2026年高考数学一轮复习：函数的概念（讲义）解析版

专题2.1函数的概念(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1函数的概念】..................................................................................2

【题型2同一函数的判断】.............................................................................4

【题型3具体函数的定义域的求解】....................................................................6

【题型4抽象函数的定义域的求解】....................................................................7

【题型5函数值域的求解】.............................................................................9

【题型6已知函数定义域、值域求参数】...............................................................1()

【题型7已知函数类型求解析式】......................................................................12

【题型8己知/Ig(x))求解析式】........................................................................14

【题型9分段函数及其应用】..........................................................................15

1、函数的概念

考点要求真题统计考情分析

函数的解析式与定义域、值域问题是高

(1)了解函数的含义，会求考数学的重要内容.从近几年的高考情

简单函数的定义域和值域2022年浙江卷：第14题，5况来看，高考对函数的概念考查相对稳

⑵会根据不同的需要选分定，考查内容、频率、题型、难度均变

择恰当的方法(图象法、列2023年北京卷：第11题，5化不大，函数的解析式在高考中较少单

表法、解析法)表示函数分独考查，多在解答题中出现.预计明年高

(3)了解简单的分段函数，2025年北京卷：第7题，4分考对本节的考查不会有大的变化，仍将

并会应用以分段函数、定义域、值域为主，主要

在选择题中考查.

知识梳理

知识点1函数的定义域、值域的求法

1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不

等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

(1)若已知函数,7U)的定义域为［4,句，则复合函数,/［以⑼的定义域可由不等式友(0求出.

⑵若已知函数的定义域为［*切，则/(x)的定义域为g(x)在上的值域.

3.求函数值域的一般方法

(1)分离常数法；

⑵反解法；

(3)配方法；

(4)不等式法；

(5)单调性法；

(6)换元法；

(7)数形结合法；

(8)导数法.

知识点2函数解析式的四种求法

1.函数解析式的四种求法

(I)配逡法：由已知条件./(g(Y)尸Rr),可将Rr)改写成关于g")的表达式，然后以丫替代g(r),便得人》)的表

达式.

(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.

(3)换元法:己知复合函数人虱明的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

(4)方程思想:已知关于/(》)与/(：)或/(-X)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,

通过解方程组求出大X).

知识点3分段函数的应用

1.分段函数的应用

分段函数问题往往需要进行分类讨论,根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即

分段函数问题，分段解决.

举一反三

【题型1函数的概念】

【例1】(2025•山东•模拟预测)下列图象中，能表示函数y=/(x)图象的是()

【答案】D

[解题思路】根据函数的定义判断可得出结论.

【解答过程】解：•・•一个X只能对应一个y,・••①③符合题意，

对于②中，当%>0时，一个“对应两个y,不符合函数的定义;

对于④中，当％=0时，一个%对应两个y,不符合函数的定义.

故选：D.

【解题思路】根据函数的定义判断.

【解答过程】选项A,C,D的函数图象中存在心对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确.

故选：B.

【变式1-2]（2025高三・全国•专题练习）下列可以作为集合4到集合B的一个函数的是（）

A.A=R,B={y\y>0},f:xy=y/xB.A=R,B={y\y>0）,/:x->y=|x|

C.A=（x\x>0},F=R,/:x-»y2=xD.A=R,B={l},/：x->y=1

【答案】D

【解题思路】观察所给的四个选项是否符合函数的概念，自变量到因变量对应关系允许“一对一”、“多对一,

不允许“一对多”：自变量元素不允许“剩余”即可判断.

【解答过程】A选项：当x为负数时，4中没有元素与之对应，故A选项不正确；

B选项：当工为零时，4中没有元素与之对应，故B选项不正确；

C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确；

D选项：多个自变量对应--个函数值，符合函数定义，故D选项正确.

故选：D.

【变式1-3](24-25高一上•黑龙江大庆•期中)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2WxW2},值域为N=

(y|0<y<2},则函数y=/(%)的图象可能是(

【答案】C

【解题思路】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可.

