2026年人教版九年级数学上册专项复习：圆（讲义）原卷版+解析

专题24.1园（举一反三讲义）

【人教版】

题型归纳

【题型1圆的认识】.............................................................................2

【题型2判断点与圆的位置关系】................................................................3

【题型3利用点与圆的位置关系求半径】..........................................................3

【题型4与圆有关的概念】.......................................................................4

【题型5利用圆的基本性质求角度】..............................................................5

【题型6利用网的基本性质求长度】..............................................................6

【题型7利用圆的基本性质求坐标】..............................................................7

【题型8利用圆的基本性质求最值】..............................................................8

举一反三

知识点1圆的定义及表示方法

L定义:

（1）描述性定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形成的图形

叫做圆，其固定的端点0叫做圆3,线段。4叫做半径.

“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”.

（2）集合性定义：将圆心为0、半径为，的圆看成是所有到定点。的距离等于定长/•的点的集合.

［圆心：确定圆的位置,

确定一个圆需要两个要素I半径：确定圆的大小.

2.圆的表示方法

以点。为圆心的圆，记作“❷。"，读作''圆。”.

3.则的特性

（I）圆上各点到定点（圆心0）的距离都等于定长（半径心；

（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在问一个圆上;

（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是笠腰三角彩.

知识点2点与圆的位置关系

设。。的半径为八点户到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系为

点P在圆内<=>d<r；

点P在圆上=d=r；

点P在圆外0d>r.

知识点3圆的有关概念

1.弦与直径

连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中A8）,经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）.

弦劣弧茄

'优弧而

半圆（宿

2.弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角

（I）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.

（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示（如图中48。）

（3J弧

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示（如图中48）

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

3.同心圆、等圆与等弧

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.

能够重合的两个圆叫做等圆，生径相等的两个圆是等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做笠弘.

同圆或等圆的半径相餐.

【题型1圆的认识】

【例I】（24-25九年级上•江苏南京•开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等：②如果某

几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【变式1-11到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是.

【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（）

A.以点。为圆心B.以10cm长为半径

C.以点。为圆心，10cm长为半径D.经过已知点M

【变式1-3】如图所示，在四边形ABCD,08=00=90°,求证：A、B、C、D四点在同一个圆上.

【题型2判断点与圆的位置关系】

【例2】（2025九年级下•全国•专题练习）矩形48CD中，AB=8,BC=3次,点P在边/1B上，且BP=34P,

如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点8、C均在圆P外B.点8在圆P外、点C在圆P内

C.点3在圆P内、点C在圆P外D.点。、C均在圆P内

【变式2-1］（24-25九年级上•浙江温州•期中）若04的半径为5,圆心力的坐标是（1,2）,点P的坐标是（5,4）,

那么点P在（填“圆内”"圆上"或"圆外〃）.

【变式2-2］（24-25九年级上•江苏宿迁•期末）已知。。的半径是方程产一5%一24=0的根，且点A到圆心

。的距离为6,则点A在（）

A.。。上B.。。内C.。。外D.无法确定

【变式2-31（24-25九年级上•江苏泰州•阶段练习）在等边△48C中，点A在以8c边为直径的圆—.（填"上"呐〃

或"外"）

【题型3利用点与圆的位置关系求半径】

【例3】（24-25九年级上•贵州遵义期末）如图，在Rta/BC中，zC=90°,BC=3,AC=4,点尸是AC边

上的一个动点，以点P为圆心，P4长为半径作圆，若使点C在0P内且点8在OP外，则OP的半径可以

是（）

A

30个「12c25

AA.-B.2C.-D.一

z5«

①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同

一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②④⑤

【题型5利用圆的基本性质求角度】

【例5】（2025•陕西西安•模拟预测）如图，AB.CD是。。的弦，月.48=CD,若480。=84。，则，4co的

度数为（）

【变式5-1］（24-25九年级上•四川绵阳•期末）如图，是O。的直径，AB1CD,ABCD=30°,则zABC等

C

A.30°B.40°C.50°D.60°

【变式5-2］（24-25九年级上•天津•期中）如图，在ZkABC中，LACB=90°,LA=40°,以。为圆心，CB为

半径的圆交48于点。，连接CD,则N4CD=（）

【变式5-3］（24-25九年级下•甘肃张掖・期中）如图，已知点A,D,。在。。上，连接。力,OC）D,CO,若

四边形/1OCD是菱形，则440C的度数是（）

120°C.90°D.60°

【题型6利用圆的基本性质求长度】

【例6】（24-25九年级上•浙江宁波•阶段练习）如图，在。。中，直径MN=20,正方形/BC。的四个顶点都

分别在半径OP,OM及。。上，且乙POM=45。，则48=（)

