北师大版七年级数学上册期末复习：一元一次方程（7个考点）解析版

专题04一元一次方程（考点清单）

【考点1】一元一次方程的定义【考点2】方程的解/一元一次方程的解

【考点3】等式的性质【考点4】解一元一次方程

【考点5】同解方程【考点6】求含参数的一元一次方程

【考点7】一元一次方程的应用

血真题精练

【考点1】一元一次方程的定义

I.（2023春•衡阳期末）下列各式是一元一次方程的是（）

A.2x=5+3yB.,2=.v+4C.3x+2=1-xD.乂2二2

x

【答案】C

【解答】解：A.方程2x=5+3y是二元一次方程，选项A不符合题意；

B.方程）?=），+4是一元二次方程，选项A不符合题意；

C.方程3%+2=1-x是一元一次方程，选项C符合题意；

D.方程/上=2是分式方程，选项。不符合题意.

x

故选：C.

2.（2022秋•永兴县期末）若（〃L2）/"3|=6是一元一次方程，则〃?等于（）

A.1B.2C.1或2D.任何数

【答案】4

【解答】解：根据一元一次方程的特点可得（.一20°,

l2m-3=±l

解得m=l.

故选：A.

3.（2023春•秦安县期末）已知方程3-2）+5+6=0是关于x的一元一次方程，则a

的值为（）

A.±2B.-2C.1D.2

【答案】B

【解答】解：由题意，得

同・1=1且a・2W0,

解得〃=-2,

故选：B.

4.（2023春•鹤壁期末）如果方程.2=0是关于x的一元一次方程，则〃的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解答】解：•・•方程/“7-2=0是关于x的一元一次方程，

••〃=3.

故选：B.

5.（2020秋•沂水具期末）若关干x的一元一次方程〃-x-4=0的解是工=-3.那么k

的值是（）

A.-1B.1C.6D.10

22

【答案】4

【解答】解：•・•关于x的一元一次方程2k-x-4=0的解是x=-3,

・・・2«+3-4=0,

解得：人=上，

2

故选：A.

【考点2】方程的解/一元一次方程的解

6.（2022秋•东西湖区期末）已知x=2是关于x的一元一次方程or-6=0的解，则〃的

值为（）

A.0B.3C.-3D.A

3

【答案】B

【解答】解：・・3=2是一元一次方程&.6=0的解，

・・・2。-6=0,

解得4=3.

故选：B.

7.（2023春•德宏州期末）若x=2是关于x的一元一次方程心+〃=3的解，则代数式6/+3〃

・2的值是（）

A.2B.3C.7D.9

【答案】C

【解答】解：把x=2代入方程可得2〃?+〃=3,

:.6in+3n-2

=3（2W+H）-2

=3X3-2

=7.

故选：C.

8.（2022秋•佛山期末）小明同学在做作业时，发现自己不小心将方程x+3=-2（x-3）

-★的一个常数涂黑看不清了，询问王老师后，王老师告诉他，这个方程的解是1=-3,

则坟个被涂黑的常数★是（）

A.-12B.12C.3D.-3

【答案】B

【解答】解：将x=-3代入原方程得：・3+3=-2X（-3-3）-★,

解得：★=12.

故选：B.

【考点3】等式的性质

9.（2022秋•惠城区校级期末）下列运用等式的性质变形正确的是（）

A.若1=＞，则x+5=y-5B.若J=〃2,则。=人

C.若包上，贝lj〃=人D.若or=a），，则x=y

CC

【答案】C

【解答】解：A：若x=y,则x+5=y+5,故4不正确，不合题意；

B：若/=/「，则〃=±〃，故B不正确，不合题意；

C：若包丈，则4=仇故c正确，符合题意；

CC

D：若则时x=y,故。不正确，不合题意：

故选：C.

10.（2022秋•雅安期末:卜列等式变形错误的是（)

D.方程21主±22也l=i分母化为整数得二2且±L=]

0.20.525

【答案】A

【解答】解：A、方程x-2(3-x)=1去括号得x-6+2x=l,正确，该选项符合题意；

B、方程3%+2=212移项得3x-2x=・2・2,原过程错误，该选项不符合题意：

。、方程织L_i二x去分母得缄+1-3=3》，原过程错误，该选项不符合题意；

3

。、方程卜-2/2x+0.1=1分母化为整数得主坦=[原过程错误，该选项

0.20.525

不符合题意；

故选：A.