【解答过程】解：函数y=/(%)的定义域为M={x|-2WxW2},值域为N={y|O工yW2},

可知A图象定义域不满足条件;

B图象不满足函数的值域;

C图象满足题目要求;

D图象，不是函数的图象:

故选：C.

【题型2同一函数的判断】

【例2】(2025•江西九江•模拟预测)下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.f(x)=岑*，g(x)=xB.f(x)=x,g(%)=叱

C./W=1,g(x)=£D.f(x)=%,g(x)=J

【答案】A

【解题思路】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得.

【解答过程】对于A中，函数/(%)=岑*二%的定义域为R,函数g(x)=%的定义域为R,定义域相同，对

应法则相同，所以是同一个函数；

对于B中，函数/'(%)=x和g(x)=yfx^=\x\=[X,X的定义域都是R,但对应法则不同，所以不是同一

—X,X<U

个函数；

对于C中，函数/'(%)=1的定义域为R,函数g(%)=Y的定义域为(-8,0)u(0,+8),定义域不相同，所

以不是同一个函数；

对于D中，函数/(%)=》的定义域为R,g(x)=亍的定义域为(-8,0)u(0,+8),定义域不相同，所以不

是同一个函数.

故选：A.

【变式2-1](24-25高一下•河北保定•阶段练习)下列各组函数表示同一函数的是()

A./(x)=l,g(%)=X0B.f(x)=B,g(x)=(游)3

C./(x)=x+l,g(x)=^-D.f(x)=4x1,g(x)=(Vx)2

【答案】B

【解题思路】利用同一函数的定义，逐项分析判断.

【解答过程】对于A,7(无)的定义域为R,g(x)的定义域为(—8,0)u(0,+8),A不是；

对于B,f(x),ga)的定义域均为R,且窃=(证)3,B是；

对于C,/(%)的定义域为R,或刈的定义域为(一8,i)u(l,+8),C不是;

对于D,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+8),D不是.

故选：B.

【变式2-2](24-25高一上・甘席甘南•期末)下列四组函数：①/⑺=9，g(x)=V?；②/(幻=芸,=

(版)3；③/(%)=%2-2%+l,g(t)=(t-1)2；®/(x)=l,g(x)=(x4-1)°；其中表示同一函数的是()

A.②④B.②③C.®®D.③④

【答案】B

【解题思路】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可.

【解答过程】对于①，函数fa)==的定义域为"|工工0},函数目(%)=小的定义域为XER,

其定义域不同，所以不是同一函数，故错误；

对于②，函数/•(%)=芸=x,gM=(返)3=X,两个函数定义域都是XeR,

对应法则也一样，是同一函数，故正确:

对于③，函数，(%)=x2—2x+l,g(t)=(t—I)2=t2—2t+1,

两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确；

对于④，函数/'(x)=l的定义域为XER，函数以工)=。+1)0=1定义域为卜|工中一1},

两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误.

故选:B.

【变式2-3](24-25高一上•江西赣州•开学考试)下列各组中的两个函数是同一个函数的是()

A./W=：,g(x)=去2B.f(x)=|x|,g(x)={上；%、

x[\/X)I匹“&U

c./(x)=1,9(%)=D./(x)=x2,g(x)=(x4-I)2

【答案】B

【解题思路】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数

相同，从而得到结果.

【解答过程】对A,f(x)的定义域为{x|x工0},g(x)的定义域为">0},故A错误；

对B,/(%)和g(x)的定义域均为R,且f(x)=|x|={二;H，故B正确；

对C,/(%)的定义域为R,g(%)的定义域为0},故C错误；

对D,/(%)和g(x)的定义域均为R,但/(%)+g(x)，对应关系明显不同,故D错误.

故选：B.

【题型3具体函数的定义域的求解】

【例3】(2025•湖南岳阳•模拟预测)函数丁=々+的定义域是()

A.(0,1)B.[0,1]C.[0,+8)D.{0,1}

【答案】B

【解题思路】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.

【解答过程】由丫二6+代口，

得{Co,解得0JW1，

所以函数y=F的定义域是[0,1].

故选：B.

【变式3-1](2025•河北衡水•模拟预测)已知函数、=外五)的定义域为[0,4],则函数、=等+(%-2)。的

定义域是()

A.(1,5]B.(1,2)U(2,5)C.(1,2)U(2,3]D.(1,3]

【答案】C

【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.

