m)与时间r(s)之间满足h=-5r+k-

信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270c动作.

问题解决：

①请通过计算说明，在(1)的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？

②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y(m)与水平距离x(m)的关系为

y=ar2-^+10(«<0),若选手在达到最高点后要顺利完成270c动作，则〃的取值范围是.

16.(2024・广东深圳•罗湖区三模)【项目式学习】

项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？

项目背景：

任务一：确定滑道的形状

(I)图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图.AC垂

直于水平底面BC,点。到4之间的滑道呈抛物线型，已知AC=3m,8C=4m,且点8处于跳台滑道

的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式.

任务二：确定运动员达到最高点的位置

(2)如图3,某运动员从点4滑出后的路径满足以下条件：

①运动员滑出路径yD、A之间的抛物线衫泳相回，

②该运动员在底面上方竖直距离9.75m处达到最高点产

③落点Q在底面BC下方竖直距离2.25m.

在司一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离.

任务三：确定拍摄俯角。

(3)高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4,有一台摄像机M进行跟踪拍摄：

①它与点8位于同一高度，且与点3距离25.5m；

②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为。；

③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为)，=履+/攵工0),其比例系数左和俯角a的函数关系如

图5所示.

若要求运动员的落点。必须在摄像机M的视角范围内，则俯角。至少多少度(精确到个位)？

17.(2024・广东深圳•南山区三模)【问题背景】

水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图

I是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭.

【实验操作】

为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离X（单位：m）

与飞行时间/（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x=3r.同时也收集了飞行高度）'（单位：川）

与飞行时间，（单位：S）的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示：

飞行时

02468…

间“S

飞行高

010161816•••

度y/m

【建立模型】

任务1：求V关于/的函数表达式.

【反思优化】

图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ）,

当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知

AP=42m,43=（18及-.

任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离.

任务3：当水火箭落到内（包括端点A,3）,求发射台高度PQ的取值范围.

18.（2024・广东深圳•南山区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数），=-/+云+c的图象与轴交

于A,B点,与y轴交于点C（0,3）,点4的坐标为（3,0）,点P是抛物线上一个动点.

（1）求二次函数解析式；

（2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△8PC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC

面积的最大值；

（3）连接尸O,PC,并把