陕西省咸阳市百灵中学2026届高二上数学期末综合测试试题含解析

陕西省咸阳市百灵中学2026届高二上数学期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．不等式解集为（）A. B.C. D.2．已知F为椭圆C：=1(a>b>0)右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆C的离心率为（）A. B.C.-1 D.-13．已知椭圆上一点到左焦点的距离为，是的中点，则（）A.1 B.2C.3 D.44．双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.5．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（）A. B.C. D.6．南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）A.336 B.467C.483 D.6017．已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（）A. B.C. D.8．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③9．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数f（x）的导函数，若，对，且．总有，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.10．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A. B.C. D.11．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.12．有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题.其中真命题的个数是A.0 B.1C.2 D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数.（1）若的解集为，求a，b的值；（2）若，a，b均正实数，求的最小值；（3）若，当时，若不等式恒成立，求实数b的值.14．已知平面，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面，所成的角都是30°，则这样的直线l有______条15．已知正项等比数列的前n项和为，且，则的最小值为_________16．若直线与直线平行，则实数m的值为____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，求数列的通项公式.18．（12分）已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取了名学生，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等级，设，分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有（人），数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人，已知与均为A等级的概率是0.07（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率19．（12分）已知，，函数，直线是函数图象的一条对称轴（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）若，，的面积为，求的周长20．（12分）如图所示，已知定点为曲线上一个动点，求线段中点的轨迹方程.21．（12分）如图所示，在正方体中，E是棱的中点.（Ⅰ）求直线BE与平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论.22．（10分）已知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上.（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点的倾斜角为直线l与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长度.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】化简一元二次不等式的标准形式并求出解集即可.【详解】不等式整理得，解得或，则不等式解集为.故选：.2、D【解析】记椭圆的左焦点为，在中，通过余弦定理得出，，根据椭圆的定义可得，进而可得结果.【详解】记椭圆的左焦点为，在中，可得，在中，可得，故，故，故选：D.3、A【解析】由椭圆的定义得，进而根据中位线定理得.【详解】解：由椭圆方程得，即，因为由椭圆的定义得，，所以，因为是的中点，是的中点，所以.故选：A4、A【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.5、A【解析】设，，则、，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.【详解】设，中点，则，，又，，则，所以，又，则，而，，所以，即，综上，，整理得，即为M的轨迹方程，所以在圆心为，半径为的圆上，则.故选：A.【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于的轨迹方程.6、B【解析】先由递推关系利用累加法求出通项公式，直接带入即可求得.【详解】根据题意，数列2，3，5，8，12，17，23……满足，，所以该数列的第31项为.故选：B7、A【解析】由可求得，利用可构造方程求得.【详解】，，，，，解得：.故选：A.8、B【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.【详解】，故①正确；根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.故选：B.9、C【解析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，故A不正确；对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；，表示点与点连线的斜率，由图可知，所以C正确，同理，由图可知，故D不正确.故选：C10、B【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，可得出，利用基本不等式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，因为，则，所以，，则，当且仅当时，等号成立.故选：B.11、B【解析】根据斜率的取值范围，结合来求得倾斜角的取值范围.【详解】设倾斜角为，因为，且，所以.故选：B12、B【解析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；故答案为B.【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1），；（2）；（3）【解析】（1）根据韦达定理解求得答案；（2）根据题意，，进而化简，然后结合基本不等式解得答案；（3）讨论，和x=2三种情况，进而分参转化为求函数的最值问题，最后求得答案.【小问1详解】由已知可知方程的两个根为，2，由韦达定理得，，故，.【小问2详解】由题意得，，所以，当且仅当时取等号.【小问3详解】若，，不等式恒成立.当时，，此时，即对于恒成立，单调递减，此时，，所以；当时，，此时，即即对于恒成立，在单调递减，此时，所以；当x=2时，.综上所述：.14、4【解析】设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，设OM是的角平分线，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，由此可得答案.【详解】解：设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，因为平面，所以，设OM是的角平分线，则，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，此时直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，同理，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，所以这样的直线l有4条，故答案为：4.15、16【解析】根据是等比数列，由，即可得也是等比数列，结合基本不等式的性质即可求出的最小值.【详解】是等比数列，，即，也是等比数列，且，，可得：，当且仅当时取等号，的最小值为16.故答案为：1616、【解析】利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可【详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由题设条件，结合等差数列通项公式求基本量d，进而写出通项公式.（2）由（1）得，应用累加法、错位相减法及等比数列前n项和公式求的通项公式.【小问1详解】令公差为d，由得：，解得.所以.【小问2详解】，则，累加整理，得：，①，②②-①得：，又满足上式，故.18、（1），（2）【解析】（1）根据与均为A等级的概率是0.07，求得值，再根据数学成绩的优秀率是30％求得值，最后利用抽取的总人数求出值即可；（2）根据，，，写出满足条件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.【小问1详解】由题意知，解得，，解得，由已知得，解得.【小问2详解】由，，，可知，则试验的样本空间，共9个样本点其中包含的样本点有共4个，故所求概率19、（1），单调递增区间为.（2）【解析】（1）先利用向量数量积运算、二倍角公式、辅助角公式求出，再求单增区间；（2）利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周长.小问1详解】已知，，函数，所以.因为直线是函数图象的一条对称轴，所以,所以，又，所以当k=0时，符合题意，此时要求的单调递增区间，只需,解得：，所以的单调递增区间为.【小问2详解】由于，所以，所以.因为，所以.因为的面积为，所以，即，解得：.又，由余弦定理可得：，即，所以，所以，所以的周长.20、【解析】设线段的中点的坐标为，点的坐标为，根据中点坐标公式和代入法求得线段中点的轨迹方程.【详解】解设线段的中点的坐标为，点的坐标为，则用代入法求得所求方程为.【点睛】本题考查了中点坐标公式和代入法求动点的轨迹方程，属于容易题.21、（1）；（2）详见解析【解析】设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.（Ⅰ）依题意，得，所以.在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则.即直线BE和平面所成的角的正弦值为.（Ⅱ）在棱上存在点F，使.事实上，如图所示，分别取和CD的中点F，G，连结.因,且