北师大版七年级数学上册 角 （知识清单+16大题型+好题必刷）原卷版

第12讲角(知识清单+16大题型+好题必刷)

9题型汇聚

题型一~~~角的概念理解

题型二角的表示方法

题型三角的分类

题型四钟面角

题型五方向角的表示

题型六与方向角有关的计算题

题型七角的单位与角度制

题型八角的度数大小比较

题型九角的比较

题型十三角板中角度计算问题

题型十一几何图形中角度计算问题

题型十二角度的四则运算

题型十三实际问题中角度计算问题

题型十四角平分线的有关计算

题型十五角n等分线的有关计算

题型十六尺规作一个角等于已知角

.知识清单

知识点1.角的概念

(I)角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线

是角的两条边.

（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母要写在中

间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表

示哪个角.角还可以用一个希腊字母（如Na,ZP，/丫、…）表示，或用阿拉伯数字（N1,N2…）表

示.

（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线

时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角.

<4）角的度量；度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分，即1。=60',1分=60秒，即1'=

60”.

知识点2.钟面角

（I）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走上■格，分针1分钟

12

走I格.钟面上每一格的度数为360°4-12=30°.

（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面.上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定

其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数.

（3）钟面上的路程问题

分针:60分钟转一圈，每分钟转动的角度为:360°4-60=6°

时针：12小时转一圈,每分钟转动的角度为:36004-124-60=0.5°.

知识点3.方向角

方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角

（I）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向.

（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向

角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西.（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，

西北，西南.）

（3）画方向角

以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线.

知识点4・度分秒的换算

（I）度、分、秒是常用的角的度量单位.1度=60分，即1°=60,，1分=60秒，即1'=60".

（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位

化为低级单位时，乘以60,反之，将低级单位转化为高级单位时除以60.同时，在进行度、分、秒的运

算时也应注意借位和进位的方法.

知识点5・角的计算

①/人OB是NAOC和N8OC的和，记作：NAOB=NAOC+NBOC.NAOC是N/1OB和NBOC的差，记

作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射线。。是NAOB的三等分线，则NAO8=3/8OC或

3

AOB.

（2）度、分、秒的加减运算.在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，

逢60要进位，相减时，要借1化60.

（3）度、分、秒的乘除运算.①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位.②除法：度、分、秒分

别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除.

知识点6・角的大小比较

（I）比较角的大小有两种方法：

①测量法，即用量角都量角的度数，角的度数越大，角越大.

②叠合法，即将两个角叠合在一远比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置.

（2）表示法：

®^AOB>ZA'O'B',

®ZAOB=ZA'O'B',

③/AOBVNA'O'B'.

”题型练习

【题型一】角的概念理解

【例1】（24-25七年级上•河北保定•期末）如图，NMQV的边。N经过的点是（）

A.AB.BC.CD.D

【举一反三】

I.（24-25七年级上•广东深圳•期末）深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一

台"三折叠''手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图.此时"三折叠''手机的打开角度是（）

A.111°B.120°C.115°D.110°

2.（2024七年级上.全国・专题练习）将量角器按如图方式放置,其中角度为45。的角是

3.（24-25七年级上•全国•课后作业）看图，回答下列问题:

（1）图中共有多少个角？

（2）请分别写出图中的锐角、直角和钝角.

【题型二】角的表示方法

【例2】（24-25七年级上•山东潍坊,期末）如图，N1还可以表示为（）

A.ZAB.ZDACC.^BACD.NACE

【举一反三】

1.（24-25七年级上•贵州遵义•期末）如图，下列说法不正确的是（）

A.N1和2AO3是同一个角B.—AOC也可以用NO表示

C.图中有三个角D.Na和/8OC是同一个角

2.（24-25七年级上•山东荷泽・期末）若N7UM内有6条以。为顶点的射线，则图中共有个角.

3.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填入表格中.

Z1NBAD(a4Z3

【题型三】角的分类

【例3】（2024七年级上.全国.专题练习）下列各角中，是钝角的为（）

A.；周角B.之平角C.g平角D.；直角

4O33

【举一反三】

1.（2024七年级上.全国•专题练习）下列说法中，正确的是（）

A.一个周角就是一条射线B.平角是一条直线

C.1宜角周角D.1周角=2平隹

2.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，小于平角的角共有个.

