2026江苏春季高考数学考试总复习：三角函数与函数应用（知识梳理+考点）原卷版

专题05三角函数与函数应用

目录

明晰学考要求.......................................................................1

基础知识梳理.......................................................................1

考点精讲讲练.......................................................................6

考点一：弧度制下的弧长、面积公式..........................................................6

考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式...............................................7

考点三：三角函数的图象与性质...............................................................8

考点四：三角函数图象变换...................................................................9

考点五：函数零点与函数模型应用............................................................10

实战能力训练......................................................................12

明晰学考要求

1、了解终边相同角的含义及其表示，能对弧度和角度进行正确的转换；

2、掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式；

3、理解任意角的三角函数定义，能判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号;

4、会用同角三角函数的基本关系式化简、求值；

5、能运用诱导公式解决化简、求值问题；

6、掌握y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象与性质；

7、了解零点的概念，会应用函数零点存在定理判断零点所在的范围；

8、能利用所给函数模型解决实际问题.

基础知识梳理

1、任意角

⑴任意角的概念：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方

向旋转形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转，叫作零角.

(2)角的终边所在象限：使角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标

系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么

就称这个角为轴线角.

(3)终边相同的角：与角a终边相同的角的集合为｛例5=/360°+a,kb].

2、弧度制与扇形弧长、面积公式

(1)度量角的两种单位制

定义用度作为单位来度量角的单位制

角度制

周角的击为度的角，记作。

1度的角11

定义以弧度为单位来度量角的单位制

弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的

1弧度的角

角.1弧度记作1rad

(2)角的弧度数的计算：如果半径为厂的圆的圆心角a所对弧的长为/,那么，角a的弧度数的

绝对值是|a|=:

(3)角度制与弧度制的换算

角度化弧度弧度化角度

360°=271_rad2兀rad=360°

180。=兀_rad兀rad=180°

兀(180、

1°——rad20.01745radlrad=^Yj°^57.30°

1loQUn

弧度数律；=度数

度数弧度数X

loU

(4)设扇形的半径为凡弧长为/,a(0<a<2兀)为其圆心角，则

度量单位类别«为角度制«为弧度制

anR

扇形的弧长/-1801=a，R

」兀尺2

扇形的面积S—360

3、三角函数的定义

⑴任意角的三角函数的定义

如图，对于任意角呢它的终边异于原点的一点

前提2X

P(x,y),该点与原点的距离为厂=7'x2+y2

正弦—叫做a的正弦，记作sin—a,即sina=—

rr

定义余弦—叫做a的余弦，记作cos—a,即cosa=-

rr

正切2(%。0)叫做a的正切，记作tan—a,BPtana-=2

⑵三角函数在各象限的符号

sinatana

4、同角三角函数基本关系与诱导公式

(1)同角三角函数的基本关系

①平方关系：sin2a+cos2a=l.

②商数关系：tana=^|

CA

sina

用变形：22；22

sin«=l—cosacosa=l—sina,sinacos_ottan—a,cosa=~tana.

(2)诱导公式

公式一:sin（a+2%兀）=sin—a，cos（a+2左兀）=cos—a，tan（a+2hi）=tan—a；

公式二:sin（—a）=—sin—a,cos（-a）=cos—a，tan（—a）=—tan-a.

公式三:sin（7i-a）=sin—a,cos（兀-a）=-cos—a,tan（兀—a）=—tan-a.

公式四:sin（7i+a）=-sin—a，cos（兀+a）=一cos—a,tan（兀+a）=tan—a.

-aj二-

公式五:sin=COS_Q,COSl2-aj=sin__a.

、1fn）

公式六:sin-+a=cosa,cos—+cr=-sina.

12)>—{2J

5、三角函数的图象

(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线.

函数

y=sinx9x£R

y

1

图象-2W'\W公一

--1

(2)余弦函数的图象叫做余弦曲线.

函数y=cosx,九£R

甘

1

图象/Q\

3ik；AA：/3TT

'-2Y"-

(3)正切函数的图象.

(4)五点(画图)法

函数y=sinxy=cos%

图象画法五点法五点法

(0,1)，仔，0)，

(0,0),(1,1],

关键五点(71,-1),0),

(兀，0),-1]，(2兀,0)

(271,1)

研弦曲线与余弦曲线形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.

②E切函数的对称中心为俘，。)(左©Z),正切函数的图象只有对称中心，没有对称轴,

6、三角函数的性质

(1)周期性与奇偶性:研弦函数尸sinx(xGR)和余弦函数尸cosx(x£R)的周期为2版(左©Z,

且左W0),最小正周期为2兀，正切函数y=tan%(%£R)的周期为女兀(左£Z,且左WO),最小正周

期为兀；

2兀

碘数«x)=Asin(0x+夕)和Hx)=Acos(①x+°)(A>0,①>0)是周期函数，最小正周期T=了.