C.2V6D.6

【变式6-1]（24-25九年级上•广东惠州•期中）如图，4B是。。的直径,点C在O。上，CDA.AB,垂足为

已知CD=4,OD=3,则A8的值为（）

A.6B.7C.8D.10

【变式6-2]（24-25八年级上•吉林长春•阶段练习）如图，在△力8C中乙B=75。，0£_14。于点儿交于

点M,AE=CE,以点C为圆心C4长为半径作弧，交。E于点尸，连结CF交于点G.若CG=FG=2,则A8

长为（）

A.2B.4C.273D.473

【变式6-3]如图，已知O。为△力BC的外接圆，AB=AC,直径力D交BC于点E,若DEMD=1:4,则BE:力B=

().

A.1:2B.1:3C.2:3D.1:4

【题型7利用圆的基本性质求坐标】

【例7】(2025•宁夏银川•模拟预测)小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐标

【变式7-1](24-25九年级下•湖北宜昌•阶段练习)如图，直线/与。。相交于点A,8,点A的坐标为(3,1),

则点B的坐标为.

【变式7-2](2025•辽宁大连•一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，以点。为圆心，适当长为半径作弧，

交工轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点4；再分别以点。，8为圆心，大于^。鸟的长为半径作弧，两弧相

交千点C,D,直线C。与48相交于点E.若。4=2,则点上的坐标为()

A.(-2,1)B.(-V3,l)C.(-1,V3)D.(-1,2)

【变式7-3】(2025•山东淄博•一模)对于点P和线段A8,给出如下定义：若将线段力B绕点。旋转可以得到。0

的弦为丛(力I，&分别是A,8的对应点)，则称线段4B是。0的以点。为中心的“和谐线段、如图，在

平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1，点P(-1,1),A(-2,3),8(-1,2)的，连接力8,已知线段AB是。。

的以点Q为中心的“和谐线段〃，贝J点&的坐标是()

C.(1,0)D.(-1,0)

【题型8利用圆的基本性质求最值】

【例8】(24-25九年级上•海南•期中)如图，矩形4BCD中，AB=4,BC=3,动点£尸分别从点4c同时出

发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,向终点8,。运动，过点作直线/,过点4作直线/的垂线,

垂足为G,则力G的最大值为()

DC

AB

A.-B.-C.5D.3

22

【变式8-1]（24-25九年级下•河北邢台•期末）如图，4、8为。。上两点，4108=90。，。为。。上一动点

（不与力，8重合），。为4c的中点.若。。的半径为2,则80的最大值为（）

C.3D.2V5

【变式8-2]（24-25九年级下•安徽宿州•期中）如图,在矩形H8CD中,已知力5=5,BC=12,P是BC边上

一动点（点P不与点8,C重合），连接4P,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为（）

【变式8-3]（2025•海南•一模）如图，P是矩形的边上一动点，F是8C的中点，连接DP,

将AZMP沿。P所在直线折叠，点4的对应点是点E,连接E尸.已知力8=29，当线段EF的最小值为1时,

A.9B.8C.7D.6

专题24.1圆（举一反三讲义）

【人教版】

题型归纳

【题型1圆的认识】....................................................................................2

【题型2判断点与圆的位置关系】......................................................................3

【题型3利用点与圆的位置关系求半径】................................................................3

【题型4与圆有关的概念】.............................................................................4

【题型5利用圆的基本性质求角度】....................................................................5

【题型6利用圆的基本性质求长度】....................................................................6

【题型7利用圆的基本性质求坐标】....................................................................7

【题型8利用圆的基本性质求最值】....................................................................8

举一反三

知识点1

i.定义:

（1）描述性定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形成的图形

叫做圆，其固定的端点。叫做圆心，线段04叫做半径.

“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面

（2）集合性定义：将圆心为。、半径为7•的圆看成是所有到定点O的距离等于定长，•的点的集合.

