八年级数学上册期末必刷压轴60题（18个考点专练）原卷版

期末真题必刷压轴60题（18个考点专练）

一.塞的乘方与积的乘方（共1小题）

1.（2022秋•梁子湖区期末）阅读下列材料：

一般地，〃个相同的因数。相乘a・a…a记为如2X2X2=23=8,此时，3叫做以2为底8的对数,

r?F

记为log28（即log28=3）.一般地，若〃"=力（〃>（）且aHl,Q0）,则〃叫做以。为底人的对数，记为

心汝〃（即log疝=〃）.如34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）.

（1）计算以下各对数的值：

log24=,log216=,Iog264=.

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，1亚24、Iog216、log264之间又满足怎样的关系

式；

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

!ogaM+log”N=；（。>（）且aKl,M>0,N>0）

（4）根据幕的运算法则：/・〃=/+〃，以及对数的含义证明二述结论.

二.多项式乘多项式（共1小题）

2.（2023春•安徽期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2计a）（3x+A）.甲由于把第一个多项式中

的“十〃”看成了“得到的结果为67+ILr-1（）；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结

果为2?-9工+10.

（1）求正确的“、。的值.

（2）计算这道乘法题的正确结果.

三.完全平方公式的几何背景(共1小题)

3.(2022秋•西岗区校级期末)【探究】

若x满足(9-x)(x-4)=4,求(4-x)2+(X-9)?的值.

®9-x=a,x-4=b,则(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,

:.(9-x)2+(x-4)2=a2+lr=(〃+〃)2-2«/?=52-2X4=17：

【应用】

请仿照上面的方法求解下面问题：

(1)若x满足(5-A-)(X-2)=2,求(5・幻2+(x-2)2的值；

【拓展】

(2)已知正方形ABCQ的边长为■E,“分别是A。、OC上的点，且AE=1,CF=3,长方形EMFO

的面积是8,分别以MF、。尸为边作正方形.

①MF=,DF=；(用含彳的式子表示)

②求阴影部分的面积.

四.整式的除法(共1小题)

4.(2022秋•海淀区校级期末)已知“，b,c为实数，且多项式4+0?+灰+c能被多项式/+3x-4整除,

(1)求4〃+c•的值；

(2)求力-2)-c的值；

(3)若小b,c为整数，旦试确定小力，。的值.

五.因式分解•十字相乘法等(共1小题)

5.(2023春•渠县校级期末)阅读并解决问题.

对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2的形式.但对于二次三项式

/+2or-3J,就不能宜接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式，+2办-3/中先加上一项使

它与7+2火的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有：

.r+2ar-3a2=(x2+2ax+a2)-(T-3a2=(x+a)2-(2。)2=(x+3n)(x-a).

像这样，先添-适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配

方法”.

(1)利用“配方法”分解因式:cr-6^+8.

(2)若a+b=5,ab=6,求:①/+庐；②♦+》的值.

(3)已知x是实数，试比较』-4x+5与-f+标-4的大小，说明理由.

六.因式分解的应用(共3小题)

数4312,其中3>1,4=3+1,2=3-1,所以4312是亲密数；

（1）最小的亲密数是,最大的亲密数是；

（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一

个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；

（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这

个亲密数.

8.（2022秋♦沙坪坝区校级期末）若•个整数能表示成后十庐（小人是正整数）的形式，则称这个数为“丰

利数”.例如，2是“丰利数”，因为2=12+产，再如，知=/+与，+2/=（1+y）2+/（x+y,『是正整数），

所以M也是“丰利数”.

（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是，并判断20“丰利数”.（填是或不是）；

（2）已知5=』+）2+216），+攵（工、y是整数，攵是常数），要使S为“丰利数”，试求出符合条件的一个k

值（10W*V200）,并说明理由.

