第23章 解直角三角形（知识清单）（挖空版）

第二十三章解直角三角形1.正弦、余弦、正切正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的_____与_____的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的_____与_____的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的_____与_____的比叫做∠A的正切，记作tanA，则2.锐角三角函数：锐角A的_____、_____、_____都是∠A的三角函数．（其中：_____＜∠A＜_____）3.特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：三角函数值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα4.锐角三角函数的关系：在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：1）同角三角函数的关系：①平方关系：sin2②商数关系：tanA=2)互余两角的三角函数关系：①互余关系：sinA=_____，即一个锐角的_____值等于它的余角的_____值.sinB=_____，即一个锐角的_____值等于它的余角的_____值.②倒数关系：tanA5.解直角三角形定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即_____和_____．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B.2）三边之间的关系：_____.3）两锐角之间的关系：_____.4）边角之间的关系：sinA=_____，sinB=_____，cosA=_____，cosB=_____解直角三角形的常见类型已知条件解法步骤图示两边斜边和一直角边(如a，c)两直角边(如a，b)一边一角斜边和一锐角（如c，∠A）一直角边和一锐角（如a，∠A）另一直角边和一锐角（如b，∠A）【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有_____)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).6.解直角三角形应用题中的常见概念1）仰角、俯角视角：_____与_____的夹角叫做视角．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫做俯角．【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.2）坡度、坡角坡度：坡面的_____和_____的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=_____坡角：_____与_____的夹角α叫做坡角.【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的_____，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是i=_____，坡角_____，坡度_____3）方位角、方向角方位角：从某点的指北方向线按_____转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是_____，_____，_____.方向角：_____方向线与_____线所成的小于_____的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示_____30°，_____45°，_____80°，_____60°.序号易错点易错题注意事项1锐角三角函数概念混淆1-3正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.2记错特殊角三角函数值4-6有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算.3解直角三角形7-8题目若没有直角三角形，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.4解直角三角形的实际应用9-13理解仰角、俯角、坡角、坡比、方向角等的概念1．在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变2．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（

）A． B． C． D．3．在中，，如果，那么等于（

）A． B． C． D．4．下列实数是有理数的是（

）A． B． C． D．5．．6．在中，，则为三角形．7．如图，在中，，，求．8．在中，，求的长．9．如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（）A．米 B．米C．米 D．米10．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里11．如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（）A．米 B．米 C．米 D．米12．图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（

）A． B．C． D．13．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（

）A． B． C． D．重难点01锐角三角函数的相关概念1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（）A． B． C． D．2．（20-21九年级上·广东佛山·期末）在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（）A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变3．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（

）

A． B． C． D．4．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下面四个等式一定成立的是（

）A． B． C． D．重难点02求角的正弦值/余弦值/正切值6．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（

）A． B． C． D．7．（23-24九年级上·安徽六安·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．③④8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为．9．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．

(1)求的长．(2)若点D在边上，且，求的值．重难点03已知角的正弦值/余弦值/正切值求边长10．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积的值是．11．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的直径，且经过弦的中点，已知，，则的长的长度．

12．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，．(1)求的值；(2)延长至点，使得，求的长．13．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，是的高线，垂足为点是的中线．，．(1)求的长；(2)求的值．重难点04特殊角三角函数值的混合运算14．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）计算：15．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）计算：．16．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）计算：．17．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）我们规定：；．根据这个规定解答问题：(1)求的值；(2)求的值．重难点05由特殊角的三角函数值判断三角形形状18．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是三角形．19．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是三角形．20．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，是的中线，是锐角，，，．

(1)求的长．(2)求的值．重难点06已知角度比较三角函数值大小21．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（

）A． B．C． D．22．（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．(1)若，，，试比较、的大小；(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．重难点07根据三角函数值判断锐角的取值范围23．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（

）A． B．C． D．24．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知，则锐角的取值范围是（

）A． B．C． D．25．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是．重难点08互余两角三角函数值关系26．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，，则的值为．27．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知∠A为锐角，若cosA=sin65°，则∠A的度数为．28．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．

