安徽省六安市某中学2025-2026学年高二年级上册10月月考数学试卷（含解析）

安徽省六安市独山中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1.己知直线/的方向向量是4=（321）,平面。的一个法向量是，i=（L-L-1）,则/与。的位置关系是（）

A.IlaB.l//a

C./与。相交但不垂直D./〃a或/ua

2.已知空间向量方=（E、2）,/；=（4,2,4）,若贝口=（）

53

A.1B.—C.—D.3

22

3.若值+〃=（一2,-1,2）,5-Z；=（4,-3,-2）,则人6等于（）

A•-5B♦—1C.5D.7

4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：［66,70）、

，则评分在区间［82,86）内的影视作品数量是（）

D.80

5.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划

采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（）

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，40AD.30人，50人，10人

6.在正方体ABC。-A4CQ中，尸为8a的中点，则直线/归与A0所成的角为（）

7.已知万，A均为空间单位向量，它们的夹角为60。，那么卜+3司等于（）

A."B.VioC.4\3D.4

8.设一组样本数据x/,我，…，加的方差为0.01,则数据10也，10.12,…，10m的方差为（）

A.0.01B.0.1C.ID.10

二、多选题

9.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（）

A.“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

B.“至少有1名男生”与“全是男生”；

C.“至少有1名男生”与“全是女生”；

D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.

10.在某场比赛中，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7,12,13,18,18,20,32,则（）

A.该组数据的极差为26

B.该组数据的众数为18

C.该组数据的75%分位数为19

D.若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小

11.给出下列命题，其中正确的有（）

A.若非零空间向量G,b,「满足力1方，2,则有口

B.若三个非零向量G,b,不能构成空间的一个基底，则力，b,1必定共面

C.若两个非零向量。，万与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则口，5共线

D.已知忖方已是空间向量的一个基底，则行4+氏万一4也是空间向量的一个基底

三、填空题

12.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是一.

13.从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：

492496494495498497501502504496

497503506508507492496500501499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~50L5g之间的概率约

为.

14.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率

为.

四、解答题

15.某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如下表所示.质检人员用分层抽样

的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测：

车间ABC

数量50150100

⑴求这6件样品中来自A、B、C,各车间产品的数量；

⑵若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件产品来自相同车间的概率.

16.如图，在直三楂柱ABC—A4C中，AC1I3C,E为8瓦的中点，AB=CC,=2BC=2.

(1)证明：AC1C.E,

（2）求二面角A-EC.-B的余弦值.

17.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出It该产品获利润500元，未售出的产品，每It亏

损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售

季度购进了1301该农产品.以工（单位：I,100W工05（））表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位:元）表

示下•个销售季度内经销该农产品的利润.

（I）将T表示为工的函数;

(II)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.

18.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零

件不是一等品的概率为:，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为上，甲、

412

9

丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为j.

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

19.如图所示，四棱锥P-A48的底面A8CD是矩形，尸8_L底面A8CD,AB=BC=3,BP=3、CF=；CP,

DE=-DA.

DE

(1)证明：MP平面ABP；

⑵求直线PC与平面尸所成角的正弦值.

题号12345678910

答案DBADBDCCACBD

题号11

答案BCD

1.D

由干7M=0.得到d_L万，从而确定/与。的位置关系.

【详解】因为々=(3,2,1),—

则无"=3x1+2x(-1)+1x(-1)=0,

得到G_L万，且直线/的方向向量是平面。的一个法向量是乱

所以/与a的位置关系是：/〃。或/ua,

故选：D.

2.B

由空间向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】因为a=(x,l,2),5=(4,2,4),且。工人所以4x+2+8=0,解得％=—5,

故选:B.

3.A

先求出。，6,再利用空间向量的数量积运算求解即可.

【详解】・・七十石=(-2,—1,2),5-^=(4,-3,-2),则2々=(2,—40),

.•4=(1,-2,0),/?=(-3,1,2),

d•/?=-3-2+0=—5»

故选:A

4.D

利用频率分布直方图可计算出评分在区间［82,86)内的影视作品数量.

【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间［82,86)内的影视作品数量为400x0.05x4=80.

故选：D.

5.B

先求出抽样比，然后根据抽样比即可求出各校应抽取的学生数.

【详解】解：先求抽样比Q90_1

3600+5400+1800-120

再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取（人），乙校抽取5400x」=45（人），丙校抽取1

120120

800x-l-=15（人），

120

故选：B.

6.D

平移直线至8G，将直线依与AR所成的角转化为PB与BG所成的角，解三角形即可.

如图，连接BJPgPB,因为

所以NPBG或其补角为直线PB与八］所成的角,

因为34,平面A4GR,所以BBJPG，又PCJBR,BB\CB\D\=B「

所以PG_L平面”片，所以

设正方体棱长为2,则8c=2上,

sin/尸8G=会=：,所以NP8cLm

故选：D

7.C

根据卜+3司="7+36）2,展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.

【详解】由题意可得不〃=同Wcos6（）o=lxlxg=g,

1+3,=痴+36）2=心2+昕+6万.5=/+9+3=如.

故选：C

8.C

根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.