七.分式的加减法（共1小题）

9.（2022秋•固始县期末）分式中，在分子、分母都是整式的情;兄下，如果分子的次数低于分母的次数，称

这样的分式为真分式.例如，分式一母〈是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样

3

x+2x-4x

2

的分式为假分式.例如，分式立L二一是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例

X-lx+1

如,x+1(x-l)+2

X-lX-l

（1）将假分式红三化为一个整式与一个真分式的和;

x+1

2

（2）若分式工一的值为整数，求x的整数值.

x+1

八.分式的化简求值（共2小题）

2

10.（2022秋•铁岭县期末）先化简，再对a取一个适当的数，代入求值.且出土&右且二餐电

a-3a+2a2_4

11.（2022秋•平城区校级期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,

则称这个分式为“和谐分式”.如：三2=x-l+2.=x-l+2=]+2,空§=2x+2-5=红！2+二

X-lX-lX-lX-lx-lx+1x+1x+1x+1

=2+二殳，则三旦和红§都是“和谐分式”.

x+1X-lx+1

（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是（填序号）；

2

①①©2tx；③丝④中

x2x+1y2

22

（2）将“和谐分式”式二^■化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：&-2a+3=

a-la-l

+：

2

（3）应用：先化简红电-工工♦得二L,并求x取什么整数时，该式的值为整数.

x+1xX2+2X

九.分式方程的应用（共11小题）

12.（2022秋•东昌府区校级期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进

行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规

定天数的3倍.如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需1（）天.

（1）这项工程的规定时间是多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元.为了缩短工期以减少对居民

用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成.则该工程施工费用是多少？

13.（2022秋•沙洋县校级期末）甲、乙两车站相距45（）酎〃，一列货车从甲车站开出3。后，因特殊情况在中

途站多停了一会，耽误了30〃加?，后来把货车的速度提高为原来的1.2倍，结果准时到达乙站，求这列货

车原来的速度.

14.（2022秋•湖里区校级期末）甲、乙两辆汽车同时分别从4、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知

A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米.

（1）若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度.

（2）设乙车的速度X千米/时，甲车的速度（/+〃）千米/时，若x=IO〃，则哪一辆车先到达C城，并说

明理由.

15.（2022秋•新化县期末）某工厂对零件进行检测，引进了检测机器.已知一台检测机的工作效率相当于

一名检测员的20倍.若用这台检测机检测900个零件要比15名检测员检测这些零件少3小时.

（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？

（2）现有一项零件检测任务，要求不超过7小时检测完成3450个零件.该厂调配了2台检测机和30名

检测员，工作3小时后又调配了•些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？

16.（2022秋•代县期末）为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济发展.山西省委决定修建“太忻

大道”，现“太忻大道”正在建设中.甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完

成该项工程的工，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程.

3

（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？

（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?

17.（2022秋•长沙期末）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成

的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍.

（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？

（2）甲工程队独做。天后，再由甲、乙两工程队合作天（用含。的代数式表示）

可完成此项工程；

（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少

要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？

18.（2022秋•青云谱区期末）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司单独完成此项

工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍.

（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？

（2）若已知甲乙合做完成此项工程共需费用102000元，并且乙公司每天费用比甲公司每天费用少1500

元，分别计算甲、乙单独完成此项工程各需多少费用并选择合理的施工方案.

19.（2023春•新吴区期末）某汽车销售公司经销某品牌4款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今

年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为

100万元，今年销售额只有9（）万元.

（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的8款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元,

B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15

辆，有几种进货方案？

（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开4款汽车的铛路，公司决定每售出一辆4款汽车，返还

颐客现金“万元，要使（2）中所有的方案获利相同，。值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

20.（2023春•开江县校级期末）某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场.现有甲、乙

两个工厂都想加工这批产品，己知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲

工厂每天加工的数量是乙工厂母天加工数量的2,公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工

3

费用每天120元.

（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？

（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程

中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省

时又省钱的加工方案，并说明理由.

21.（2022秋•扶沟县校级期末）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲

队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做2（）天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.

（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内

完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成

该工程省钱？

22.（2022秋•安顺期末）周末某班组织登山活动，同学们分甲，乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶

进发，设甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比2：3.

（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比；

（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1.2千米，试问山脚离山顶的

珞程有多远？

（3）在题（2）所述内容（除最后的问句处）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息

片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予

解答.

（要求：①问题的提出不需再增添其它条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有书面条件.）

一十.三角形内角和定理（共11小题）

23.（2022秋•枣阳市期末）如图，在△4BC中NA=40°,NB=72°,CE平分NACB,COJ_.48于力，DF

_LCE于凡求NCQ尸的度数.