(1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）；(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．重难点09解直角三角形的相关计算29．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在等腰三角形中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，则的面积是（

）A． B． C． D．30．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（

）A． B． C． D．31．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）在中，分别是边上的高，则（

）A． B． C． D．32．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为；若，，线段的长度最小值为．33．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与等边三角形的边，分别交于点M，N，且，点B位于经x轴的正半轴，（1）；（2）．34．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，，点在上，过点作的平行线，与的角平分线交于点，点在上（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．(1)写出线段和线段的数量关系，并证明；(2)求证：；(3)连接并延长，分别交，于点，，若，求的值．重难点10构造直角三角形求不规则图形的边长或面积35．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，．(1)求的值．(2)求的面积（结果保留根号）36．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，

求：(1)的长；(2)的正弦值．37．（22-23九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，，求的长．（，）38．（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且．(1)求的面积；(2)求的值；(3)求的值．重难点11仰角俯角问题39．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，某高楼上有一旗杆，某校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度的山坡从坡脚的A处前行50米到达处，测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的仰角为（测量员的身高忽略不计）．已知旗杆高米，求该高楼OB的高度为多少米．（参考数据：）40．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）小明看到了天上自由飞翔的小鸟，突发奇想，准备利用自己学过的锐角三角函数知识计算出小鸟飞行的高度．他在地面的点处利用测角仪测得小鸟在点处的仰角为，后，小鸟飞到了点处（点，在同一水平线上），此时测得仰角为．已知测角仪的高度是，且查阅资料可知该种小鸟的飞行速度约为，根据以上数据计算小鸟的飞行高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，）41．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下：活动报告活动目的测量建筑物的高度活动过程步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图）步骤二：准备测量工具皮尺、测倾器步骤三：实地测量并记录数据（，，，在同一平面上，于点）①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度；②在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为；③斜坡长52米；④在点测得建筑物顶点的仰角为．步骤四：计算建筑物的高度请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度．（参考数据：，，，，）．42．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题测量两幢教学楼楼顶之间的距离活动工具测角仪、皮尺等测量过程【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪；【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角，楼顶的仰角；【步骤三】利用皮尺测出米，米．测量图示解决问题1根据以上测量数据，利用三角函数知识求出楼的高度．解决问题2根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶，之间的距离．备注说明其中测角仪米，测角仪的底端M与楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内；参考数据请你帮助兴趣小组解决以上问题1和问题2．重难点12方位角问题43．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，某考察船在某海域进行科考活动，在点A测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东方向航行了4海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东方向上．(1)求的度数；(2)求点B与小岛C之间的距离．（精确到0.1海里）（参考数据：）44．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口．如图，，，，分别是骆岗公园的四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，，，）(1)求的面积（结果精确到平方千米）；(2)求的长度（结果精确到千米）．45．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，某一海域有4个小岛，其中小岛位于同一条直线上，经测量，小岛A位于小岛B北偏东且小岛A位于小岛C北偏东，小岛B和小岛C之间的距离为海里．(1)求小岛A和小岛C之间的距离的长；（结果保留根号）(2)若小岛D位于小岛A东偏南方向，求小岛A与小岛D之间的距离的长．（参考数据：；结果精确到海里）46．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治．已知C岛在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向上，军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里，需要多少小时才能把患病渔民送到基地医院．（结果保留1位小数）重难点13坡度坡比我问题47．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）周末爬敬亭山是宣城市民的娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从敬亭山西坡B处沿坡角为的山坡爬了350米到达E处，紧接着又沿坡角为的山坡爬了152米到达山顶A处，请计算敬亭山的高度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，）48．（21-22九年级上·安徽亳州·阶段练习）为测量底部不能到达的建筑物的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为，若山坡的坡度，坡长米，求建筑物的高度．（精确到1米)（参考数据：，，，，）49．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为，求电梯的坡度与长度．参考数据：．50．（2024·安徽蚌埠·三模）2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米，雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，）重难点14从实物中构建数学模型51．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度．【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具．【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且A，，，在同一水平面上．经过多次