2026届高考数学总复习：圆锥曲线中的证明、探索性问题

微专题■»十

圆锥曲线中的证明、探索性问题

考试要求

掌握圆锥曲线中的证明、探索性问题的一般解法，进一步提升数学运算素养.

陕键能力

提升互动柒究•才点精讲,

考点I证明问题

【例1】(2024.全国甲卷)设椭圆C：，+方=1(〃*0)的右焦点为忆点，|)在。上，且MF±x

轴.

(1)求C的方程；

(2)过点P(4,0)的直线交。于A,8两点，N为线段尸尸的中点，直线N8交直线M/于点Q,求证：

AQ_L)，轴.

子323

-故-

-1〃

【解】(1)设尸(。，0),由题设有c2

2,

故〃=2,故b=小，故椭圆方程为j+，=l.

(2)证明：直线AB的斜率必定存在，设直线AB的方程为y=k(x-4)f4即，>'i),B(x2t儿)，由

3f+4/=12,

*''可得(3+4必)区2-32五+643-12=(),

卜=&(4-4)

故/=1024/—4(3+43)(642-12)>0,解得一去*<1,

r,32/64^-12

又两+"=讦而,即==际y,

而H，0),故直线BN的方程为y=、(，-1)，

X2~2

故

九-5-

--

X22

所以)，|一九=》十五3v品)

yiX（2t2-5）+3”

2x2-5

&（汨-4）X（2刈-5）+3k（刀2—41

2x2-5

2.riX2-5（.ri+工2）+8

kX

2x2—5

643一1232s

2X-7T772-5XTV-72-F8

3+4公3+4Xr

kX

2x2-5

128F一24—160S+24+32标

3+4-

kX=0,

2x2-5

故巾=y°,即AQ_1_)，轴.

规律总结

圆锥曲线中常见的证明问题

(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.

(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.

在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明.

【对点训练1】(2024•北京顺义区三模)已知椭圆C：方+1=13乂＞0)的左顶点为4(一2,0),上、

下顶点分别为所，当，离心率为由.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设点P是椭圆。上一点，不与顶点重合，加满足四边形P8Ma是平行四边形，过点。作垂直于户

轴的直线交直线AS于点Q,再过点。作垂直于x轴的直线交直线P以于点N,求证：A,M,N三点共线.

解：(1)因为楠圆C:，+|=13＞力＞0)的左顶点为A(-2,0),所以。=2,

又'=坐，所以C=小，所以力2=々2—《2=1,所以横圆C的方程为，+9=1.

(2)证明:由⑴知与(0,1),&(0,-1),

[y=fcx—1,

设直线P%的方程为v=履一1,4W0,%工±1,联立,

6+)'=1，

可得(4&2+[*—8日=0,

x=0,戈=4炉+1

解得］或

4^-1

尸

N舟，&T7)

所以

如图，因为四边形仅是平行四边形，由椭圆的对称性可知点P与点M关于原点对称，所以

/一8女1-4^

MjFT?4F+TJ*

I4^2一|—4

直线的方程为_y=5'+1,把y=4M+]代入可得x=T+1，

(-44公一1、

所以4百？苹R,

把工=元击代入)二丘一।可得心言7,一4炉一软一11

4』+1~~J，

一(2氏+1)2

4F+1-(2&+1尸2&+1

所以过A,N的直线的斜率为心N=个4=2(49-1)=2—4内

2一软"1

1一4一

4/^+11—4^2攵+1

过4,M的直线的斜率为ICAM=标-=2(1~2k)2==2—4k=^AN,

2-4一+1

所以A,M,N三点共线.

考点2探索性问题

【例2】(2024•天津卷)已知椭圆笈+/=13>/?>0),椭圆的离心率e=；,左顶点为4,下顶点为B,

O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中SMBC=乎.

(I)求椭圆的方程.

(2)过点(0，一号的动直线与椭圆有两个交点P,Q,在y轴上是否存在点丁使得力•道W0?若存在，求

出点7纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解】(1)因为椭圆的离心率为e=；,故。=2c,b=g,其中c为半焦距，所以A(—2c,0),B(0,

一小c),[0,—故S》8C—2K2cK坐C—

/V2

故。=小，所以”=2小，b=3,故椭圆的方程为；+2=1.