14.(2022秋•武昌区期末)解方程-生足=1,去分母正确的是()

23

A.3(x-1)-2(2+3x)=1B.3(%-1)-2(2A*+3)=6

C.3x-I-4x+3=1D.3x-I-4x+3=6

【答案】B

【解答】解：去分母得：3(x-1)-2(2x+3)=6,

故选：B.

15.(2022秋•西山区期末)解下列方程:

(1)3(%-2)=2(A-1)；

⑵智-1岑

【答案】(l)x=4：

(2)x=-1.

【解答】解：(1)3(x-2)=2(A--1),

3x-6=2x-2,

3x-2x=-2+6,

x=4；

(2)3x-l

3(3x-1)-12=2(5x-7),

9x-3-12=10x-14,

9x-\Ox=-14+3+12,

x=l,

x=-1.

16.(2022秋•如皋市校级期末)解方程：

(1)3-2(A-+2)=3(x-1)；

(2)立一1业2.

23

【答案】(1)x上；

*5

(2)x=-13.

【解答】解：(1)3-2(工+2)=3(x-1)

去括号得：3-2x-4=3x-3,

移项得：-2x-3x=-3-3+4,

合并同类项得：-5x=-2,

系数化为1得：x上；

x5

(2)ZZL_1=2X+2

23

去分母得：3(x-1)-6=2(2x+2),

去括号得：3x-3-6=4x+4,

移项得：3x・4x=4+3+6,

合并同类项得：・x=13,

系数化为1得：工=-13.

17.(2022秋•仪征市期末)解方程：

(1)5(x-1)+3=3-3；(2)

52

【答案】(1)x=-1；

2

(2)产卫.

7

【解答】解：(1)5(x-1)+3=3x-3,

5x-5+3=3x・3,

5x-3x=-3-3+5»

2x=-\,

xY—-—1；

2

(2)t1+3=1,

52

2(x-1)+5x=10,

2x-2+5x=10,

2x+5x=10+2,

7x=12,

x=—.

7

18.(2022秋•南昌期末)用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能.卜面是

小凯错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务，

2x_4-3x=5x+8

163~

解：2X2t-(4-3x)=2(5x+8)第一步

4,v-4+3x=10x+16第二步

4x+3x-10x=16・4第三步

-3x=12第四步

x=-4第五步

任务一：填空：

①以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的:第二步去括号时用

到的运算律是乘法分配律；

②第三步开始出错,这一步错误的原因是移项没有变号；

③请直接写出该方程的正确解：L型；

3—

任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意

的事项给同学们提一条建议.

【答案】任务一：

①等式的基本性质，乘法分配律；

②三，移项没有变号；

@x=-领；

3

任务二：

答案不唯一，如：去分母时要防止漏乘；或括号前面是“-”号，去掉括号时括号里面

各项都要变号等.

【解答】解：任务一：

①以上解题过程中，第•步的依据等式的基本性质进行变形得：第二步去括号时用到的

运算律是乘法分配律；

②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项没有变号；

③该方程的正确解是工=・殁；

3

故答案为：①等式的基本性质，乘法分配律：②三，移项没有变号；私=一型：

3

任务二：

答案不唯一，如：去分母时要防止漏乘；或括号前面是“-”号，去掉括号时括号里面

各项都要变号等.

【考点5】同解方程

19.（2022秋•徐闻县期末）若方程2x-5=x-2与3a弓亘:a/211•的解相同，求。的

25

值.（解方程要有详细步骤）.

【答案】。的值为1.

【解答】解：2A-5=A-2,

lx-x=-2+5,

x=3,

由题意得：

xaa2XjJ

把x=3代入3a--=a--PIJ'：

25

3.・三二〃・丘，

25

30〃-5（3-ci}=10〃-2（a-6），

30a-15+5。=10a-2a-12,

30a+5a-10a+2〃=12+15,

27。=27,

a=\,

・・・a的值为1.