圆心:确定圆的彳立置,

确定一个圆需要两个要素

.半径：确定圆的大小.

4.圆的表示方法

以点。为圆心的圆，记作“纯”,读作“圆0”.

5.圆的特性

（I）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径,）；

（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上;

（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形.

知识点2点与圆的位置关系

设0。的半径为八点户到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系为

点P在圆内<=>d<r；

点。在圆上一d=广

（点P在圆外od>r.

知识点3圆的有关概念

2.弦与直径

连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中A8）,经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）.

弦/劣弧蓝

O、优弧ACB

半圆（NC）

2.弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角

（I）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.

（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示（如图中力BC）

⑶弧

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示（如图中

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

3.同心圆、等圆与等弧

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.

能够重合的两个圆叫做笠圆，半径相等的两个圆是等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做笠弧.

同圆或等圆的半径相篁.

【题型1圆的认识】

【例1】（24-25九年级上•江苏南京•开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等：②如果某

几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键.根

据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可.

【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确;

如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确；

圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误.

故选：A.

【变式1-11到点4的距离等于2厘米的点的轨迹是

【答案】以点A为圆心，2厘米长为半径的圆

【分析】本题考查了轨迹，主要是对•圆的轨迹定义的考查，比较简单.根据圆的定义解答.

【详解】解：到点力的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点4为圆心，2厘米长为半径的圆.

故答案为：以点力为圆心，2厘米长为半径的圆.

【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（）

A.以点。为圆心B.以10cm长为半径

C.以点。为圆心，10cm长为半径D.经过已知点M

【答案】C

【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径.确定一个圆有两个重

要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案.

【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；

B、只确定圆的半径，不可以确定圆；

C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；

D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆：

故选：C.

【变式1-3】如图所示，在四边形ABCD，[?]B=0D=9O%求证：A、B、C、D四点在同一个圆上.

【答案】证明见解析

【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.

连AC,取AC的中点0,连接0B、0D,利用直角三角形斜边上的中线可得0B=0A=0C=0D,即可推出A、B、

C、D四点在同一个圆上.

【详解】证明：连AC,取AC的中点0,连接OB、0D,

00B=0D=9O°,

0OB=iAC,OD=1AC.即0B=0A=0C=0D,

13A、B、C、D四点在同一圆上.

【点睛】本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC,取AC的中点0,连接0B、

0D,构造直角三角形.

【题型2判断点与圆的位置关系】

【例2】（2025九年级下•全国•专题练习）矩形力BC。中，AB=8,BC=3通，点P在边A8上，且BP=3AP,

如果圆尸是以点P为圆心，P。为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点B、C均在圆P外B.点8在圆P外、点C在圆尸内

C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B、C均在圆P内

【答案】C

【分析】本题考杳了点与圆的位置，由48=8,8P=34P得到AP=2,BP=6,再根据勾股定理，计算出

PD=7,PC=9,则P8=6V7,PC=9>7,然后根据点与圆的位置关系进行判断.

【详解】解：加图.连接PCPD.

团四边形48CD为矩形，

^AD=BC=36，

vAB=8,点P在边力8上，且BP=34P,

:.AP=2,BP=6.

222

r=PD=\/AD+AP=J（3灼2+2=7,

PC=7PB2+BC?=J62+（3V5）2=9,

VPB=6<7,PC=9>7

•••点3在圆P内、点。在圆P外

故选：C.

【变式2-1］（24-25九年级上•浙江温州•期中）若OA的半径为5,圆心A的坐标是（1,2）,点P的坐标是（5,4）,

那么点P在（填"圆内”"圆二〃或"圆外"）.

【答案】圆内

【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据两点间的距离公式求出4P的长，再与5相比较即可.熟知点与圆

的三种位置关系是解题的关键.

【详解】解:团圆心A的坐标是（1,2）,点P的坐标是（5,4）,。力的半径为5,

（34P=J（5-1尸+（4-2尸=2逐<5,

回点P在圆内.

故答案为：圆内.

【变式2-2］（24-25九年级上•江苏宿迁•期末）已知。。的半径是方程好一5%-24=0的根，且点A到圆心

。的距离为6,则点4在（）

A.。。上B.。。内C.。。外D.无法确定

【答案】B

【分析】本题主要考查了解一元二次方程、点与圆的位置关系等知识点，掌握判定点与圆的位置关系的判定

方法是解题的关键.