AEDB

24.（2022秋•榆次区校级期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们

不妨把这样图形叫做“规形图”，

（1）观察“规形图”，直接写出与NA、NB、NC之间的关系：；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边AT、XZ恰好经过点B、C,ZA

=42°,则NABX+NACX=°；

②如图3,OC平分NAO3,EC平分NAE3,若NDAE=4（T,140°,则NQC£=°；

③如图4,ZABD,NAC。的10等分线相交于点Gi、G2…、Go,若/BOC=I42°,NBGC=70°,

则乙4=°.

25.（2022秋•城关区校级期末）如图1,一张三角形A8C纸片，点D,E分别是△ABC边上两点.

研究（I）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A处，则/BO4与N4的数量关系

是：

研究（1）：如果折成图2的形状，猜想N4D4，，NCEY和NA的数量关系是；

研究（3）：如果折成图3的形状，猜想N3OA,NCEY和NA的数量关系是什么，并说明理由.

图1图2图3

26.（2022秋•和平区校级期末）【数学模型】

如图（1）,AD,8c交于。点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关

系：®ZDOC=ZAOBx②ND+NC=NA+N4.

【提出问题】

分别作出/8A。和N8CQ的平分线，两条角平分线交于点£,如图（2）,NE与ND、N8之间是否存在

某种数量关系呢？

【解决问题】

为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究.已知NZM。的平分线与NBCO的平分线交于点

E.

(1)如图(3),若A8〃CD,ZD=30°,ZB=40°,则NE=.

(2)如图(4),若A8不平行CQ,/。=30°,N8=50°,则NE的度数是多少呢？

易证NO+N1=NE+N3,N8+N4=NE+N2,请你完成接下来的推理过程：

・•・N。+N1+N8+N4=,

,:CE、AE分别是NBC。、/胡。的平分线，

AZ1=Z2,N3=N4.

・•・2ZE=,

又・・・/。=30°,ZB=50°,

・•・ZE=度.

(3)在总结前两问的基础上，借助图(2),直接写出NE与N。、NB之间的数量关系

是：_______________________

【类比应用】

如图(5),NB/W的平分线AE与NBCO的平分线。上交于点£

已知：NQ=a、N8=0,(a<p)

图(2)

27.(2022秋•大竹县校级期末)如图，在△八8c中，八。平分八C,2为线段八。上的一个或点，PE.LAD

交直线8C于点E,若N/T=35°,ZACB=85°.

(1)求NQAC的度数；

(2)求NE的度数.

28.（2022秋•天山区校级期末）如图，ZUBC中，AO是AC上的高，4E平分NBAC,/B=75°,ZC=

45°,求ND4E与NAEC的度数.

29.（2022秋•平桥区校级期末）如图，人。为△人8C的高，8七为△八8c的角平分线，若NE8A=32°,Z

AEB=7（）°.

（1）求NC4。的度数；

（2）若点尸为线段8c上任意一点，当△£人:为直角三角形时，则/8E/的度数为.

3（）.（2022秋•盐湖区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规.我们不妨

把这样图形叫做“规形图”，

（1）观察“规形图”，试探究/3QC与NA、/B、NC之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2,把一块三角尺XVZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XKXZ恰好经过点8、C,ZA

=40°,则/A8X+N4CX=°；

②如图3,平分NAQ8,EC平分NAE3,若/DAE=40°,ZDBE=130°,求NOCE的度数；

③如图4,ZABD,NACZ）的10等分线相交于点Gi、G2…、G9,若/8OC=I33°,NBGC=70°,

求N4的度数.

31.（2022秋•高新区校级期末）叙述并证明“三角形的内角和定理”.（要求根据下图写出已知、求证并证

明）

32.（2022秋•开江县校级期末）如图，在△A8C中，垂足为/）,点石在上，EF_LAB,垂足

为F,Z1=Z2.

（1）试说明0G〃3C的理由；

（2）如果N8=34°,且NACO=47°,求N3的度数.