【解答过程】因为函数y=/(x)的定义域为[0,4],又函数丫=等+(%-2)。有意义，

(0<x+1<4

则有]x-1>0,解得1vx<2或2VxW3,

(%-200

所以函数y=智+(%-2)。的定义域是(1,2)U(2,3].

vx—1

故选:C.

【变式3-2】(2025・海南•模拟预测)函数/(%)=或二代匕的定义域为()

A.(-oo,l]B.(1,2]C.(-8,2]D.(-8,1)U(1,2]

【答案】D

【解题思路】根据表达式有意义列出不等式组求解即可

【解答过程】由题知解得且%工1

即函数/(x)=VTG+土的定义域为(-81)U(1,2]

故选:D.

【变式3-3](24-25高一下•浙江金华•阶段练习)函数/■(>)=/+/。+4)(1--的定义域是()

A.(-co,-4]U[2,+8)B.(-4,0]U(0,1)

C.[-4,0)U(0,1]D.[-4,0)U(0,1)

【答案】C

【解题思路】由题意可得1+4、：_°约？0,求解即可.

【解答过程】由4弦匕>0,得｛G+WU1)<0,解得一4工"。或0VK1,

所以函数/'(x)=x°+J(x+4)(1-x)的定义域是[-4,0)U(0,1].

故选：C.

【题型4抽象函数的定义域的求解】

【例4】(2025・江苏镇江•模拟预测)若函数y=/(2外的定义域为[-2,4],则y=/(%)-/•(一%)的定义域为()

A.[-2,2]B.[-2,4]

c.[-4,4]D.[-8,8]

【答案】C

【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数/•(%)的定义域，对于函数旷=/'(%)-“-切，可列

出关于工的不等式组，由此可得出函数y=fM-/'(-%)的定义域.

【解答过程】因为函数y=f(2x)的定义域为[—2,4],则一2可得一4W2xW8,

所以，函数y=f(幻的定义域为

对于函数y=/(%)-/(-%),则有{二解得一4W%W4,

1—4S—XSo

因此，函数y=/(x)-/(一%)的定义域为[-4,4].

故选：C.

【变式4-1](24-25高二下•江苏无锡•阶段练习)已知函数/(%)的定义域为(-LD，则函数9(%)=答的定

Vx—1

义域为()

A.(-1,1)B.{1}C.(1,3)D.(1,2)

【答案】D

【解题思路】根据八幻的定义域以及分式中分母不为o和平方根式;下大于0即可直接计算出结果.

【解答过程】因为函数/■(%)的定义域为(-1,1),

所以g(x)的定义域需满足：

vx-1

解得l<x<2.

故选：D.

【变式4-2](2025•江西九江•模拟预测)已知函数丫=八划的定义域为则函数、=/(2必一1)的定义

域为()

A.[0,3]B.[-3.3]C.[-V3,V3]D.[-3,0]

【答案】C

【解题思路】由题可知解一1<2x2-1<5即可得答案.

【解答过程】解：因为函数y=fG)的定义域为[-1,5],

所以，一1W2%2-1工5,即0工，工3,解得一HwxwVS,

所以，函数丫=/(2%2一1)的定义域为[一百,述]

故选：C.

【变式4-3](24-25高一上•云南楚雄•期末)已知函数/(外的定义域为(-1,2),则函数g(x)=等的定义域

vx—1

为()

A.(-1,1)B.{1}C.(1,3)D.(-1,3)

【答案】C

【解题思路】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；

【解答过程】由题意：要使9(%)=华岑有意义，则{-

Vx-1IX1,

解得IV。V3所以g(%)的定义域为(1,3).

故选：C.

【题型5函数值域的求解】

【例5】(2024•北京怀柔・模拟预测)已知函数/(%)二比牙则对任意实数x,函数/(外的值域是()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【答案】C

【解题思路】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.

【解答过程】依题意，f(X)=盘-2=2_/,

显然232+1工1,则0V元片工2,于是0W2一又占＜2,

所以函数/(%)的值域是[0,2).

