2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之平行线的证明

第22页（共22页）2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之平行线的证明一．选择题（共8小题）1．（2025秋•海淀区校级期中）如图，将一把长方形直尺放在一块直角三角板上，若∠α＝28°，则图中∠β的度数是（）A．152° B．118° C．142° D．108°2．（2025秋•福山区期中）两个直角三角尺如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°．若BC∥EF，则∠1的度数为（）A．30° B．45° C．65° D．75°3．（2025春•埇桥区校级期中）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M，G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H．设∠MEH＝α，∠EGF＝β．下列四个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中当点G处于线段MF上或者射线FD上时（不与点M，F重合）一定成立的是（）A．①② B．①④ C．③④ D．②④4．（2025•沈河区二模）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（）A．270° B．250° C．230° D．180°5．（2025•凯里市校级一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝100°，则∠2的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．100°6．（2025•赤峰模拟）如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为（）A．40° B．50° C．30° D．25°7．（2025春•德州期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知AB∥CD，∠E＝22°，∠ECD＝103°，则∠A的度数为（）A．77° B．80° C．81° D．99°8．（2025•昆明模拟）如图，CD∥OB，CD与OA交于点E．若∠O＝50°，则∠DEO的度数为（）A．50° B．100° C．120° D．130°二．填空题（共5小题）9．（2025春•任城区校级期中）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝35°，∠3＝160°，则∠2的度数为．10．（2025春•岳阳楼区校级期中）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝39°，则∠E＝．11．（2025•游仙区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝．12．（2025春•驿城区校级期中）一把直尺和一把含45°角的直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若∠1＝28°，则∠2的度数为．13．（2025•番禺区二模）图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知AB∥CD，c表示吸管．若∠1＝76°，则∠2＝度．三．解答题（共2小题）14．（2025春•夏津县期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数．15．（2025春•锡林郭勒盟期末）如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．（1）∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由．（2）若∠FHG＝3∠EPF，求∠EFD的度数．（3）点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数．

2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之平行线的证明参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDBACACD一．选择题（共8小题）1．（2025秋•海淀区校级期中）如图，将一把长方形直尺放在一块直角三角板上，若∠α＝28°，则图中∠β的度数是（）A．152° B．118° C．142° D．108°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【答案】B【分析】由平行线的性质推出∠γ＝∠α＝28°，由三角形的外角性质即可求出∠β的度数．【解答】解：∵直尺的对边平行，∴∠γ＝∠α＝28°，∴∠β＝28°+90°＝118°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出∠γ＝∠α．2．（2025秋•福山区期中）两个直角三角尺如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°．若BC∥EF，则∠1的度数为（）A．30° B．45° C．65° D．75°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】利用平行线的性质求出∠CDE的度数，再利用∠1＝∠EDC+∠C求出∠1的度数即可．【解答】解：∵∠E＝45°，BC∥EF，∴∠EDC＝∠E＝45°，又∵∠1＝∠EDC+∠C，∠C＝30°，∴∠1＝∠EDC+∠C＝45°+30°＝75°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角定理等知识，正确求出∠CDE和三角形外角定理是解题的关键．3．（2025春•埇桥区校级期中）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M，G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H．设∠MEH＝α，∠EGF＝β．下列四个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中当点G处于线段MF上或者射线FD上时（不与点M，F重合）一定成立的是（）A．①② B．①④ C．③④ D．②④【考点】平行线的性质．【专题】证明题；推理能力．【答案】B【分析】分两种情况讨论：当点G在F的右侧时，根据两直线平行同旁内角互补得到∠AEG+∠EGM＝180°，结合角平分线性质解得2α+β＝180°；或当点G在F的左侧时，两直线平行内错角相等得到∠FME＝∠AEM，结合三角形外角性质得到∠EGF＝∠FME+∠GEM＝∠GEM+∠FEM，解得2α＝β．【解答】解：当点G在F的右侧时，，∵EM平分∠AEF，∴∠AEM∵EH平分∠FEG，∴∠FEH设∠MEH＝α，∠EGF＝β，∵AB∥CD，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∴∠AEF+∠FEG+∠EGM＝180°，∴2α+β＝180°，当点G在F的左侧时，，∵EM平分∠AEF，∴∠AEM∵EH平分∠FEG，∴∠FEH设∠MEH＝α，∠EGF＝β，∵AB∥CD，∴∠FME＝∠AEM，∴∠AEM＝∠FEM，∵∠EGF＝∠FME+∠GEM＝∠GEM+∠FE，∴B＝2α．综上所述，2α+β＝180°或β＝2α．故①④正确，②③错误．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的性质等知识，属于中档题．4．（2025•沈河区二模）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（）A．270° B．250° C．230° D．180°【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】A【分析】过点B作BG∥AE，根据铅笔模型进行计算，即可解答．【解答】解：过点B作BG∥AE，∴∠BAE+∠ABG＝180°，∵CD∥AE，∴CD∥BG，∴∠DCB+∠CBG＝180°，∴∠BAE+∠ABG+∠DCB+∠CBG＝360°，即∠DCB+∠CBA+∠BAE＝360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝270°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2025•凯里市校级一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝100°，则∠2的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．100°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：如图，∵两条入射光线平行，∴∠1＝∠3＝100°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝80°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．6．（2025•赤峰模拟）如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为（）A．40° B．50° C．30° D．25°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】A【分析】由光的反射规律可求∠1＝40°，再由CD∥OB，可得∠AOB＝∠1＝40°．【解答】解：如图，∵DK⊥OA，∠i＝50°，∴∠i＝∠r＝50°，∠ADK＝∠1+∠r＝90°，∴∠1＝40°，∵CD∥OB，∴∠AOB＝∠1＝40°，故选A．