先根据题意求得方程的根，从而得到圆的半径，再根据半径，•与d的值的大小关系即可解答.

【详解】解：解方程/一5%-24=0得：.=8,小二一3（舍去）

回圆。的半径是8,

13点A到圆心。的距离为6,6<8,

同点4在圆。内.

故选：B.

（变式2-3］（24-25九年级上•江苏泰州•阶段练习）在等边△"C中，点A在以边为直径的圆—.（填“上〃"内"

或"外”）

【答案】外

【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，比较半径和A到圆心

的距离之间的大小关系即可得解，熟练掌握点和圆的位置关系、等边三角形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图，△/8C为等边三角形,

过A作4。J.8C于点0,则80=C0,

团△ABC为等边三角形，

团4B=60°,

囹48工0=30°,

回BD=0B,

2

^AD=J(2B0)2-BD2=>/3BD,即此时d>r,

0点八在以8C为宜径的圆外，

故答案为：外.

【题型3利用点与圆的位置关系求半径】

【例3】(24-25九年级上•贵州遵义期末)如图，在RtaABC中，4c=90。，BC=3,AC=4,点户是AC边

上的一个动点，以点尸为圆心，PA长为半径作圆，若使点。在0P内且点8在OP外，则OP的半径可以

【答案】C

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理.；分别求得PC,PB的最小值，进而确定G)P的半径范围,

即可求解.

【详解】解：设OP的半径为，即4P=x,则尸C=4C-PC=4—x,

团点。在。P内

0PC<PA,即4一%V%,解得：x>2,

连接PB,

在中，PB2=PC2+BC2

当PB=PA=%时，

X2=(4-X)2+32

解得："

O

回点P是4c边上的一个动点，BC=3,点B在OP外

0%<^

8

02<x<结合选项可得0P的半径可以是?

85

故选：C.

【变式3-1]（24-25九年级上•广东汕头•阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是8,最小距离是2,则这个圆

的半径为（）

A.6B.3C.8D.4

【答案】B

【分析】小题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关

健.根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案.

【详解】解：•••圆外一点到圆的最大距离是8,最小距离是2,

.••圆的直径是8-2=6,

恻的半径是3.

故选：B.

【变式3-2］已知矩形ABCO中，AB=4,BC=3,以点B为圆心r为半径作圆，且OB与边CD有唯一公共

点，则r的取值范围为（）

【答案】D

【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于80>3。根据点与圆的位置

关系得到3工厂工5,注意若半径为r,点到圆心的距离为d,则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点

在圆上，当dVx时，点在圆内.

...BD=AC=y/AB2+BC2=5,

AD=BC=3,CD=AB=4,

回以点B为圆心作圆，OB与边CD有唯一公共点，

130B的半径r的取值范围是：3<r<5,

故选：D.

【变式3-3】在中，ZC=90°,BC=3,AC=4,。为力B的中点.以人为圆心，r为半径作财，若

B、C、。三点中只有一点在04内，则。A的半径r的取值范围是（）

A.2.5<r<4B.2.5<r<4C.2.5<r<4D.2.5<r<4

【答案】A

【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系.

由勾股定理可求得力8的长，进而得到的长.再根据题意画出简单示意图，由图形可知当，•的长度为力。和

AC长度之间时，B、C、。三点中只有点。在O4内，据此即可解答.

【详解】团在中，BC=3,AC=4,

回AB=VAC2+BC2=V42+32=5,

回。为AB的中点，

由上图可知，当。力的半径厂=力。=3时，点。在04上，

当OA的半径r=4C=4时，点C在。力上，点。在圆内，

当0A的半径r=48=5时，点8在04上，点C、。在圆内，

当0A的半径满足：Vr44时，点。在0A内，

当04的半径满足4<r45时，点C、。在04内，

当04的半径满足r>5时，点8、C、。在。4内，

团若8、C、。三点中只有一点在04内，则04的半径r的取值范围是^VrW4.

故选:A.

【题型4与圆有关的概念】

【例4】下列说法中，正确的是（）

A.长度相等的两条弧是等弧B.优弧一定大于劣弧

C.不同的圆中不可能有相等的弦D.直径是一个圆中最长的弦

【答案】D

【分析】本题考查了等弧、等弦的概念，优弧、劣弧大小的比较，弦与直径的关系，熟练掌握以上知识点是

解题的关键.根据等弧的定义，弦的定义即可解答.