A

3.（24-25七年级上•吉林延边•期末）如图，一副三角板的直角顶点都与直线所上的点。重合.

(1)若ZAOE=32°,则ZBOF=度.

(2)若NAOC=48°.NC0E=N40F.求NQOP的度数.

(3)若NAOE+ZCOB+4DOF=86。，则ZBOD=度.

【题型四】钟面角

【例4】.（22・23七年级上•宁夏银川•期末）钟表8时30分时,时针与分针所成的角的度数为（）

A.110°B,75°C.105°D.90°

【举一反三】

I.（24-25七年级上•山东青岛•阶段练习）某同学周六下午2点30分开始做数学作业，此时时针和分针的

夹角是（）

A.90°B.105°C.120°D.135°

2.（2024七年级上•四川成都・专题练习）为节约用电，某地将路灯设置为如下工作模式：每亮灯20分钟

就熄灭40分钟.某日小李值夜班，发现路灯共开启11次，凌晨5点最后一次关闭.则笫次关灯时,

手表的时针与分针首次呈60度隹.

3.（2024七年级上•全国•专题练习）（1）钟表的分针每分钟转。，时针每分钟转。；

（2）若时针由2点30分走到2点55分，问：分针，时针各转过多大的角度？

（3）当钟表卜的时间是2时15分时,时针与分针所成的锐角的度数是多少？

【题型五】方向角的表示

【例5】（24-25七年级上•全国•单元测试）观察站测得一轮船在北偏东35。20',则在轮船上看观察站的方

位是（）

A.南偏东54。40'B.南偏西35°20'

C.南偏东35。20'D.南偏西54。伙）’

【举一反三】

1.（24-25七年级上•黑龙江绥化•阶段练习）如下图，以为观测点,)

方向上.

A.西偏南70。B.北偏东7。。C.南偏西70。D.东偏北70。

2.（24-25七年级上•内蒙古鄂尔多斯•期末）如图，点O表示学校教学楼的位置，图书馆在教学楼南偏东5（）。

的方向上，则图中最有可能表示图书馆位置的点是.

3.（24-25七年级上•全国•期末）轮船在点。测得岛A在北偏东60。，距离为4千米，又测得岛B在北偏

西30。，距离为3千米.用1厘米代表I千米画出A、4的位置，量出图上线段AB的长度，并计算岛A和

岛B间的实际距离.

西——3------------东

南

【题型六】与方向角有关的计算题

【例6】（24-25七年级上•福建福州•阶段练习）一条船停在海面上，从船上看灯塔位于北偏东30。，那么

从灯塔看船位于（）

A.北偏东30。B.南偏西30。C.西偏南30。D.南偏西6（）。

【举一反三】

1.（24-25七年级上出浦兰州•期末）如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿北偏东50。方向步行前进,

乙沿图示方向步行前进.当甲到达3地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角-84C为10。。，则此时

乙位于A地的（）

A.北偏东30。B.南偏西60。C.南偏东30。D.北偏西6（）。

2.（24-25七年级上•广东广州•期末）如图，狮虎园和大象馆是动物园的两个热门景点，用AB,。分别

表示大门、狮虎园、大象馆，经测量，狮虎园（8）在大门（A）的南偏东28。方向，大象馆（C）在大门

（A）的北偏东43。20'方向，则/B4C的度数是.

北A

3.（24-25七年级上.吉林・期末）如图，一艘渔船从海上点七处开始绕点。航行，已知点E在点。的北偏

东42。方向上，航行到点。时，测得=

北

（1）求N40E的度数；

（2）直接写出渔船到达的点C在点。的什么方向？

【题型七】角的单位与角度制

【例7】（24-25七年级上•陕西榆林・期末）把27.36°用度、分、秒表示，正确的是（）

A.27。36'B.2703'6"C.27°18'36"D.27°21'36〃

【举一反三】

1.（24-25七年级上•山东聊城•期末）已知/二=46。24',/力=4624。，々=46.4。，则相等的两个角是（）

A.4a=40B.Na=/yC.Z/?=Z/D.无法确定

2.（24-25七年级上•陕西西安•阶段练习）度分秒换算：45。19'12"=.