故选：C.

【变式5-1](24-25高一上•辽宁朝阳•期末)函数/(均二7711一2x的值域为()

A.(-00,-1]B.(-8,_彳C.(-co,-2]D.(-8,一高

【答案】D

【解题思路】换元法，令=t二0,得到y=—2{—*)2—蔡，从而得到函数值域.

【解答过程】令后口=£20,则％=£2+1,

2

则:X=£-2(t2+1)=-2t2+£-2=-2(t-0一蔡，

故当”的寸，fax—zG—》一日取得最大值，最大值为一字

所以/(X)=2%的值域为1-8,-耳.

故选：D.

【变式5-2](24-25高一上•北京•期中)下列函数中，值域为[0,4]的是()

A./(%)=x—1,x6{1,2,3,4,5}B./(x)=—%2+4

C./(x)=V16—x2D.f(x)=x+：-2(%>0)

【答案】C

【解胭思路】根据一次函数、二次函数、对勾函数值域的求法依次判断各个选项即可.

【解答过程】对于A,/(%)的值域为{0,1,234},A错误；

对于B,/(%)的值域为(-8,旬,B错误;

对于C,由16—％2得：-4WXW4,即/(£)的定义域为[-4,4],

当％W[—4,4]时，16—x2E[0,16]»/(x)6[0,4],C正确；

对于D,当％>0时，x+^>2(当且仅当％=1时取等号)，••・/(X)W[0,+8),D错误.

故选：C.

【变式5-3](2025•北京•高考真题)已知函数/•(%)的定义域为。，则力x)的值域为R”是“对任意M6R,存

在沏W。，使得的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【解题思路】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.

【解答过程】若函数f(x)的值域为R,则对任意MER,一定存在勺CD,使得/'ajMlMl+l,

取沏=打,则|/(沏)|=网+1>M,充分性成立；

取/(x)=23D=R,则对任意MWR,一定存在修€0,使得/(不)=|M|+1,

取须=多，则=+但此时函数/X%)的值域为M,+8),必要性不成立；

所以"(%)的侑域为R“是“对任意MGR,存在阳)G0，使得|/(%o)|>M”的充分不必要条件.

故选：A.

【题型6已知函数定义域、值域求参数】

【例6】(24-25高一上•江苏常州•期中)若函数/(%)=修=^的定义域为R,则实数〃的取值范围是()

+收+1

A.(0,4)B.(0,4]C.[0,4)D.々<0或Z>4

【答案】C

【解题思路】由题意可知不等式以2+/^+1>0的解集为口，分情况讨论，即可求解.

【解答过程】当xWR时，不等式依2+kx+l>0恒成立.

当A=0时，1>0恒成立：

当我00时，则需满足.2>乙，八，二0<攵<4，

综合可得攵的取值范围是[0,4).

故选:C.

【变式6-1](25-26高一上•全国•课后作业)函数y=]的定义域为R,则实数k的取值范围为()

,7kx6T^2kx+l

A.(-oo,0)U(l,+oo)B.(-oo,0]u[l,+oo)C.(0,1)D.[0,1)

【答案】D

【解题思路】k=0时直接代入；k工0时利用A<0可得答案.

[解答过程】因为函数，的东义域为R，

所以关于工的方程匕2+2依+1=0无实数解，

当A=0时，1=0显然无解，符合题意；

当AH0时，则4=4k2-4kV0,解得0VkV1.

综上可得0L

故选:D.

【变式6-2](24-25高一上•北京•阶段练习)已知函数/•(%)=|/-4"+3|在[m,词上的值域为[0,1],ffln-m

的取值范围是()

A.[1,2]B.[V2-1,2]C.[1,2©D.[V2-1,272]

【答案】D

【解题思路】令人为)=1,求出相应的％的值，即可画出/(无)的图象，数形结合求出--血的最值，即可得解.