③E弦函数y=sinx(x©R)与正切函数y=tanx(xGR)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数

y=cosx（x©R）是偶函数，图象关于y轴对称.

（2）单调性与最值：

JT7T

研弦函数的单调性与最值：在每一个闭区间［2版一吩2瓶+牛（左GZ）上都单调递增，其值从一

7T3兀

1增大到1；在每一个闭区间［2也+了上都单调递减，其值从1减小到一1.正

弦函数当且仅当x=2E+界©Z）时取得最大值1,当且仅当x=2fai—系左©Z）时取得最小值一

1.

/弦函数的单调性与最值：在每一个闭区间［2E—兀，2而］（左©Z）上都单调递增，其值从一1增

大到1;在每一个闭区间［2E,2碗+兀］（左©Z）上都单调递减，其值从1减小到一1.余弦函数当

且仅当x=2E/©Z）时取得最大值1,当且仅当尤=2碗+兀/©Z）时取得最小值一1.

③E切函数的单调性与最值：正切函数在每一个区间（一胃十所，楙+桁）（左©Z）上都单调递增，正

切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R.

7、函数y=Asin（ox+9）（A>0,0>0）的有关性质

定义域R

值域[-A,A]

E2兀

周期性T二石

%,0>ez)

对称中心

性质

对称轴x=m)

当（p=kn（k£Z）时y是奇函数；

奇偶性7T

当9=®+］（左WZ）时y是偶函数

单调性通过整体代换可求出其单调区间

8、三角函数图象变换

由尸sinx的图象，通过变换可得到函数y=Asin（0x+0）（A>0,0>0）的图象，其变化途径有两

种：

小.相位变换、一…、周期变换、_.,x振幅变换、,.Z,

（l）y—sinx--------------->y—sin（x十9）-------------->y=sm（rcox十9）--------------->y—Asin（cox十

9）;

G.周期变换、,相位变换、.「-z,x振幅变换、

(2)y—sinx-------------->y—sincox-------------->v—sinJ—sin(cox十9)--------------->y

=Asin(cox+9).

注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方，应特别注意.

9、函数的零点与二分法

(1)概念：对于一般函数y=/(x),我们把使人x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:

败尸/(支)有零点

黑需方瞿要)0.乐。有实装

(3)函数零点存在定理：若函数y=人功在区间3,加上的图象是一条不间断的曲线，且

则函数y=/(x)在区间(a,0)上有零点.

(4)二分法：对于在区间［a,加上图象连续不断且y(a)负。)<0的函数y=/(x),通过不断地把它的

零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫

做二分法.

考点精讲精练a

考点一：弧度制下的弧长、面积公式

【典型例题】

例题1.(2022高三上・江苏徐州•学业考试)已知扇形的半径为1,圆心角为30。，则扇形的弧长为()

兀兀兀

A.30B.—C.—D.一

1263

例题2.(23-24江苏苏州常熟中学高一上学期学业水平调研)如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名

为“潮涌"，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长

度是//,弧的长度是办几何图形ABC。面积为S/,扇形BOC面积为S2,若｝=4,

()

*

AD

19thAsianGames

Hangzhou2022

图1

例题3.已知扇形的半径为1,圆心角为60°,则这个扇形的弧长为（）

【即时演练】

1.已知半径为1的扇形的圆心角为三7T，则扇形AO3的弧长等于（）

7U7171

A.-B.兀C.—D.一

436

TT

2.一扇形的圆心角半径R=10cm,则该扇形的面积为（cm2）

3.已知扇形的半径为2,面积为孑，则扇形的圆心角的弧度数为

考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式

【典型例题】

例题1.（23-24江苏苏州常熟中学高一上学期学业水平调研）角&的终边与单位圆。相交于点P,且点P

3._______

的横坐标为y,则横-sin2a的值为（）

3344

A.-B.--C.-D.——

5555

例题2.（2023高三・江苏•学业考试）已知tana=-3,则'吧主注乌=（）

sina-cosa

例题3.（2023高三上•江苏徐州•学业考试）已知角a的终边位于第二象限，则点P（cos%sine）位于

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

例题4.（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）已知角口的终边经过点尸（2,-1）,则sina=

275

rD.一正

-5555

【即时演练】

1.已知角a的终边经过点P（l,-2）,贝U()

71=_61

A.sin«=—B.sin—+6ZC.taner=——D.tancr=-2

5一—行2

2.已知sina>0,cosa>0,则。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

cosL•sinI3+0

3,已知/（。）=I2

sin(—0—7C)

（1）化简什（夕）；

（2）若求tan。的值;

求/t5万+可的值.