3.（24-25七年级上•江西赣州•期末）计算：90。—36。12'15".

【题型八】角的度数大小比较

【例8】（23-24七年级上•河北保定•期末）若乙4=20。19\=20°15'30〃，NC=20.25。，则（）

A.ZA>ZB>ZCB.NB>ZA>NCC.ZA>ZC>ZB

D.ZC>ZA>ZB

【举一反三】

1.124-25七年级上•四川自贡•期末）若21=38。15',-2=38.15。，-3=38.25。，则下面说法正确的是（）

A.Z1=Z2B./2=/3

C.Z1=Z3D.Zl,Z2,N3互不相等

2.（24-25七年级上•江苏扬州・期末）已知乙4=78。54',/8=78.9。，请你比较大小：NA__________N3（填

。或<或="）.

3.（24-25七年级上•陕西咸阳•阶段练习）28。15'和28.15。相等吗？如果不相等，哪个大？

【题型九】角的比较

【例9】（22-23七年级上•广西河池・期末）在一八03内任取一点C,作射线OC,那么一定有（）

A.ZAOB>ZAOCB.ZA0C>AB0C

C.ZBOC=ZAOBD.ZAOC=ZBOC

【举一反三】

1.（24-25七年级上•辽宁大连•期末）在小于平角的ZAO8的内部取一点C,并做射线OC,则一定有（）

A.NAOC>4BOCB.ZA0C=ZB0C

C.ZBOC>ZAOCD.ZA0B>ZA0C

2.（24-25七年级上•北京・期末）右图所示的网格是正方形网格，NA3C_________N0E/L（填

或“<”）

3.（2022七年级上•全国•专题练习）如图，OE是NCO4的平分线，ZAOB=ZCOD.

（1）若NAOE=5（）。，ZCOD=18°,求N8OC的度数:

（2）比较-AOC和N8O。的大小，并说明理由.

【题型十】三角板中角度计算问题

【例10】（24-25七年级上•河北沧州•期中）如图，把一副三角板按图中所示位置叠放在—AO4上，则NAOB

的变数不可能是（）

A.32°B.35°C.40°D.48°

【举一反三】

I.（24-25七年级上.福建福州.期末）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若NC4E=2NA4Q,贝ljNC4D

的发数是（）

CA

A.110B.115°C.120D.130

2.（24-25七年级上•山东烟台・期中）如图，七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，将一副

七巧板拼成一只小动物，则.

3.（24-25七年级上•吉林长春•期末）综合与探究

【实践操作】三角尺中的数学

数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1,使直角顶点重合于点

C.

【问题发现】

（I）①填空：如图1,若48=145。，则/4倍的度数是________,的度数,NECD的

度数是________.

②如图1,你发现/ACE与NDC8的大小有何关系？/AC3与NEC。的大小又有何关系？请直接写出你

发现的结论.

【类比探究】

（2）如图2,当aAC。与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由.

【题型十一】几何图形中角度计算问题

【例11].（24-25七年级上•广东佛山•阶段练习）如图所示，已知ZAOC=NBOD=70。,ZBOC=3（r,

则乙40。的度数为（）

A.1（X）°B.140°C.130°D.110°

【举一反三】

1.（24-25七年级上•河南驻马店•期末）已知：4403=58。32、以。为端点作射线OC,使24。。=42。41',

则NBOC的度数是（）

A.15051zB.101。13'或15。51'

C.101。”D.10505r

2.（24-25七年级上•陕西咸阳•阶段练习）如图,已知NCO/）=N4OB=70。，当NC8绕着点。旋转且OC

在/4O8内部时，ZAOD+ZBOC=

3.（24-25七年级上•甘肃平凉•期末）如图，直线AB,CO相交于点。，且NCOE=900.

（1）若/3。£=52。，求NAOC的度数;

（2）若NAOC:NBOC=1:5,求NAOE的度数.