【详解】因为数据叼+b,(i=l,2,L,〃)的方差是数据%1=1,2,1,〃)的方差的的倍,

所以所求数据方差为10~0.01=1

故选：C

9.AC

【详解】对于A,在所选2名问学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生

它与“恰有2名男生“不可能同时发生，所以是互斥事件，A正确；

对干B,“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，

这与“全是男生''可能同时发生，所以不是互斥事件，B错误；

对于C,“至少有1名男生”包括T名男生和I名女生”和“2名都是男生”两种结果，

它与“全是女生''不可能同时发生，所以是互斥事件，C正确；

对于D,“至少有1名男生”包括“1名男生和I名女生”和“2名都是男生''两种结果，

而“至少有I名女生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果，

它们可能同时发生，所以不是互斥事件，D错误.

故选：AC

10.BD

【详解】对于A,该组数据的极差32-7=25,故A错误，

对于B,该组数据的众数为出现频数最多的数据为18,故B正确，

对于C,该组数据的75%分位数为7x75%=5.25,取第6个，为20,故C错误，

对于D,若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D正确.

故选:BD.

11.BCD

举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B,C,D.

【详解】当非零空间向量4=(1,2,3),=(0-3,2),"(3,0,0)时，

满足日1日，bit，但力与己不平行，A错误；

三个非零向量6，。不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确；

能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量，

由干非零向量d，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，

即向量乙，5与任何一个向量均共面，则4,5必共线，C正确：

若Ka+b»”B共面,则"=RZ+B)+〃R—B)=(4+4)£+(人一〃)B,

可知3,人2共面，与｛%』;,"｝为空间向量的一个基底相矛盾，

故和2+瓦4-5｝可以构成空间向量的一个基底，D正确，

故选:BCD.

⑵i-

由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.

【详解】由题意，该组数据的平均数为6+7+8：8+9+10=8,

6

所以该组数据的方差是，［(6-8)2+(7-8-+(8-8『+(8-8尸+(9-8尸+(10-8向="

o3

13.0.25/-

4

【详解】解：通过统计，可知自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的共有5袋，

所以袋装食盐质量在497.5g~5015g之间的概率为得=0.25,

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~50I.5g之间的概率约为：

0.25.

14.A.

10

【详解】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据占典概型概率公式求

概率.

详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率

为工

10

15.(1)这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量分别为1,3,2

⑵*

15

【详解】(1)因为A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量之比为50:150:100=1:3:2,

I3

故这6件样品中来自4车间的产品数量为6x1\=l,来自B车间产品的数量为二二3,

1+3+21+3+2

2

来自C车间产品的数量为6x「■二二2,

故这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量分别为1,3,2.

(2)来自4车间的产品设为。，来自8车间的产品设为dc,d,来自C车间产品设为,

在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，有以下情况：

(aM，(a,c),(a,d),(a,eb(aJ)0c),(b,d)0e),(hJ),(c,d),(ce),(cJ),(d,e),(dJ),(eJ)共15种情况,

其中这2件产品来自相同车间的情况有低c),0,d),(c,d),(ej),共4种情况,

4

故这2件产品来自相同车间的概率为

16.(1)见解析

⑵半

(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.

【详解】(1)在直三棱柱A8C-A4G中，CGI平面ABCACu平面ABC,

所以CG」AC,

又由撅可知，ACLBC.

CG，eCu平面BCGB1

且CqcBC=C、

所以AC工平面4CCM,

又因为GEU平面4CG兄所以AC/G£

(2)以C为坐标原点，CACBCG分别为x,y,z轴建系如图,

由AC_L4C,AB=2I3C=2,可得AC=6，

则有A(6,0,0),E(0,1,1)，G(0,0,2),

设平面A£C1的一个方向量为而=(x,y,z),AE=(--75,1,1\AC={->/5,O,2),

AE-m=0->/3x+V+Z=0Lr-

所以一，即f-，令z=V3,则x=2,y=\/3,

AG•比=0-V3x+2z=0

所以薪=(2,百,百),

因为AC2平面Beg4，所以m=(6,0,0)为平面EC}8的一个法向量,

24

所以,cosv加C4>=

怖?/一"T~

即二面角A-EC.-B的余弦值等于叵.

5

._800x-39000,100^x<130

''1；"{650(M),l30<x<150(II)0.7

【详解】试题分析：(D由题意先分段写出，当X£[l()0,130)时，当X£[130,150)时，和利润值，最

后利用分段函数的形式进行综合即可.

(H)由(I)知，利润T不少于57000兀，当且仅当120WXW15Q.再由直方图知需求量XW[120,150]的频

率为0.7,利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值.

解：(I)由题意得，当X£[100,130)时，T=500X-300(130-X)=800X-39000,

当X£[130,150]时，T=500x130=65000,

._pOOX-39000,X6[100,130)

，，T=165000,XG[130,150]

(ID由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120WXW150.

由直方图知需求量X£[120,150]的频率为07

所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.

考点：频率分布直方图.

18.(1)12

“3

【详解】(1)设A、3、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件,

_1P(4)[1-P(B)]二：,

P(AB)=-,

44

p(B©q,即.

由题设条件有'

P(AC)=qP(A)P(C)=|.

i|2

解得尸(A)=：,P(8)=；,P(C)=-.

343

即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是g,；,|；

(2)记。为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则

P(D)=1-P(D)=1-U-