【点评】本题主要考查了垂直定义和平行线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．7．（2025春•德州期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知AB∥CD，∠E＝22°，∠ECD＝103°，则∠A的度数为（）A．77° B．80° C．81° D．99°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】直接利用三角形外角的性质求出∠EFC＝81°，再利用平行线的性质得出∠A＝∠EFC＝81°即可；【解答】解：如图所示：延长DC交AE于点F，由条件可知∠EFC＝∠ECD﹣∠E＝103°﹣22°＝81°．∴∠A＝∠EFC＝81°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，准确利用三角形外角性质是解题的关键．8．（2025•昆明模拟）如图，CD∥OB，CD与OA交于点E．若∠O＝50°，则∠DEO的度数为（）A．50° B．100° C．120° D．130°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】D【分析】根据题意，由CD∥OB，得到∠O+∠DEO＝180°，结合已知条件，得到结果．【解答】解：∵CD∥OB，∴∠O+∠DEO＝180°，∵∠O＝50°，∴∠DEO＝130°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．二．填空题（共5小题）9．（2025春•任城区校级期中）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝35°，∠3＝160°，则∠2的度数为55°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】55°．【分析】过点E作EF∥AB，故可得出EF∥CD，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，∵∠3＝160°，∴∠BEF＝180°﹣160°＝20°，∵AB∥CD，∠1＝35°，∴EF∥CD，∴∠MEF＝∠1＝35°，∴∠2＝∠BEF+∠MEF＝20°+35°＝55°．故答案为：55°．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．10．（2025春•岳阳楼区校级期中）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝39°，则∠E＝86°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝39°，即可得到∠E的度数．【解答】解：如图，过F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥AB∥CD，∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，即∠E+2∠BFC＝180°，①又∵∠E﹣∠BFC＝39°，∴∠BFC＝∠E﹣39°，②∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣39°）＝180°，解得∠E＝86°，故答案为：86°．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．11．（2025•游仙区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝20°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】20°．【分析】根据平行线的性质得到∠BOF＝∠1＝60°，∠COF＝180°﹣∠3＝40°，即可得到答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠BOF＝∠1＝60°，∵CD∥EF，∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°，∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°，故答案为：20°．【点评】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．12．（2025春•驿城区校级期中）一把直尺和一把含45°角的直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若∠1＝28°，则∠2的度数为62°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】62°．【分析】由题意可知，AB∥CD，∠4＝90°，可求出∠3＝62°，再根据平行线的性质即可求解．【解答】解：如图：由题意可知，AB∥CD，∠4＝90°，∵∠1＝28°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠4＝180°﹣28°﹣90°＝62°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝62°（两直线平行，同位角相等），故答案为：62°．【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．13．（2025•番禺区二模）图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知AB∥CD，c表示吸管．若∠1＝76°，则∠2＝104度．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】104．【分析】依据题意，由已知条件AB∥CD，可得∠1＝∠3＝76°，又由于∠2与∠3是邻补角，则可得∠2的度数．【解答】解：如图所示，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝76°．∵∠2与∠3是邻补角，∴∠2+∠3＝180°．∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣76°＝104°．故答案为：104．【点评】本题考查了平行线的性质及邻补角的性质，需要熟悉角之间的转化是解题的关键．三．解答题（共2小题）14．（2025春•夏津县期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3＝180°，即可得出答案；（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FAD＝∠AEC＝90°，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°，∴∠BDC＝64°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC=12∠BDC＝∴∠2＝∠ADC＝32°（已证），又∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定义），∵AD∥CE（已证），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠FAD＝∠AEC＝90°是解题关键．15．（2025春•锡林郭勒盟期末）如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．（1）∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由．（2）若∠FHG＝3∠EPF，求∠EFD的度数．（3）点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）∠EPF与∠PEF相等，理由见解答过程；（2）72°；（3）65°或20°．【分析】（1）根据角平分线得∠PEA＝∠PEF，再根据AB∥CD得∠PEA＝∠EPF，由此可得出结论；（2）设∠EPF＝α，则∠FHG＝3α，由（1）可知∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，根据AB∥CD得∠EFD＝∠AEF＝2α，然后根据EF∥GH得2α+3α＝180°，由此解出α即可得出∠EFD的度数；（3）设∠EQF＝β，则∠PEQ＝50°+β，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段GH上时，证明∠1=12∠EFD，∠2=12∠AEF，根据AB∥CD得∠1＝∠2，则PE∥FQ，再根据平行线的性质得50°+β+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数；②当点Q在线段GH的延长线上时，过点Q作QR∥CD交EF的延长线于R，证明∠3+∠2＝90°，AB∥QR，则∠AEQ+∠EQR＝180°，进而得∠2+50°+β+∠3+β＝180°，由此解出【解答】解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下：∵EP是∠AEF的平分线，∴∠PEA＝∠PEF，∵AB∥CD，∴∠PEA＝∠EPF，∴∠EPF＝∠PEF；（2）设∠EPF＝α，∴∠FHG＝3∠EPF＝3α，由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，∴∠AEF＝2α，∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠AEF＝2α，∵EF∥GH，∴∠EFH+∠FHG＝180°，即2α+3α＝180°，解得：α＝36°，∴∠EFD＝2α＝72°；（3）设∠EQF＝β，∵∠PEQ﹣∠EQF＝50°，∴∠PEQ＝50°+β，∵点Q为射线GH上一点，∴有以下两种情况：①当点