【解答过程】由好一4%+3>0,即(X-1)(%—3)>0,解得无>3或

所以欢)=俨一轨+3|=『-轨+(二,1)版+切，

11(-x2+4x-3,xe[1,3]

当为6[1,3]时，f(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,所以/(2)=1,

当XE(-8,1)u(3,+8)时，令/"口)=1,即%2―4%+3=1,解得打=2-VLx2=2+V2,

则/(%)的图象如下所示：

因为函数/(%)=\x2-4x+3|在的,九]上的值域为[0,1],

当仇=2—四，n=1(或m=3,n=2+V2)时九一瓶取得最小值，

即(n-m)min=1-(2-V2)=V2-1；

当m=2—Ti=2+加时n-m取得最大值，

即(ri-m)max=(2+V2)-(2-V2)=2-y2；

所以〃-m的取值范围是[近一1,2码.

故选：D.

【变式6-3](24・25高一上•贵州毕节•期末)已知函数/~(%)=,「2：「、「的定义域是R，则。的取值范围

(a-l)x4+(a-l)x+2

是()

A.(L9)B.(1,8)C.[1,9)D.[1,8)

【答案】C

【解题思路】将定义域是R的问题转化为不等式恒成立，对a-1是否为零进行分类讨论即可求得结果.

【解答过程】根据题意(a-l)x2+(a-l)x+2>0对于V%eR"亘成立；

当a-1=0时，2>0显然成立，可得a=1符合题意；

当a—l>。时，若满足题意可得;AMg.iflli/a-Dvo,解得l<a<9；

,

当a-1V0时，若满足题意可得=(a_1)2Zjx2(a-l)<0此时无解；

综上可得，Q的取值范围是口,9).

故选：C.

【题型7已知函数类型求解析式】

【例J7X24-25高一上•福建福州•期中)若函数/(%)是二次函数，满足/(0)=2,f(x+2)-f(x)=4%,则/(%)=

()

A.x2+x+2B.x2-2x+2C.x2-x+2D.x2+2x+2

【答案】B

【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.

【解答过程】设/(%)=。/+以+(：(。工0),由/■(())=2,则c=2,

由f[x4-2)-/(x)=4x,则Q(X+2)2+b(x+2)+2-(ax2+bx+2)=4x,

整理可得4依+4a+2b=4%,则。广获to,解得｛/二A：

所以/(无)=x2-2x+2.

故选：B.

【变式7-11(24-25高一上•天津•期中)已知函数/(%)=kx+b为一次函数,且/'(2)=-1/(4)=3,则/(一1)=

()

A.3B.-3C.-7D.7

【答案】C

【解题思路】根据条件求出k,b,得/•(%)的解析式，进而代入求值即可.

【解答过程】・・・f(2)=-1J(4)=3,・・・2k+b=-1且4k+b=3,解得k=2,b=一5,

A/W=2%—5,/./(-I)=2x(-1)-5=-7.

故选：C.

【变式7-2](23-24高一上•浙江嘉兴•阶段练习)已知函数/(%)是一次函数，且/[/(%)-2x]=3,则/(5)=

()

A.IlB.9C.7D.5

【答案】A

【解题思路】设fO)=QX+b(QH0),根据/[/(%)-2对=3恒戌立可得a,b,然后可解.

【解答过程】设f(x)=Q%+b(a工0),

则/Lf(x)-2对=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3,

整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0,

所叱息驾射＜=?■

所以/(X)=2x+l,所以/(5)=2x5+1=11.

故选：A.

【变式7-3](24-25高一上•全国•课后作业)图象是以(1,3)为顶点且过原点的二次函数/⑺的解析式为()

A./(x)=-3x2+6xB.fM=-2x2+4x

C.f(x)=3x2—6xD.f(x)=2x2-4x

【答案】A

【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点,

将(0,0)代入即可.

【解答过程】设图象是以(1,3)为顶点的二次函数/(0=以%—1)2+3(。00).

因为图象过原点，所以0=Q+3,a=-3,所以/(x)=-3(%-1)2+3=-3%2+6x.

故选：A.

【题型8已知%(*))求解析式】

【例8】(2025・重庆・模拟预测)已知函数/(1一划=詈。。0),则/(%)=()

A・g)21GH°)B•(二产

C.(%旧。)D•(二)21(K1)

【答案】B

【解题思路】利用换元法令£=1-不求解析式即可.

