23.5 解直角三角形（全章直通中考）（基础练）(含答案)-沪科版(2024)九上

专题23.5解直角三角形（全章直通中考）（基础练）【要点回顾】【要点1】锐角三角函数正弦：sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c)余弦：cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)＝eq\f(b,c)正切：tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq\f(a,b).【要点2】特殊三角函数度数三角函数30°45°60°1【要点3】解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：；(2)锐角之间的关系：；(3)边角之间的关系：，，.【要点4】解直角三角形的应用(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有.(3)方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.(4)解直角三角形实际应用的一般步骤：a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022·天津·统考中考真题）的值等于（

）A．2 B．1 C． D．2．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2023·广东深圳·统考中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（

）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J4．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米5．（2022·贵州毕节·统考中考真题）计算的结果，正确的是（

）A． B． C． D．6．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（

）

A． B． C． D．8．（2023·山东·统考中考真题）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（）

A．

B．

C．

D．

9．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（

）A． B． C． D．10．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（

）A．B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022·广东·统考中考真题）sin30°的值为．12．（2023·湖北黄石·统考中考真题）计算：．13．（2021·浙江·统考中考真题）如图，已知在中，，则的值是．14．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为m．15．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则．

16．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为．

17．（2023·广西·统考中考真题）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m（结果取整数）．（参考数据：，，）

18．（2023·山西·统考中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·西藏·统考中考真题）计算：．20．（8分）（2021·辽宁本溪·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．21．（10分）（2023·四川甘孜·统考中考真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）22．（10分）（2023·湖南·统考中考真题）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）23．（10分）（2023·河南·统考中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）．24．（12分）（2023·辽宁·统考中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

（1）求登山缆车上升的高度；（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：）参考答案1．B【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．解：作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：∴∠B=90°-45°=45°，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，∴根据正切定义，，∵∠A=45°，∴，故选B．【点拨】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．2．C【分析】根据余弦的定义可直接进行求解．解：由题意得：；故选C．【点拨】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键．3．B【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．解：故选：B．【点拨】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．4．B【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，，米.，米.故选：B.【点拨】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.5．B【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．解：＝＝＝．故选：B【点拨】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．C【分析】结合图形利用正切函数求解即可．解：根据题意可得：，∴，故选C．【点拨】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．7．C【分析】如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得．解：如图，取格点D，连接，，则B在上，

∵，，，∴，，，∴，∴；故选C【点拨】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．8．B【分析】根据正弦的定义得出，进而可得答案．解：由题意得，∴，∴按键顺序为，故选：B．【点拨】本题考查了正弦的定义，计算器的使用，正确理解三角函数的定义是解题的关键．9．D【分析】根据俯角的定义可直接得出结果．解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，∴∠DAC为对应的俯角，故选D．【点拨】题目主要考查对俯角定义的理解，深刻理解俯角的定义是解题关键．10．D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．解：∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴，故选：D．【点拨】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．11．解：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=．故答案为：12．9【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．解：，故答案为：9．【点拨】此题考查了实数的混合运算能力，解题的关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．13．【分析】在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．解：，故答案为：【点拨】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．14．50【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝，∴，∵BC＝30m，∴，解得：AB=50m，即迎水坡面AB的长度为50m．故答案为：50【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．15．/【分析】由题意可设，则，，在中求得，在中求出答案即可．解：，，设，则，，在中，由勾股定理得：，在中，．【点拨】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．16．【分析】根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，再推出，进而得到，再求出的长即可得到答案．解：由题意得，，，，∴，∴

∵，∴，，∴，∴，∴，∴与尺上沿的交点C在尺上的读数为，故答案为：．【点拨】本题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确求出的长是解题的关键．17．21【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．解：∵是等腰三角形，且，∴，∵，∴，∴共需钢材约为；故答案为21．【点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．18．【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可．解：∵在中，，∴，，由作图知平分，，∴是等边三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键．19．【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合特殊角的三角函数值以及开立方的知识，计算即可作答．解：．【点拨】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键．20．，【分析】先把分式化简后，再求出的值代入求出分式的值即可．解：当时，原式．【点拨】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键．21．该建筑物的高度约为米【分析】由题意可知，，，，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到米，再利用锐角三角函数，求出米，即可得到该建筑物的高度．解：由题意可知，，，，，，米，在中，米，米，答：该建筑物BC的高度约为米．

【点拨】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．22．火箭从到处的平均速度为【分析】根据题意得出，，，，分别解，，求得，进而根据路程除以时间即可求解．解：依题意，得，，，，在中，，，在中，，∴，∴火箭从到处的平均速度为，答：火箭从到处的平均速度为．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．23．树的高度为【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解．解：由题意可知，，，则，∴，∵，，则，∴，∵，则，∴，∴