（3）若了^-3

6

考点三：三角函数的图象与性质

【典型例题】

例题1.（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）下列函数中是偶函数的是（）

A.y=2'B.>=cosx

C.y=]nxD.y=sinx

例题2.（2023高三上•江苏徐州•学业考试）已知函数/（"=2sin（ox+胃>0）的图像与直线y=2的两

个相邻交点的距离等于兀，则。的值为（）

1

A.-B.1C.2D.3

2

例题3.（2023高三・江苏•学业考试）若函数Ax）"'I"3的值域为卜2,+8）,则实数机的可

[msinx+1,x>3

能值共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

例题4.(2023高三•江苏•学业考试)已知函数〃x)=sinx.

⑴求函数y=的最小正周期；

⑵若"(x)f+优求实数用的取值范围.

2o

【即时演练】

1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin(s+e)+3据此可知,

D.10

2.函数〃x)=2sin[x+Wj的一个单调递增区间是()

A.[-7t,0]B.[一兀，兀]C.[0,K]D.[0,2TI]

3.函数y=2sin(2x+5]的图象的一条对称轴是()

4.已知函数/(x)=2sin

(1)求函数〃x)的最小正周期；

(2)求函数“尤)的单调递增区间.

考点四：三角函数图象变换

【典型例题】

例题1.(江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试)要得到函数y=2sin(x+5]的图象，只需将函数

y=2sinx的图象()

A.向左平移（个单位B.向右平移三个单位

C.向左平移g个单位D.向右平移£个单位

00

例题2.要得到函数y=3sin]2x+?J的图像，只需将y=3cos（2x-711^的图像上所有的点（

)

2

A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度

C.向左平移J个单位长度D.向右平移g个单位长度

00

例题3.（2023高三上・江苏徐州•学业考试）已知函数〃尤）=sin2彳-£.

⑴求外”的对称轴方程;

（2）将函数/（无）的图象向左平移1个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍

后所得到的图象对应的函数是g@）,求网力=1-25疗*-8（外在（0,7万）上的零点个数.

【即时演练】

要得到函数＞=3sin2x的图象，只需将y=3sin[2x+[J的图象（

1.)

A.向左平移?个单位B.向右平移2个单位

OO

C.向左平吟个单位D向右平移/单位

将函数y=2sin"+£]的图象向左平移聿71个单位长度，得到函数y=f（x）的图象，贝|（

2.)

6

A./(x)=2cos2xB.f(x)=2cos2x+-

I3

C./(x)=2sin2xD./(x)=2sin[2尤+：

71

3.为了得到函数＞=8$X+-的图象，只需将函数y=cos%的图象上所有的点（）

A.向左平移g个单位长度B.向右平移]个单位长度

0

C.向左平移?个单位长度D.向右平移1个单位长度

O

考点五：函数零点与函数模型应用

【典例讲解】

例题1.（2024年江苏省扬州市2023年学业水平考试模拟）函数/（x）=lnr+x-4的零点一定位于下列哪

个区间（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（5,6）

例题2.（2023高三•江苏•学业考试）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产

损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已

经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为

lgE=4.8+L5M.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（）

A.6倍B.IOZ倍C.IO?倍D.1（）6倍

例题3.（2022高三上•江苏徐州•学业考试）已知/（无）是定义在｛N尤eR,xwO｝上的偶函数，当x>0时，

logjx,0<x<1

2

，则方程的根的个数为（）

1X1

2，

A.1B.2C.4D.6

例题4.（2023高三・江苏•学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据（4y）（，=l,2,,11）,并由实

验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间［-2,3］上，下列四个函数模型（。力为待定系数）中，最能反

映羽，函数关系的是（）

九

9

二二二二二二8二二二二二二二

7

二二二二二二6二二二二二二二

5

4•

'2

.1...

^4-2O\24x

A.y=a+bxB.y=a+bx

b

C.y=a+\ogbxD.y=a+—

x

【即时演练】

1.已知方程lg（2x）+x—2=0的根所在的区间为+"eZ,则”的值为（）

A.0B.1C.2D.3

9

2.已知函数/⑴lnx+〃在（1,2）内有零点，则实数。的取值范围是（）

A.(-2,+oo)B.(-2,ln2-1)C.(-00,2)D.(l-ln2,2)

实战能力训练

1.已知％=1是函数/(%)=2'+3一5的零点，贝！为()

A.1B.2C.3D.4

4

2.已知。是第一象限角，sin6Z=-,贝！Jcosa为()

3344

A.—B.—C.—D.一

5453

3.已知角a的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非负半轴上，终边上有一点(-3,4),则

cosa=()

3344

A.--B.-