2025-2026学年上学期初中数学华东师大新版九年级期末必刷常考题之二次根式

第18页（共18页）2025-2026学年上学期初中数学华东师大新版九年级期末必刷常考题之二次根式一．选择题（共8小题）1．（2025秋•海南期中）下列各数中，与2+1A．2 B．-2-1 C．1+22．（2025秋•兴庆区校级期中）下列计算正确的是（）A．12=32 B．25-5=2 C3．（2025秋•鄠邑区期中）如图所示，用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，正方形ABCD的面积是27，AE=2A．3 B．23 C．33 D4．（2025秋•天元区校级期中）如图，x的取值范围在数轴上表示如下，满足该范围的任意x的值都能使下列二次根式有意义的选项是（）A．x B．x-1 C．x-25．（2025秋•邓州市期中）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A．0.3 B．13 C．8 D．6．（2025春•武城县期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3-A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣57．（2025春•茄子河区期末）下列各式计算错误的是（）A．±64=±8 B．C．3-216=-6 8．（2024秋•普宁市期末）下列各式中，正确的是（）A．4=±2 B．3-C．±16=4 D．(二．填空题（共5小题）9．（2025秋•虹口区期中）有一个圆的面积和边长为6π的正方形的面积相同，则此圆的半径为10．（2025秋•浦东新区期中）计算：12a3b÷11．（2025秋•海淀区校级期中）如果17的整数部分是a，小数部分是b，那么a-b+17=12．（2025秋•金凤区校级期中）若xy＜0，则x2y化简后的结果是13．（2025秋•浦东新区期中）已知a＞0，化简4a2b=三．解答题（共2小题）14．（2025秋•福田区校级期中）计算：（1）25（2）48÷（3）(2（4）(-15．（2025春•张店区期中）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：7+43建立模型：形如m+2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（a）2+（b）2＝m，a•那么便有：m±2n=(问题解决：化简：7+43解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4∴7+43模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）6+25（2）13-模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4-3，AC=3，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成