【解答过程】令亡二1一人则无二1一匕且X40,则tHl,

可得/(£)=日=小一1，("1)'

所以/(%)二白豆一1(%K1).

故选：B.

【变式8-1](2025•辽宁沈阳•二模)已知/a-1)=眇，则，(2)=()

A.eB.2eC.e2D.e3

【答案】D

【解题思路】先由换元法求得函数八%)的解析式，然后代入计算，即可得到结果.

【解答过程】令3—1=tWR,则工=£+1,所以/(£)=^+1，即/(x)=e"+i,

则/(2)=e3,

故选：D.

【变式8-2](24-25高一上•湖南衡阳•期中)函数fO)满足若/■(g(x))=9X+3,^(%)=3%+1,则/'(x)=

()

A./(x)=3xB./(x)=3

C./(x)=27x+10D./(x)=27x+12

【答案】A

【解题思路】对/'(g(%))的式子适当变形，即可直接求出/(%).

【解答过程】因为f(g程))=9%+3,g(x)=3x+l,

所以f(3x+1)=9%+3=3(3x+1),则/(%)=3x.

故选：A.

【变式8-3](24-25高一上•浙江•期中)己知函数/•(依一2)="-4《+5,则f(x)的解析式为()

A./(%)=x2+l(x>0)B.f(x)=x2+1(%>-2)

C./(x)=x2(x>0)D.f(x)=x2(x>-2)

【答案】B

【解题思路】应用换元法求函数解析式，注意定义域.

【解答过程】令《=近一2之一2,则x=(t+2)2,

所以f。)=(C+2乃一4Q+2)+5=~+1，

综上，/(X)=X2+1(X>-2).

故选:B.

【题型9分段函数及其应用】

【例9】(2025•吉林长春•三模)已知函数/(乃={/(：；])%0，则/'(—3)=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解题思路】根据分段函数解析式，代入求值即可.

【解答过程】由函数可得，/(-3)=/(-1)=/(I)=21=2.

故选：B.

【变式9-1](2025•江西上饶•一•模)设若/(m)=/(巾+1)，则血=()

A禺B-JC.2D.±

【答案】C

【解题思路】分0Vm<1和m之1两种情况解方程/"(m)=f(m+1)即可求解.

【解答过程】由题意可知m>0,

当OVmVl时，ni+1>1,所以由/(m)=f(m+1)得诉7=3m=>m

当m时，771+1>1,所以由f(m)=f(m+1)得3(?n-1)=3?n,无解.

综上，m=

故选：C.

【变式9-2】(2025・江西•模拟预测)已知函数/(%)满足/■(x+l)=［与')(")为偶数'若fQ)=3,则

(3/(x)+l"(x)为奇数.

/(2U24)=()

A.1B.4C.5D.2024

【答案】A

【解题思路】通过计算求得函数的周期即可得到答案.

【解答过程】因为/'(1)=3,所以f(2)=10,f(3)=5,/(4)=26,/(5)=8,"6)=4,/(7)=2,/(8)=1,

/(9)=4,/(10)=2,/(II)=1,/(12)=4,/(13)=2,/(14)=1,/(15)=4,f(16)=2....发现

从第6项开始就是以3为周期的周期函数，2024—5=2019,为3的倍数，则f(2024)=1.

故选：A.

2*Tx<1

百’若/⑷=1,则实数a的值为()

{T,X-L

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

【解题思路】分aVI和a之1,求解/'(a)=l,即可得出答案.

【解答过程】当aVI时，f(a)=20-1=1,则a—1=0,解得：a=l(舍去)：

当aZl时，/(。)=弓=1,则乃=2,解得：a=4.

故选：B.

过关测试

一、单选题

1.(2025,山东•一模)函数/•(%)=8一1|一3的定义域是()

A.[4,+oo)B.(-co,-2]

C.[-2,4]D.(-co,-2]U[4,+8)

【答案】D

【解题思路】先由函数有意义得氏-1|-3之0,解该不等式即可得解.

【解答过程】要使函数有意义，则反一1|一320,即以一1|N3,

所以％—123或%—1工一3,解得％24或欠4―2,

所以函数的定义域为(-8,-2]U[4,+co).