【详解】解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A选项错误；

B、两弧若不在同圆或等圆中，则结论不•定成立，故B选项错误；

C、在等圆中，存在长度相等的弦，例如等圆中的直径都相等，故C选项错误；

D、直径是一个圆中最长的弦，正确，故D选项正确;

故选：D.

【变式4-1]如图，在。。中,

(2)直径有：.

(3)弦有：.

(4)劣弧BC对应的优弧是,它们刚好拼成一个完整的圆.

【答案】。力，OBABAB,AC,BCBAC

【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可.

【详解】解：(1)半径有。40B；

(2)直径有4B；

(3)弦有AB,AC,BC：

(4)劣弧BC对应的优弧是B4C；

故答案为：OA,OB；ABxAB,AC,BC；BAC

【变式4-2】小明在半径为5的圆口测量弦48的长度，下列测量结果中一定是错误的是()

A.4B.5C.10D.11

【答案】D

【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求解.

【详解】解：(3半径为5的圆，直径为10,

团在半径为5的圆中测量弦的长度，的取值范围是：0VABW10,

回弦AB的长度可以是4,5,10,不可能为11.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关健.连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆

心的弦叫直径.

【变式4-3](24-25九年级上•安徽淮南•期中)下列命题中，正确的是()

①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分：③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同

一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②④⑤

【答案】C

【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②③进行判断；根据

直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断.解题的关键是掌握是：判断一件事情的语句，叫

做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个

命题可以写成"如果…那么，形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.

【详解】解：半圆是弧，故命题①正确；

弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误；

半径不是弦，故命题③错误；

直径是圆中最长的弦，故命题④正确；

在同一平面内，到定点的距离等于定K的点都在同一个圆上，故命题⑤正确；

团正确的是①④⑤.

故选：C.

【题型5利用圆的基本性质求角度】

【例5】（2025•陕西西安・模拟预测）如图,IB、CD是00的弦，且4B=CD,若=84。，则的

度数为（）

A.38°B.46°C.44°D.48°

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆的相关定义，掌握相关知识点

是解题关键.先证明△力。8三△COD（SSS）,推出4800=41。。=84。，再根据等边对等角的性质求解即可.

【详解】解：在△408和4。。。中.

0A=0C

OB=0D,

AB=CD

：.^AOB^ACOD(SSS),

：•Z.AOB=乙COD,

•••Z.AOB-Z.AOD=乙COD-Z.AOD,

乙BOD=Z.AOC=84°,

•••OA=OC,

“八八/八1800-z/lOCco

.%c/C。=^-CAO=-------------=48°,

故选：D.

【变式5-1］（24-25九年级上•四川绵阳•期末）如图，48是O。的直径，ABLCD,^BCD=30S则48c等

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线定义，由48_LC0,得出NBEC=90。，根据NBCD=30。，再

由三角形内角和定理计算即可得解.

【详解】解:LCD.

密乙BEC=90°,

^LBCD=30°,

^ABC=180°-90°-30°=60°.

【变式5-2］（24-25九年级上•天津•期中）如图，在△ABC中，^ACB=90°,乙4=40。,以C为圆心,CB为

半径的圆交48于点。，连接CD,则41CD=（）

A

10°C.12°D.50°

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单.先求得NB=50。，再

由等腰三角形的性质求出/BCD=180°-2X50°=80°,则乙/C0与互余.

【详解】解：=90°,Z/1=40°,

团4B=50°,

团CD=CB,

回4BCD=180°-2x50°=80°,

^ACD=90°-80°=10°；

故选：B.

【变式5-3]（24-25九年级下•甘肃张掖・期中）如图，已知点A,。，C在。。上，连接。40C,4D,CD,若

四边形AOC。是菱形，则乙40c的度数是（）

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，先连接0。，结合半径相等以及菱形的性质得4D=

DC=CO=DO=AO,故△40D,ACOD都是等边三角形，即可作答.