【题型十二】角度的四则运算

【例12】（24-25七年级上•福建泉州・期末）若/1=54。35',贝U2N1的度数下列表达正确的是（）

A.104。35'B.108。35'C.I08°7（XD.10901（/

【举一反三】

1.（24-25七年级上•山西运城•期末）已知Nl+N2=9（r,若N1=27。32',则N2的度数为（）

A.63°32'B.62。28'C.62。32'D.63°28'

2.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期末）计算：36。55，+32。15=.

3.（24-25七年级上•湖北孝感・期末）计算：

（1）48°39'+67。31’；

（2）180°-（58°35,+70.30）.

【题型十三】实际问题中角度计算问题

【例13】（2024・陕西西安・模拟预测）如图，平面镜MN放置在水平地面上，墙面PDLCD于点D,

束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB,点、B在PDk,若NAOB=100%则^AOC的度数为（）

A.40°B.30°C.45°D.50°

【举一反三】

1.如图，将长方形48co沿4E折叠，得到如图所示的图形，已知NCM=50。，则上4。的度数是（）

A.40°B.50°C.65°D.76°

2.（24-25七年级上•山西朔州•期末）如图，把一个蛋糕等分成8份，每份的圆心角度数是

3.（23-24七年级上•陕西西安・期末）如图1,点。是弹力墙上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点。

向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转.按照这种方式将

魔法棒进行如下步骤的旋转.

第1步，从。&（。4在0M上）开始旋转a至。A；

第2步，从OA开始继续旋转2a至。4；

第3步，从0A2开始继续旋转3a至。4,

MAQONMAQON

图4备用图

例如：当a=30。时.。4,。&,。儿，。人的位置如图2所示，其中。43恰好落在0N上，NA0A=12O。；

当a=20。时，。4，0A2,。&,0A4t。4的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即

/A0N+NNQ44=8。。，而。4恰好与OA2重合.

根据以上材料，解决如下问题：

⑴若a=25。，则NA04度数是二

（2）若a<60。，。4恰好与OA?重合，求a的值；

（3）若a<35。，是否存在对应的a值使=28。？若存在，请求出对应的a值，若不存在，请说明理

由.

【题型十四】角平分线的有关计算

【例14】（24-25七年级上•贵州毕节・期末）如图，射线OC平分若ZAQ8=58。，则/COB的度数

A.90°B.58°C.29°D,24°

【举一反三】

1.（24-25七年级上•广东深圳•期末）如图，Z4^C=ZDCE=90°,4=45。，NEDC=60。，若。C平分

/BDE,则NBCE的度数为（）

B.120°C.135°D.150°

2.（24-25七年级上•四川成都・期末）如图，已知440。和都是直角，NEOD=24。,OC是4DOB

的平分线，则NAOC=度.

3.（24-25七年级上湖南长沙•明末）已知直角三角板。48（/4O8=90。，NQ4A=NOM=45。）和直角三

角板。CO（?。90?,ZC=60°,ZCOD=30°）,如图I摆放，点。、&C在一条直线上，将直角三

角板OCO绕点O逆时针方向转动〃。，变化摆放如图2、3、4、5位置.

图1图2图3图4图5

⑴当O。平分2403时，ZAOC=；

⑵如图4,当0。〈废〈60。时，作射线平分/AOC,射线0V平分N8OO,则NMON与NC存在怎样

的数量关系？请说明理由；

（3）如图5,①当60。＜〃。＜90。时，保持射线OW平分NAOC,射线QV平分N8OD,则NMON与/C存在

怎样的数量关系？请说明理由；

②当90。＜〃。580。时，保持射线平分N4OC,射线QV平分N8OD,请直接写出NMON与NC的数

量关系.

【题型十五】角n等分线的有关计算

【例15】（七年级上•广西防城港•期末）如图，若NBOC:ZAOC=1:2,ZAOA=66。，且OC在N408的

内部，则NAOC=（）

A.22°B.42°C.72°D.44°

【举一反三】

I.（22-23七年级上•浙江湖州•期末）定义：从-404的顶点出发，在角的内部引一条射线OC,把/AO3

分成1:2的两部分，射线。。叫做*49"的二等分线.若在4W0N中，射线是4WQV的二等分线，射

线仇?是NMOP的三等分线，设NMOQ=x,则NMCW用含x的代数式表示为（）

999999

A.-X或3x或一xB.-x或3x或9/C.-x或一x或9xD.3%或一x或9x

424422

2.（24-25七年级上•浙江绍兴•期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为

角的三等分线.如图，已知NAQB=120。，ZBOC=3（r,若加为NAO8的三等分线，则NM0C的度数

为.