20.（2022秋♦岳麓区校级期末）已知方程6x-9=10-5与方程3a-1=3（x+4）・2a的

解相同；

（I）求这个相同的解：

(2)求。的值.

【答案】(l)x=・l.

(2)a=-\.

【解答】解：(1)6x-9=IOx-5

移项，得：

6x-10x=-5+9,

合并同类项，得：

-4x=4,

系数化为1,得：

x=-1.

(2)由方程6犬-9=10.15与方程34-1=3(x+a)-2a的解相同，得

3〃-1=3(-1+〃)-2/7.

解得，=-I.

21.(2022秋•沧州期末)小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不

清楚，被污染的方程是2r-^^=工+1.

2

⑴小明猜想部分是2.请你算-算x的值；

(2)小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程1-空f=2里的解相同，请你

510

算•算被污染的常数应是多少？

【答案】⑴2；(2)1.

2

【解答】解：(1)V2V-2=A.V+1,

2

.\2x-AV=I+2,

2

；&=3,

2

1•x=2；

(2)V1-2xtl_=_xj^.,

510

A10-2(2r+l)=x+3,

/.IO-4x-2=v+3,

・•・-4.r-x=3-10+2,

:.-5x=-5,

.\x=1,

设污染的常数为小

把x=l代入方程得：2-«=-1+1,

2

解得：«=-1,

2

答：污染的常数应是

2

22.(2022秋•晋州市期末)已知：关于x的方程空工法3内和3(2-.v)=2x+l的解相

23

同.求代数式(2-m)2022-(5-2m)2023-I的值.

【答案】1.

【解答】解：解方程3(2-x)=2A+1,

得x=1,

将X=1代入空兰

23X

3(in-1)+2(m-3)=6,

3m-3+2，"-6=6,

5m=\5,

，〃=3,

将m=3代入(2-m)2022-(5-2m)2023-I,

则(2-m)2022-(5-2m)2023-1

=(-I)2022-(-i)2O23-l

=1+1-1

=1

【考点6】求含参数的一元一次方程

23.(2022秋•莱芜区期末)定义一种新运算“㊉”：〃曲〃=3〃-2〃?+1,比如：4㊉(-5)

=3X(-5)-2X4+1=-22.

(1)求(-3)㊉2的值.：

(2)已知(3x7)㊉(x+3)=6,请根据上述运算，求工值.

【答案】⑴13；(2)2.

【解答】解：(1)..,四㊉〃=3〃-2机+1,

:.(-3)㊉2

=3X2-2X(-3)+1

=6-(-6)+1

=13.

(2)丁，〃㊉〃=3〃・2〃:+1,(3x・l)㊉(x+3)=6,

・・・3(x+3)-2(3x-1)+1=6,

去括号，可得：3.什9-6/2+1=6,

移项，可得：3x-6x=6-9-2-1,

合并同类项,可得：-3x=-6.

系数化为1,可得：x=2

【考点7】一元一次方程的应用

24.(2022秋•西山区期末)一份数学竞赛题，有25道选择题，做对一道题得4分，做错

一道题倒扣1分，某同学做了全部试题，得了85分，他共做对了()

A.19道B.20道C.21道D.22道

【答案】C

【解答】解：设他做对的题数为x道，则做错的题数为(25-x)道，

根据题意得：

4x-(25-x)=80,

解得：x=21,

即他共做对了21道题，

故选：C.

25.(2022秋•莱芜区期末)有这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多三尺；若

将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果

将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳三尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井

外余绳一尺.问绳长和井深各多少尺？假设井深为4尺，则符合题意的方程应为()

A.-i-x-3=-jX-lB.3A+3=4x+l

C.-yx+3=~_x+lD.3(x+3)=4(x+l)

【答案】D

【解答】解•：设井深为x尺，

依题意，得：3(x+3)=4(x+1).

故选：£).