故选：D.

2.(2025•山西•模拟预测)己知/(/(%))=d一%+1,则/(1)=()

A.0B.IC.0或1D.2

【答案】B

【解题思路】将/■(/(I))看成一个整体，利用/'(fa))=炉一%+1求解即可.

【解答过程】/(/(X))=x2-x+l,

故/(/⑴)=1-14-1=1,

所以/(/(/(D))=/(D=产⑴-/(I)+1,

故尸(1)-2/(1)+1=0,解得/⑴=1.

故选：B.

3.(2025•北京东城一模)下列函数中，定义域为(0,+8)的函数是()

A./(x)=y/xB./(x)=InxC.f(x)=2，D.f(x)=tanx

【答案】B

【解题思路】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案.

【解答过程】对于A,要使得根号下有意义，则即定义域为[0,+8),故A错误；

对于B,要使得对数有意义，则真数％>0,即定义域为(0,+8),故B正确：

对于C,由指数函数的定义可知其定义域为R,故C错误；

对于D,要使得正切函数有意义，则+即定义域为卜故D错误；

故选:B.

4.(2025・湖北黄冈•一模)已知函数八幻二"2的定义域AER,值域8={9},则满足条件的户比)有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解题思路】先计算/=9,得出％=±3,再根据函数的定义即可写出所有符合条件的函数.

【解答过程】令/(%)=d=%则》=±3,

则满足条件的f(x)有：

/(A)=x2,xE{3}：/(x)=x2,xe{-3)；/(x)=x2,xe(-3,3},

故满足条件的f(x)有3个.

故选：C.

5.[2025•江西萍乡•三模)已知定义在R上的函数f(x)满足对于任意实数x,y均有f(xy)=y/(x),且2/(2)=

/(1)+6,则f(2025)=()

A.675B.1350C.2025D.4050

【答案】D

【解题思路】根据赋值法，用x替换替换x得到牛=攀，故竽是常函数，设fa)=cx,再结合2/(2)=

/(I)+6可解/(%)即可求/(2025).

【解答过程】用x替换y,y替换x可得/•(xy)=yf(x)=xf(y),当yHO时，，故可知少是常函数,

于是知当工工0时，/(%)=ex,其中c为常数，故4c=c+6,解得c=2,于是/'(2025)=2x2025=4050.

故选：D.

6.(2024•江西•模拟预测)已知对任意的％y€R都有+y+f(x))=6%+2y+任则一次函数y=/(x)

的解析式为()

A.y=x+1B.y=2x

C.y=2x4-1D.y=x

【答案】C

【解题思路】利用待定系数法，设f(x)=kx+b(k00),根据题意运算求解即可.

【解答过程】设/(%)=依+b(kI0),

则/(%+'+/(%))=f(x+y+kx+b)=k(x+y+kx+b)+b=(k24-k)x+ky+kb+b,

因为/(%+y+/(x))=6x+2y+3,BP(k24-k)x+ky+kbb=6x+2y+3,

上2+忆=6

k=2，解得，所以y=2x+l.

!kb+b=3lb=1

故选：C.

7.(2024•贵州铜仁•模拟预测)已知函数f(x)的定义域为[0,3].记f(x)的定义域为集合4/(2、-1)的定义域

为集合B.则七eA”是“％68”的()

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】先利用函数的定义域求得集合48,再利用充分条件、必要条件的定义判断.

【解答过程】•・•函数f(x)的定义域为[0,3],

所以4=[0,3],

令0工2，一143,解得142*44,BP0<%<2,即3=[0,2],

VZ2B,

6力”是七G8”的必要不充分条件，

故选：C.

8.(2025•云南红河•三模)定义在R上的函数y=/(%)满足:VX6R都有f(%+1)-f(%)<x,f(x+2)-/(%)>

2x4-1,且f(1)=1,则/(10)=()

A.45B.46C.91D.92

【答案】D

【解题思路】将/(无+1)-fW<工中的%替换为％+1得到新的不等式，再和/(%+2)-fW>2x+l运算,

即可得出％<f(x+1)—/(x)<X,进而确定关系式/(%+1)-/(x)=x,再赋值x=1,2,-,9得出关系式，

再相加即可.