3.（七年级上・贵州毕节•阶段练习）如图，点A、C、A三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF,

NDCE=2/ECA,ZFCE=[ZECB.

（1）求NQCF的大小，并说明理由；

（2）当NOCE='/EC4,/尸石C8时，直接写出//XT的大小（用含〃的代数式表示）.

nn

【题型十六】尺规作一个角等于已知角

【例16】（24-25七年级上•河南郑州•期末）小郑在用尺规作NA'O'8'=/4Q8时，具体的操作步骤是:

（I）作射线07V；

（2）以点。为圆心，以♦为半径作弧，交OA于点C,交08于点。：

（3）以点。为圆心，以★的长为半径作弧，交0W于点C；

（4）以点C为圆心，以▲的长为半径作弧，交前面的弧于点加；

（5）过点以作射线05,则NA'OB'就是所要作的角.下列说法不正确的是（）

夕夕

XX1

A.♦表示任意长B.★与♦的长相等

C.▲与线段C7）的长相等D.▲与★的长相等

【举一反三】

1.（24-25七年级上•辽宁沈阳•期末）如图,已知ZAOB与/EOF（ZAOB>/EOF）,分别以点。，O'

为圆心，以同样长为半径画弧，分别交04,04于点A,B',交O'E,OT于点£,F.以点皆为圆心,

以£尸长为半径画弧，在—403的内部交弧49于点H.下列结论正确的是（）

OBO'T'F

A.公OB=24EOFB.ZAOH二NEOF

C.ZAOH=/BOHD.NHOB：=NEOF

2.（24-25七年级上•全国•单元测试）如图，已知Na和4,用直尺和圆规作一八AC,使/ABC=

b_______________

3.（24-25七年级上•山东青岛•阶段练习）请用尺规作图:

如织，点。在—AO8的边08上.求作：4DCB,使N£）C8=/4O8.

A

好椒必屈U

一、单选题

1.18。+24。32'=（）

A.42。32'B.42.32cC.24。50'D.24.5°

2.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东30度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）

A.南偏西30。方向B.南偏西60。方向C.北偏东60。方向D.北偏东30。方向

3.一个角的补角是36。35'，这个角是（）

A.53。25'B.63。25'C.143°25'D.53。65'

4.下列度分秒的换算中，正确的是（)

A.23。1236"=23.48。B.47.11。=47。7'36"

C.18。18'30ff=18.183。D.22.25。=22。15'

5.下列四个图形中，能用Nl,/40B,N。三种方法表示同一个角的图形是（）

6.如图，ZAOB=120°,0C是NAOB内部任意一条射线，OD,OE分别是NAOC,N30C的角平分线,

下列叙述正确的是（）

A.NOOE的度数不能确定B.NA0D=3NEOC

C.ZAOD+ZBOE=60aD.ZB0E=2ZC0D

7.如图，点A、O、B在一条直线上，N1是锐角，则N1的余角是（)

C.i(Z2-Zl)D.-(ZI+Z2)

3

8.已知/A是锐角，/A与18互补，/A与—C互余，则N8—NC等于（）

A.45°B.60°C.90°D.180°

9.如图是一个时钟某一时刻的箧易图，图中的12条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据

图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（）

A.10〜11点B.7~8点C.5〜6点D.2〜3点

10,把一副三角板A8C与BQE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、。、8三点在同一条直线上，BM

为。的角平分线，8N为NCBE的角平分线.下列结论①NMBN=45。,②③NEBN=65。，

④？/NBD=/CBM,其中结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

II.计算：20。42'=。.

12.若船A在灯塔B的正南方向上，那么灯塔8在船A的方向上.

13.若44=38。3',NB=38.3。，则比较N4的大小：_____/B.

14.如图，射线04表示方向，射线04表示方向.

15.如果Na和功互补，且则下列表示”的余角的式子中：①90。一//；②Na-90。，③

（Na十N