26.(2022秋•汇川区期末)如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5

个数(如阴影部分所示).请你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是()

日—•1三m五六

1234

567891()11

12131415161718

19202122232425

262728293031

A.31B.56C.67D.126

【答案】C

【解答】解：设“凹”型框中左上角的数字为x,则其他5个数字为x+2,x+7,户8,/+9,

则这5个数的和为K+(x+2)+(x+7)+(x+8)+(x+9)=5/26,

令5x+26=31,得x=l,符合实际，故选项4不符合题意；

令5x+26=56,得x=6,符合实际，故选项8不符合题意；

令5x+26=67,得.丫=里，不符合实际，故选项C符合题意；

5

令5"26=126,得x=20,符合实际，故选项。不符合题意；

故选：C.

27.(2022秋•市南区期末)占书中有一道题，原文是：今有四人共车，三车空；三人共车,

九人步，问人与车共几何？译文是：今有若干人乘车，每4人共乘一辆车，剩下三辆车;

若每3人共乘一辆车，剩下9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人,

可列方程()

【答案】B

【解答】解：依题意，得：三+3=-^±.

43

故选：B.

28.（2022秋•西山区期末）某商品的售价为200元，若以9折出售，仍可获利20%,则该

商品进价是15（）元.

【答案】150.

【解答】解：设该商品的进价为x元.根据题意得

200X0.9-x=20%W.

解得x=150.

故答案为：150.

29.（2022秋•建湖县期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市自来水公司

采取价格调控的手段达到节水的目的，市自来水收费的价目表如卜.（水费按月结算）：

每月用水量价格

不超过的部分3元/

超过6/7不超过10/的部分4.5元加

超过10/"的部分7元加

根据如表的内容解答下列问题：

（1）若小锦家5月份用水5m3,则应交水费15元:

（2）若小锦家6月份用水。m3（其中6VaW10）,求小锦家6月份应交水费多少元;

（用含。的式子表示）

（3）若小锦家7月份交水费78元，求小锦家7月份的用水量是多少立方米.

【答案】⑴15；

（2）（4.5。-9）元；

（3）16/.

【解答】解：（1）根据题意得：5X3=15（元）.

答：应交水费15元；

故答案为：15.

（2）根据题意得：6X3+（a・6）X4.5=18+4.5。・27=（4.5。・9）元.

・•・张鸣家5月份应交水费（4.5〃-9）元；

（3）设张鸣家6月份的用水量是

当用水量为10〃尸时，应交水费4.5X10-9=36（元），

V78>36,

/.x>10.

根据题意得6X3+（10-6）X4.5+（x-10）X7=78,

解得x=16.

答：张鸣家36份的用水量是16帆3.

30.（2022秋•如皋市期末）某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销

活动，其中每个篮球的价格比每个足球的价格多5元，购进5个篮球和4个足球共需700

元.

（1）篮球和足球的进价分别是多少元？

（2）该店购进了篮球和足球共120个，篮球在进价的基础上加价25%进行标价，足球在

进价的基础上加价25元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利2600元，求

该店购进的篮球和足球分别是多少个？

（3）在（2）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价95%出售，足球按标价先卖出

14个，余下的部分按标价降价10%出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利淮多少

元？

【答案】（1）篮球的进价为80元，足球的进价为75元：

（2）购进的篮球80个，足球40个；

（3）该店可获得利润1940元.

【解答】解：（1）设足球的价格为x无，则篮球的价格为（x+5）元，

根据题意得：5（x+5）+4x=700,

解得：x=75,x+5=80,

・•・篮球的进价为80元，足球的进价为75元：

（2）设购进篮球y个，则足球购进（120-y）个，

篮球的标价为：80X（1+25%）=100元，足球的标价为：75+25=100（元），

单个篮球的利润为为0・80=20元,足球的利润为100-75=25（元），

根据题意得20）叶25（120-），）=2600,

解得：y=80,120-80=40,

・•・购进的篮球80个，足球40个；

（3）篮球售价为100X95%=95元，利润为：95-80=15（元）；

足球剩下部分售价为1：X）X（1-10%）=90（元），利润为：90-75=15（元）：

利润为：15X80+25XI4+15X（40-14）=1940（元），

・••该店可获得利润1940元.

31.（2022秋•青云谱区期末）某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车

单独运完需要15天，乙车单独运完需要30天.甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作

运完剩下的垃圾.

（I）甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？

（2）已知甲车每天的租金比乙车多100元,运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950元.则

甲、乙车每天的租金分别为多少元？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾，

依题意，得：左3+工=1,

1530

解得：x=8.