【详解】解：连接。。，如图所示：

依题意，DO=OC=OA,

团四边形AOCD是菱形，

团4。=DC=CO,

即<0=DC=CO=DO=AO,

田△力0。八C。。都是等边三角形,

^AOD=60°=/.COD,

BPDAOC=60°+60°=120°,

故选：B

【题型6利用圆的基本性质求长度】

【例6】(24-25九年级上•浙江宁波•阶段练习)如图，在。。中，直径MN=20,正方形力BCD的四个顶点都

分别在半径。P、0M及O。上，且4POM=45。，则48=()

A.4B.2A/5C.2\/6D.6

【答案】B

【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，

解题的关键是正确作出辅助线，构造与48相关的直角三角形.先结合正方形的性质证明△。。。为等腰直角

三角形，易得C。=CD,设A8=BC=CD=CO=x,则8。=2x,在Rt△力8。中根据勾股定理求得％的值,

即可获得答案.

【详解】解：连接04如下图，

BCO

团四边形是正方形，

回力B=BC=CD,4ABC=Z.BCD=90°,

0ZDCO=180°-乙BCD=90。，

团"OM=45°,

团乙CDO=90°-乙POM=45°,

回4C。。=/.POM,

回CO=CD,

团直径MN=20,

回OA=-MN=10,

2

设＜8=BC=CD=CO=x,则8。=BC+CO=2x,

在RtA48。中，可有AB?+BO2=。人2,

即出2+（2x）2=io2,

解得％=2V5或％=—2y/5（舍去），

团48=2遍.

故选：B.

【变式6-1]（24-25九年级上•广东惠州•期中）如图，是。0的直径，点C在。。上，CDLAB,垂足为D,

已知CO=4,OD=3,则4B的值为（）

A.6B.7C.8D.10

【答案】D

【分析】本题考查了圆的基本概念、勾股定理，连接。。构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键.连接。。,

在Rt/kOCD中利用勾股定理求出0C的长，再结合45是。。的直径即可得出答案.

【详解】解.：如图，连接0C，

•••CD1血

Z.CDO=90°,

vCD=4,0D=3,

.•・0C=VCD2+OD2=5,

•••48是O0的直径，

.-.AB=20C=10.

故选：D.

【变式6-2]（24-25八年级上•吉林长春•阶段练习）如图，在△48C中48=75。，OE_L4c于点E,交力B于

点M,AE=CE,以点C为圆心G4长为半径作弧，交DE于点F,连结CF交A8于点G.若CG=FG=2,则48

长为（）

A.2B.4C.2V3D.473

【答案】B

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角

和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键.

连接AF，根据线段垂直平分线的性质可得力/二CF，结合题意证△AFC是等边三角形，根据等边三角形“三

线合一”可得=30°,在4力BC中三角形内角和定理求出乙4c8==75°,得出力8=AC=4.

【详解】解:连接如图.

D

AF=CF,

由题意可知C/7=CA,

:.AF=CF=CA=4,

田△力FC是等边三角形，

Z.ACF=Z.CAF=60°,

CG=FG=2,

:./.CAB=\LCAF=30°,

团，B=75°,

•••/.ACB=乙B=3180。-/-CAB)=75°,

(34B=AC=4,

故选：B.

【变式6-3］如图，已知为△ABC的外接圆,AB=AC,直径AD交BC于点E,若DB6D=1:4,则8式4B=

A.1:2B.1:3C.2:3D.1:4

【答案】A

【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，圆的基本性质，先证明力0垂直平分3C,

再利用勾股定理用。8分别表示出BE,48的长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接。8,OC,

A

团。0为a/lBC的夕卜接圆，

(30B=0C,

^AB=AC,

西。垂直平分BC,

^AD1BC,

团0E:力。=1:4,

BDE=-OD,

2

WE=-2OD=-20B,

(ME=：0B,

2

在OBE中，由勾股定理得BE=JOB?一。"2=，。8,

在RtZk/lBE1中，由勾月殳定理得力8="力打2+BE?二曲OB,

0BE:AB=1：2,

故选:A.

【题型7利用圆的基本性质求坐标】

【例7】（2025•宁夏银川•模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐标

为（0,4）,则点8的坐标为

【答案】（2百,一2）

【分析】本题主要考查确定点的坐标，由点4的坐标为（0,4）得。4=4,连接。8,过点3作801.%轴于点。,

则0Z?=0A=4,再求出乙。。。=30。，可得。。=2,。。=2万，从而得点〃的坐标.