I4X

(2)假设存在满足条件的点7；设〃0,/).若过点(0,一号的动直线的斜率存在，则可设该直线的方程为

y=kx—2,

A

e

（1）求抛物线5的方程.

（2）在抛物线S上是否存在关于直线/对称的相异两点？若存在，求出该两点所在直线的方程；若不存

在，请说明理由.

解：⑴抛物线5:W=2py的焦点「（0,2）,直线/的方程为），=坐大+2

设A（xi,yi）,伙必，yi）,

由"-3、'+金消去y得3«—2小/江一3/祥=0（显然J>0）,则XI+.H=¥P，

F=2外，

VI+5'2=坐（汨+x2）+p=|p.

Q

|4B|=|4Q+|BF|=y+”+p=WP，

于是,p=竽，解得〃=2,

所以抛物线S的方程为f=4y.

（2）由（1）知直线/:），=坐、+1,假设在抛物线S上存在关于直线7对称的相异两点，设这两点坐标为

碓,A（X4,7）,

,2

里—巫

于是直线MN的斜率k,vN=4_4=*3+x4）=一小，解得为+g=—4小.

线段MN的中点（一2小，就在直线/上，则和=一|,而（一2小，y0）应在线段4B上，必有）》0,

与刃=一1矛盾，所以在抛物线S上不存在关于直线/对称的相异两点.

创新点色

解析几何中的创新问题

解析几何的创新题型的表现形式有两种：①定义新的解析几何的概念或性质，如曲线、距离、曲率等，

在此新定义下研究定点、定值、最值、范围等问题；②与其他数学知识交汇命题，如与数列、导数、立体

几何等，借助这些数学知识解决解析几何问题.

【典例】三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺

规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分

角的方法：已知先a（0vaV7r）的顶点为4,在a的两边上截取|A8|=|AC],连接8C,在线段8c上取一点O,

使得|8O|=2|CO|,记8。的中点为。，以。为中心，C,。为顶点作离心率为2的双曲线M,以A为圆心,

4B为半径作圆，与双曲线M左支交于点石（射线AE在NB4c内部），则在上述作法中，

以。为原点，直线8C为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，若8(—2,0),点4在％轴的上方.

(1)求双曲线用的方程.

⑵过点A且与％轴垂直的直线交x轴于点6,点石到直线AG的距离为乩连接6E.

求证：①为定值;

②NBAE=：NBAC.

22

【解】⑴设双曲线M的方程为方一方=13>0,方>0),由|BO|=2|C@及B(—2,0),可得C(l,0),所

以。=1,因为双曲线M的离心率为2,所以幺滔—=—j—=4,解得从=3,所以双曲线M的方程为『一方

=1.

(2)证明：①如图，因为|A8|=|4C|,8(—2,0),C(l,0),

所以直线4G的方程为x=一;.

设E(xo,)\))(xo<—1),则需一I,,3=3/—3,

所以d=-|=­xo-21

又|8£=3(&+2)2+三=寸(40+2)2+3'一3=3(2xo+1>=--1,所以号!=2,为定值.

②因为|A8|=|AE],

所以sin：NBAE=

lAEftsinZEAG=]AE\f

因为^^1=2,所以sin；/8AE=sinNEAG,

又NB4E,NEAG都是锐角，

所以;484F=/E4G,所以/B4C=2NR4G=2(NB4E+/E4G)=3NA4£；

所以N/M£=:N3AC.

J

课时作业64

4

1.(15分)已知抛物线C：)，2=2〃x(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为1的直线/与抛物线C的交点为G,

H.

25

(1)若尸。+尸”|=亍，求抛物线。的方程及焦点小的坐标：

(2)如图，点P为x轴正半轴上的任意一点，过点P作直线交抛物线C于A,B两点，点户关于原点的

对称点为M，连接交抛物线于点N,连接NP,直线NP交抛物线于点石，求证：为NAPE的平分线.

解：⑴由题意得冷，0),谀直线/的方程为尸■一§,GS,9)，H(x2t_V2),

25

由抛物线隹半裕公式可知l/^Gl+lFHkq+丫2+〃=彳，

..25

・・11十12—彳一

消去y潺&V2—I7px+2p2=0,

.*.A|+-^2=g=-4--P，解得p=2,

2

J抛物线。的方程为y=4xf焦点F(1,0).