答：甲、乙两车合作还需要8天运完垃圾.

（2）设乙车每天的租金为y元，则甲车每天的租金为（y+100）元，

依题意，得：（8+3）（jH-100）+8），=3950,

解得：y=150,

・•・），+100=250.

答：甲车每天的租金为250元，乙车每天的租金为150元.

32.（2022秋•榆阳区校级期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新

调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人.

（I）求调入多少名工人；

（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要

2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少

名？

【答案】（1）调入6名工人；

（2）10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套.

【解答】解：（1）设调入x名工人，

根据题意得：16+x=3i+4,

解得x=6,

・•・调入6名工人；

（2）rf]（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6=22（名），

设），名工人生产螺栓，则（22-y）名工人生产螺母，

♦・•每天生产的螺栓和螺母刚好配套，

.\240yX2=400（22-y）,

解得y=10,

：,22-y=22-10=12,

答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺拴和螺母刚好配套.

33.（2022秋•中山市校级期末）整理一批图书，如果由一个人单独做要花40小时.现先

由一部分人用1小时整理，随后增加5人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作.假

设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？

【答案】1（）人.

【解答】解：设先安排整理的人员有x人，

依题意得：工且王也2-1.

4040

解得：x=10.

答：先安排整理的人员有10人.

34.（2022秋•香洲区期末）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名师傅去粉刷8个房

间，结果其中有50〃P墙面还未来得及刷：同样的时间内5名徒弟粉刷了10个房I'瓦的墙

面之外，还多粉刷了另外的40小墙面，每名师傅比徒弟一天多刷10步的墙面.

（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；

（2）已知每名徒弟每天的工钱为18（）元，现有28间房需要1名徒弟单独完成粉刷，需

支付工钱多少元？

【答案】（1）52；

（2）2340.

【解答】解：（1）设每个房间需要粉刷的增面面积为斤〃2,

根据题意得，^2^70=10-+40,

3iU5

解得：x=52,

答：每个房间需要粉刷的墙面面积为52〃P；

（2）1名徒弟I天可粉刷墙面面积：10X52+40=112（/），28X52X180=2340

5112

（元），

答：需支付工钱2340元.

35.（2022秋•罗庄区期末）下表中有两种移动电话计费方式:

月使用费/元主叫限定时间主叫超时费/元/加〃

方式一58200X

方式二88400x+0.05

其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费.已

知当方式一主叫超时20分钟，方式二主叫超时40分钟时，两种方式共收费160元.

（I）求x的值.

（2）若每月主叫时间不超过400分钟，当主叫时间为多少分钟时•，两种方式收费相同？

（3）若某月主叫时间为700分钟，选择哪种方式计费更省钱？

【答案】⑴x=0.2；

（2）当主叫时间为350分钟时,两种方式收费相同.

（3）某月主叫时间为700分钟时，选择方式一收费更省钱.

【解答】解:（1）依题意列方程得:58+20x+88+40（x+0.05）=160,

解得，x=0.2；

（2）设主叫时间为，分钟时，两种方式收费相同.

A58+（/-200）X0.2=88,

解得，1=350,

・•・当主叫时间为350分钟时，两种方式收费相同.

（3）若某月主叫时间为700分钟，

则方式一收费为:58+（700-200）X0.2=158（元），

方式二收费为:88+（700-400）X0.25=163（元），

・••某月主叫时间为700分钟时，选择方式一收费更省钱.

36.（2022秋•汇川区期末）如图,已知数轴上有A,8两点，它们分别表示数且Q+6）

2+步-12|=0.

A0B

(1)填空：a=-6,b=12；

(2)点。以2个单位长度/秒的速度从点A向点8运动，到达点8后停止运动.若点。

为AC中点，点E为8c中点，在点C运动过程中，线段的长度是否发生改变？若不

变，求线段。石的长度，若变化，请说明原因；

(3)在(2)的条件下，点P以I个单位长度/秒的速度同时从原点。向点B运动，P点、

到达8点后停止运动，问点P运动多少秒后，点P与点。相距2个单位长度？

【答案】(1)-6,12；

(2)线段。E的长度K发生改变，线段。E的