2025-2026学年上学期初中数学华东师大新版九年级期末必刷常考题之二次根式参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DDDDBADB一．选择题（共8小题）1．（2025秋•海南期中）下列各数中，与2+1A．2 B．-2-1 C．1+2【考点】分母有理化．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】将各选项的数分别与2+1【解答】解：根据二次根式的运算，有理数的定义逐项分析判断如下：A、(2B、(-C、(1+2D、(2故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的运算，有理数的定义，正确计算是解题的关键．2．（2025秋•兴庆区校级期中）下列计算正确的是（）A．12=32 B．25-5=2 C【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据二次根式混合运算的法则对每个选项进行计算即可．【解答】解：A、12=B、25C、62D、(2故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式混合运算的法则是解题的关键．3．（2025秋•鄠邑区期中）如图所示，用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，正方形ABCD的面积是27，AE=2A．3 B．23 C．33 D【考点】二次根式的应用．【专题】二次根式；运算能力；应用意识．【答案】D【分析】首先由正方形ABCD的面积是27，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去AE，得出宽，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可．【解答】解：小正方形边长为：2=23=23=3∴这个小正方形的周长为：43．故选：D．【点评】此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键．4．（2025秋•天元区校级期中）如图，x的取值范围在数轴上表示如下，满足该范围的任意x的值都能使下列二次根式有意义的选项是（）A．x B．x-1 C．x-2【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据数轴判断出x的取值范围，再根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0逐项进行判断即可．【解答】解：x的取值范围在数轴上表示如下，A、当﹣1≤x＜0时，x没有意义，故此选项不符合题意；B、当﹣1≤x＜1时，x-C、当﹣1≤x＜2时，x-D、当x≥﹣1时，x+1故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．正确记忆知识点是解题关键．5．（2025秋•邓州市期中）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A．0.3 B．13 C．8 D．【考点】同类二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据同类二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、0.3=310B、13=3C、8=22，与D、13与3不是同类二次根式，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．6．（2025春•武城县期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3-A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．【专题】二次根式；运算能力．【答案】A【分析】根据三角形的三边关系可求出n的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简即可求出答案．【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，原式＝|3﹣n|+|8﹣n|＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）＝﹣3+n+8﹣n＝5，故选：A．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．7．（2025春•茄子河区期末）下列各式计算错误的是（）A．±64=±8 B．C．3-216=-6 【考点】二次根式的性质与化简；平方根；立方根．【专题】实数；二次根式；运算能力．【答案】D【分析】利用二次根式的性质，平方根及立方根的定义逐项判断即可．【解答】解：±64=±8，则A-(-5)2=-|﹣5|＝﹣3-216=3-121225无意义，则故选：D．【点评】本题考查二次根式的性质，平方根及立方根，熟练掌握相关性质及定义是解题的关键．8．（2024秋•普宁市期末）下列各式中，正确的是（）A．4=±2 B．3-C．±16=4 D．(【考点】二次根式的性质与化简；平方根；立方根．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据平方根与立方根的定义进行解题即可．【解答】解：A．4=2B．3-64C．±16=±4D．(-3)故选：B．【点评】本题考查的是立方根、平方根和二次根式的性质与化简，掌握相应的运算法则是关键．二．填空题（共5小题）9．（2025秋•虹口区期中）有一个圆的面积和边长为6π的正方形的面积相同，则此圆的半径为6【考点】二次根式的应用．【专题】二次根式；运算能力．【答案】6．【分析】依据题意，设此圆的半径为r，则圆的面积为πr2＝（6π）2，求出r【解答】解：由题意，设此圆的半径为r，∴圆的面积为πr2＝（6π）2∴r2＝6．∴r=6故答案为：6．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键．10．（2025秋•浦东新区期中）计算：12a3b÷b【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】12【分析】根据二次根式的性质进行化简．【解答】解：1=1=1=1故答案为：12【点评】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简是解题的关键．11．（2025秋•海淀区校级期中）如果17的整数部分是a，小数部分是b，那么a-b+17=【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小．【专题】二次根式；运算能力．【答案】8．【分析】根据算术平方根得到4＜17＜5，进而求出a、b，计算即可．【解答】解：∵16＜17＜25，∴16＜17＜25，即4＜17＜∴17的整数部分是a＝4，小数部分是b=17-则a﹣b+17=4﹣（17-4）故答案为：8．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，正确估算无理数的大小是解题的关键．12．（2025秋•金凤区校级期中）若xy＜0，则x2y化简后的结果是-x【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】-x【分析】先根据已知条件和二次根式有意义的条件，求出x和y的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵xy＜0，∴若x2y有意义，y＞0，x＜∴x2故答案为：-x【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．13．（2025秋•浦东新区期中）已知a＞0，化简4a2b=【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；推理能力．【答案】2a【分析】根据二次根式的性质进行化简．【解答】解：4a故答案为：2a【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简是解题的关键．三．解答题（共2小题）14．（2025秋•福田区校级期中）计算：（1）25（2）48÷（3）(2（4）(-【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）35；（2）2；（3）1﹣22；（4）5+36．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算后再算加减即可；（2）利用二次根式的乘除法则计算后再算加减即可；（3）利用完全平方公式及平方差公式计算后再算加减即可；（4）利用二次根式的乘法法则，算术平方根的定义，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算加减即可．【解答】解：（1）原式＝25-25+＝35；（2）原式=＝4﹣2＝2；（3）原式＝2﹣22+1﹣（5﹣3＝2﹣22+1﹣＝1﹣22；（4）原式＝3×1+96-（6＝3+46-＝5+36．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．15．（2025春•张店区期中）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：7+43建立模型：形如m+2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（a）2+（b）2＝m，a•那么便有：m±2n=(问题解决：化简：7+43解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4∴7+43模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）6+25（2）13-模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4-3，AC=3，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成【考点】二次根式的应用；勾股定理；无理数；完全平方公式．【专题】整式；模型思想．【答案】（1）1+5；（2）22-5；（3）2【分析】（1）根据模型，得m＝6，n＝5，进而求得a和b分别为1和5，代入求解即可；（2）将原式化为13-240．根据模型，得m＝13，n＝40，进而求得a和b分别为5和（3）根据勾股定理，求得BC边的长度，再根据模型化简即可．【解答】解：（1）m＝6，n＝5．∵1+5＝6，1×5＝5，∴（1）2+（5）2＝6，1×∴6+25=(1+（2）∵13-∴m＝13，n＝40，∵5+8＝13，5×8＝40，∴（5）2+（8）2＝13，5×∴13-410（3）BC=(4-∵16-∴m＝16，n＝48，∵4+12＝16，4×12＝48，∴（4）2+（12）2＝16，4×∴BC=16-248=(【点评】本题考查二次根式的应用、完全平方公式及勾股定理等，熟练掌握并能够灵活运用它们是本题的关键．

考点卡片1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如2，（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．4．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．5．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．6．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．7．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①a≥0；a≥②（a）2＝a（a≥0③a2=|a（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．8．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，（2）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0，（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，规律方法总结：在使用性质a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（-4）×（-9．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①1a=aa（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2-3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（10．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．11．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运