【解答过程】由f(欠+程一/(%)WX©,得：/(%+2)-/(%+1)Wx+1②，

②x(―1)得:—/(X+2)+f(x+1)>—x—1③,

又/o+2)-fa)之2%+i④

©+④得：/(x+1)-/(x)>x@,

由①和⑤,得：/(X+1)-/(X)=X,

所以八2)-/(1)=1,/(3)-/(2)=2,八4)一/(3)=3,…，)(10)-/(9)=9,

以上式子相加得f(10)-/(I)=1+2+3+…+9=45,

则/(10)=f(l)+45=46.

故选：B.

二、多选题

9.(2024•湖南益阳•模拟预测)下列命题中，正确的是()

(1,当%>0时

A.函数出)=4与〃(x)={0,当％=0时表示同一函数

(-1,当％V0时

B.函数v(x)=x2-2x+2与u(t)=t2-2t4-2是同一函数

C.函数y=/■(%)的图象与直线》=2024的图象至多有一个交点

D.函数"%)=|%—1|一人则/'(/G))=0

【答案】BC

【解题思路】根据相等函数的定义判断A、B,根据函数的定义判断C,由函数解析式求出函数值，即可判

断D.

【解答过程】对于A：贝%)=更={1/二因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误;

x1—1,x<0

对于B：函数式x)="2-2%+2与认。=胫-21+2定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B正确;

对于C：根据函数的定义可知，函数y=/(x)的图象与直线％=2024的图象至多有一个交点，故C正确；

对于D：因为/(无)=|无一1|一工，所以==

W(/Q))=/(0)=10-11-0=1,故D错误.

故选：BC.

10.(2025•新疆喀什•模拟预测)已知函数/(%)=隹p则()

A./(x)+/(-x)=0B./(%)<2

C./«+/(；)=2D./(3)+/(2)+/(1)+/(1)+/(1)=5

【答案】BCD

【解题思路】根据/'(%)的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可.

【解答过程】对于A,/■(%)+/■(-工)=岛+m7T="/0,故A错误；

对于B,由/'(%)=*■工彳=2,故B正确；

对于C,作)+花)=目+扁=端2=2,故C正确；

对于D,由选项C知/•(>)+/•&)=2,且/'(1)=1,

•・./(3)+/(2)+/(1)+/(|)+/(1)=2+2+1=5,故D正确.

故选：BCD.

11.(2025•全国•模拟预测)已知定义域为R的函数f(%)满足/CO•f(y)=f(x+y)+f(2-x)•f(2-y),

且/(O)=1,/1(-2)=0,则()

A./«=/(-%)

B-/(x+4)=/(x)

C.f(2)+f(4)4-f(6)+/(8)4-/(IO)+…+/(2026)=1012

D.D(切2+[/(2+切2=i

【答案】AD

【解题思路】利用赋值法，对选项逐一判断即可求解.

[解答过程]由题意f(%)•r(y)=f(x+y)+f(2-%).f(2-y),

得：f(x+y)=/(x)./(y)-/(2-x)"(2-y).

令％=y=1,

则"2)=/(l)-/(l)-/(I)-/(l)=0.

令x=2,y=-2,

可得：f(0)=/(2)-/(-2)-/(Ci)•/(4)=-f(0)./(4),

由“0)=1,得/(4)=一1H/(0),故选项B错误；

令％=-2,y替换为-y,

W(-2-y)=/(-2)./(-y)-/(4)/(2+y),

因为/'(4)=-1，/(-2)=0,

所以f(-2-y)=/(2+y),即/㈤=/(一、)，

故选项A正确：

令x=2,y替换为x,

可得：f(2+x)=f(2)-fM-f(2-2)•f(2-x),即/(2+x)=-/(2-x)=-f(x-2),

所以/(x+2)+/(x-2)=0,

所以f(4)+f(8)=。/(6)+/(10)=0,...»/(2022)+/(2026)=0,

故/(2)+/(4)+/(6)+/(8)+/(IO)+…+/(2026)=/(2)=0,故选项C错误;

令y=-x,

可得:/(0)=fW•/(-%)-