(2)证明：设4(X3,>3),N(X4,)4),P(w,0),则A/(一"7,0),直线八用的方程为X=/)L〃L

x=ty—rn,

联立，消去x得)2—2p(y+2Pm=0,,\y^y4=2ptty3y4=2pm,

lv=2px,

V3X3)'4+x4)'3-m(y3+.V4)

而k,\p+kw

X3—mX|一"1X3X4—〃?(即+工4)+加2

又X33'4+X4>3-〃K)'3+)4)=(伏、—利»4+()4-"7)井一+)'4)=2)3)'4-2加(>3+*)=4Pmi-4ptlll=0,

・'・&"+2VP=0,

・・・PM为N4PE的平分线.

2.(15分)(2024.北京延庆区一模)已知椭圆邑/+\=1(〃>〃>())的离心率为祭A,C分别是E的

上、下顶点，\AC\=2,B,。分别是E的左、右顶点.

(1)求E的方程；

(2)设尸为第二象限内E上的动点，直•线尸。与直线8c交于点M,直线BP与宜线CQ交于点N,求证:

MN1BD.

2b=2,

；=乎，所以。=2,8=1.所以七的方程为]+.y2=l.

{«2=Z72+c2,

2

⑵证明：因为桶圆石的方程为，+产=1,所以4((),1),C(0,-1),8(—2,0),0(2,0),如图.

设直线。。的方程为y=k(x-2),其中一;<4<0.

'尸出(L2),

由<^+化简并整理得(1+4后)『一16sx+163一4=0,

1]69一48炉一2(Sic—2

由一24Vo可得4>0,由根与系数的关系有2灯=1+4产'所以白=]+4标'2)=e]匚立万一2

一4k

=TT^，

即收-2—软)

即与+4?1+4旬。

直线3c的方程为±+±=1,即)=一%—1.

1

.|y=-p—U,04A-2

由j得知一2什「

〔尸恤一2),

y-0x+2x+2

直线心的方程为:一=萨二片・即,'=—年•

1+43-°1+43+2

直线CD的方程为微+Ty=1.即尸%—1.

4・2

得

XN=2A+T

因为却=卷,，所以MN_L8D

3.(15分)(2024•吉林白山二模)已知双曲线C：x2-f=1的右焦点为忆点P(xo,刃)(死工0)在双曲

线c上，玛，州)

(1)若川=3,且点产在第一象限，点Q关于x轴的对称点为七求直线尸”与双曲线C'相交所得的弦长.

(2)探究：△PQF的外心是否落在双曲线C在点P处的切线上？若是，请给出证明过程：若不是，请说

明理由.

解：(1)如图，依题意得尸(2,3),Q&3),电,一3),则直线PR的斜率为彳匚=4,

2~2

则直线PR的方程为y—3=4i>—2),即y=4.t—5.

，V,

x一万=1,14

联立’3得13.~—4（卜+28=0,解得人=2或x=n,

）,=41-5,

故所求弦长为qr不下x2—第=昔典.

(2)^PQF的外心落在双曲线C在点。处的切线上.证明过程如下：

设双曲线。在点P处的切线斜率为k,则在点P处的切线方程为y—yo=k(x—xo),

y—yo=k（x-xo）,

联立，/得（3—22°，0一日o）x—（比—ho）?—3=0,

,7r=1,

其中〃2#3,则/=4〃2(yo—0:O)2+4(3—S)[G，o—N)2+3]=0,

2

而需一苧=I,故)&+3=3需，代入上式，可得6Za\)yo+遍=0,

解得仁筌，故双曲线。在点P处的切线方程为厂川=乎(工一的)，即MX一吟=1.

>0)0J

厝，野,故线段尸。的中垂线方程为厂当

直线FQ的斜率为kFQ=一争.线段FQ的中点为

设+'9+1

线段PQ的中垂线方程为工==二=*一.

3XO+213-6

可得)，=

4当

故外心坐标为隹;3的啜一6

其满足及忒一苧=1,故△PQF的外