23.1 锐角的三角函数（5知识点+8题型+强化练习）学生版

23.1锐角的三角函数课程标准学习目标1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数,知道30°、45°、60°角的三角函数值。2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函教值求它的对应锐角。1.理解正弦、余弦、正切、余切这四个锐角三角函数的概念,能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数。2.掌握特殊角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数的运算式,能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数。3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。知识点01正切与坡度·正切定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即；符号语言:在中,，.【即学即练1】（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，，则(

)A． B． C． D．【即学即练2】已知为的一个锐角，且，则的值为．·坡度：坡面的铅直高度ｈ和水平长度ｌ的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i（坡度通常写成ｈ∶ｌ的形式）．·坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作α，于是有i＝ｔａｎα．

显然，坡度（ｉ＝ｔａｎα）越大，坡角α越大，坡面就越陡．【即学即练3】坡比是1：，坡角为α，则∠α＝．知识点02正弦、余弦、余切·正弦定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即；符号语言:在中,，.【即学即练4】（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在中，，则等于（

）A． B． C． D．【即学即练5】如图,在中，，，垂足为D，若，则的值为（

）A． B． C． D．·余弦定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即；符号语言:在中,，.【即学即练6】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中中，，，，那么的值是（

）A． B． C． D．·余切定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； 符号语言:在中,，.【即学即练7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为·锐角三角函数概念：对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是锐角A的函数。同样地cosA,tanA，cotA也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数.注意：①在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位②锐角的三角函数值只与锐角的大小有关，与所在的直角三角形的边的长短无关。【即学即练8】在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定【即学即练9】（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．知识点0330°、45°、60°角的三角函数值注意：三角函数与勾股定理联系紧密，要熟悉几组常用勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④7,24,25；⑤8,15,17；⑥9,40,41.【即学即练10】的值等于（

）A． B． C．1 D．【即学即练11】（2024·安徽六安·模拟预测）计算：．【即学即练12】计算：．【即学即练13】如图，在中，，是的平分线，与相交于点D，且，求的长．知识点04锐角三角函数值的相互关系·同角的三角函数值关系：，【即学即练14】（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角，，求的值．·互余的两个角的三角函数值关系：任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值．注意：①直角三角形中要分清锐角的对边和邻边.②在中，，可知,所以互余，即,.【即学即练15】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，，则的值为．【即学即练16】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【即学即练17】（22-23九年级上·安徽六安·期末）在中，，，则（

）A． B． C． D．知识点05一般锐角的三角函数值·作直角三角形，利用直角三角形边与角的关系，求出对应的两条线段的比值，表示出锐角三角函数值·科学计算器求锐角三角函数值【即学即练18】如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（

）A． B． C． D．【即学即练19】如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（

）．A．B．C．D．·符号表示：①在表示正弦、余弦、正切、余切时，单字母表示的角通常省略角的符号，而三个字母表示的角不能省略角的符号。如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，；的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，，②,,,是完整的符号，不能写成，，，·锐角三角函数值的取值范围：在中，，、、的对边分别是，，。由正弦、余弦、正切、余切的定义可知，，，.·求一个锐角的三角函数值的方法：锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，当给出的三角形不是直角三角形时，需通过作高等方法构造出直角三角形。例：如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，求sinB的值.在Rt△ABD中,AB=3，BD=2，根据勾股定理，得,∴.【题型一：根据三角函数值求边长】例1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）在中，，那么下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．例2．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（

）A．2 B． C． D．变式2-1.如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长．变式2-2.如图，在中，，，，求的长．变式2-3.如图，是的高线，垂足为点是的中线．，．(1)求的长；(2)求的值．例3.如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．(1)若，，，试比较、的大小；(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．【题型二：根据特殊角的三角函数值求角度】例4．已知中，，都是锐角，且，则度．变式4-1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若为锐角，，则．变式4-2．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（

）A． B． C．30° D．60°【题型三：根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状】例5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形变式5．在中，，都是锐角，且，则是三角形．【题型四：已知角度比较三角函数值的大小】例6．（22-23九年级上·福建泉州·期中）三角函数，，的大小关系是（

）A． B．C． D．变式6-1．比较，，的大小关系是（

）A． B．C． D．变式6-2．比较大小：（填“”、“”或“”）．【题型五：根据特殊角的三角函数值求角的范围】例7．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（）A． B．C． D．变式7-1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（

）A． B．C． D．变式7-2．已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．【题型六：利用同角或互余两角的三角函数关系求值】例8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．

(1)求的值；(2)填空：当为锐角时，______；(3)利用上述规律，求下列式子的值：．变式8．（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则．【题型七：利用正切值求高】例9．（2024·广西梧州·一模）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为、，A、B两点的距离是a，过C点作交AB的延长线于点D，则CD的高度．（用含有、、a的式子表示）变式9．（2022·上海青浦·二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为米．【题型八：三角函数综合】例10．（2024·山东菏泽·一模）已知的三个内角，，的对边分别为，，．观察：若，则有，．．模仿：已知，．(1)求的值；(2)若，求．例11.（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．

(1)已知，求的长；(2)求的值．例12.如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则．

变式12-1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，连接、、，且交于，交于，则的值为（

）A． B． C． D．变式12-2．如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（

）A． B． C． D．

一、选择题1．在中，，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（

）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定2．（22-23九年级上·上海·期中）已知为锐角，且，那么的正切值为（

）A． B． C． D．3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（

）．A． B． C． D．6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）观察下列各式：①；②（是锐角）；③，其中成立的有(

)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）已知为锐角，则的值（

）A．​ B．​ C．​ D．​8．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题9．在中，，则；；10．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）若锐角满足，则．11．已知，，则．12．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在正方形网格中位置如图所示，则的值为．13．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，三边之比为，则．14．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有个．三、解答题15．（1）（2024·安徽滁州·三模）计算：；（2）（2024·安徽合肥·三模）计算：．16.(1)12(2)sin45°⋅17．（2023·浙江台州·二模）某校在漩门湾进行船只模型比赛，小船需从A点行驶至C点，已知，，若小船沿比赛路线从A点出发行驶30m后到达终点C，求BC的长．（结果保留整数，参考数据：，，）

18．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，于．(1)求证：；(2)如果，求的长．19．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，．(1)求的值；(2)延长至点，使得，求的长．

20．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：，，，，．据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．(1)当，时，验证是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间