【详解】解：连接。氏过点3作80_L%轴于点0,如图,

团点A的坐标为（0,4）,

WA=4,

团。B=OA=4,

^/.AOB=-X360°=120°,Z.AOD=90°,

3

团乙BOO=30°,

^BD=-OB=2,

2

团0D=y/OB2-BD2=2®

回点8是第四象限内的点，

回点B的坐标为（26,一2）.

故答案为：（2百，一2）.

【变式7-1］（24-25九年级下•湖北宜昌•阶段练习）如图，直线/与。。相交于点A,B,点A的坐标为（3,1）,

则点B的坐标为.

【分析】本题主要考杳了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原

点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点。的对称点是P'（-％-y）,据此解答即可.

【详解】解：由图可以发现：点A与点8关于原点对称，

回点A的坐标为（3,1）,

回点B的坐标为（一3,—1）,

故答案为：（―3,-1）.

【变式7-2】（2025•辽宁大连•一模）如图，在平面直角坐标系中，以点。为圆心，适当长为半径作弧，

交工轴负半轴于点A,交），轴正半轴于点8；再分别以点O,3为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相

交于点3D,直线CD与48相交于点£.若04=2,则点£的坐标为（）

A.（-2,1）B.（-V3J）C.（-l,x/3）D.（-1,2）

【答案】B

【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接0E，设DE,。8交

于F,由作图方法可得CO垂直平分。贝Ij。/7=\0B=^OA=1,mFE=90°,再利用勾股定埋求出E/的

长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接。E,设DE,0B交于F,

由作图方法可得CD垂直平分。8,

WF=-0B=-0A=1,Z.OFE=90°,

22

又"E=0A=2,

OFF=y/OE2-OF2=V3,

回点£的坐标为（一6,1）,

故选：B.

【变式7-3](2025♦山东淄博•一模)对于点产和线段48,给出如下定义：若将线段48绕点〃胞转可以得到OO

的弦为当(4〉名分别是A,B的对应点)，则称线段4B是。。的以点P为中心的“和谐线段。如图，在

平面直角坐标系xOy中，0。的半径为1,点尸(一1,1),力(一2,3),8(-1,2)的，连接48,已知线段48是O0

的以点尸为中心的“和谐线段〃，则点儿的坐标是()

A.(0,1)B.(0,-1)C.(1,0)D.(-1,0)

【答案】B

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，圆的基本特点，根据题意可得。(-1,0),0(0,1)都在。。上,

由PB=1,「。=「。=1可得点8只能在。、。这两个位置，同理点A只能在(1,0),(0,-1)这两个位置，

进而确定4(0,-1),当(一1,0)或4(1,0),当(0,1),再确定对应情形下旋转的角度即可得到答案.

【详解】解：0P(-1,1),5(-1,2),

团PB=1,

团0。的半径为1,

13c(-1,0),D(0,l)都在上,

如图，

团劣弧CO(不包括端点)上的任意一点到点尸的距离都小于1,优弧CO(不包括端点)上任意一点到点P

的距离大于1,

团点B只能在C、。这两个位置，

同理可得点A只能在(1,0),(0,-1)这两个位置，

团4(0,—1),々(-IQ)或4式1,0),3式0,1),

当为(0,-1),8式-1,0)时,此时旋转角度为180度，符合题意，

当4(1,0),为(0,1),此时点A旋转到其对应点时的旋转角度大于90度，点B旋转到其对应点时的旋转角

为90度，不符合题意，

(34(0,-1),8式-1,0),

故选:B.

【题型8利用圆的基本性质求最值】

【例8】(24-25九年级上•海南•期中)如图，矩形力BCD中,13=4,BC=3,动点比F分别从点A,C同时出

发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿48,CD向终点8,。运动：过点作直线/,过点A作直线/的垂线,

垂足为G,贝必G的最大值为()

【答案】A

【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三

角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键.连接AC,BD交于点0,取。4中点为H,连接GH,根

据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出/1G的最大值.

【详解】连接力。,80交于点0,取04中点为H,连接GH,如图所示，

Da\FC

A•••四边形ABCD为矩形，

•••Z.ABC=90",OA=OC.AB||CD,

.•.在R2Z18C中，AC=>JAB2+AC2=V42+32=5,

,。4=%=2=|，

vAB||