33.（2022秋•渠县校级期末）图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？卜面请你解

决以下问题:

（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究N8Q。与NA、NB、/C之间大小的关系，并说明理由;

（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：

①如图（2）,把一块三角板X7Z放置在△A8C上，使其两条直角边XKXZ恰好经过点8、C.若NA=

50°,则NA8X+NACX=；

②如图（3）,ZABD,NACO的五等分线分别相交于点Gi、S、G3、GA,若NBOC=135°,NBGiC=

67°,求N4的度数.

一十一.三角形的外角性质（共3小题）

34.（2022秋•万全区期末）如图，在△A4C中，N4=40",ZC=7O0,是△ABC的角平分线，点E

在8。上，点尸在CA的延长线上，EF//AD.

（1）求N84/的度数.

（2）求N尸的度数.

35.（2022秋•建平县期末）如图，已知：点。是△44C内一点.

（1）求证：NBPO/A；

(2)若平分NA8C,PC平分/AC8,ZA=40a,求/P的度数.

36.（2022秋•黄石港区期末）已知如图N3=NC,Z1=Z2,ZBAD=40°求NEOC度数.

一十二.全等三角形的判定与性质（共13小题）

37.（2022秋•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（-2,0）,(0,3),C(3,0),D(0,

2).

（1）求证：AB=C。且A8_LC。；

（2）以4为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABE,过点E作"JLx轴于点尸，求点尸的坐标；

（3）若点P为），轴正半轴上一动点，以”为直角边作等腰直角三角形”Q,N4PQ=90°,QRJ_x轴

于点R,当点P运动时，OP-QR的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.

38.（2022秋•广水市期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.A、B两点的坐标分别为A（〃?，

0）、B（O,〃），且|m-n-3IW2n-6=0,点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线A。匀速运动，

设点尸运动时间为/秒.

（1）求Q4、的长；

（2）连接尸若△户O片的面积不大于3旦不等于0,求/的范围：

（3）过。作直线A4的垂线，垂足为。，直线PO与〉，轴交于点E在点。运动的过程中，是否存在这

洋的点P，使△£OPg△AO3?若存在，请求出I的值；若不存在，请说明理由.

39.（2022秋•苍梧县期末）如图1,△43C和△QEC都是等腰直角三角形，NACB=NDCE=90°,E在

线段AC上，连接A。，的延长线交AO于”.

（1）猜想线段BE,A。的数量关系和位置关系：（不必证明）；

（2）当点E为aAb。内部一点时，使点。和点E分别在AC的两侧，其它条件不变.

①请你在图2中补全图形；

②（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

40.（2022秋•兴隆县期末）【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如卜问题:

£

E

图1

如图1,/XABC中，若A8=8,4c=6,求边上的中线4D的取值范围.小明在组内经过合作交流,

得到了如下的解决方法：延长A。到点E,使。E=A。，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△人DCgAEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

（2）求得4。的取值范围是.

A.6VAOV8B.6这A£>这8C.\<AD<7D.1这AO这7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集合到同一个三用形中.

【问题解决】

（3）如图2,4。是△A8C的中线，BE交AC于E,交人。于凡且求证：AC=BF.

41.（2022秋•宜春期末）【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点A（0,m）,B（〃，0）,且（/〃-〃）

2+〃2-4〃+4=0,连接AB,点P、点。是x轴上的动点，且OP=BQ.连接AQ,过。点作OO1AQ于

点E,交直线A8于点。，连接。尸，试问在运动过程中，/8P。与/AQO是否存在某种特定的数量关

系.

（1）直接写出点A的坐标为，点B的坐标为

（2）【深入探究】如图1,当点尸、点Q在线段03上，且尸点在Q点的左侧时.

①求证：ZDOB=ZQAO；

②试猜想N8P。与NAQO的数量关系，并说明理由.

（3）【拓展应用】当点尸在8点右侧，点。在x轴负半轴上运动时，若N4Q0=a,用a表示NBPD

.（不需证明）

图1备用图1备用图2

42.（2022秋•沈河区期末）△A/3C,AB=AC,点O在线段4c上,点F在射线AQ上，连接C77,作3七〃

Cb交射线AO于七，ZCM=ZBAC=a.

（1）如图1,当a=70°时，/ABE=\5a时，求N84E的大小;

(2)当a=90°,AB=AC=8时,

①如图2.延长当BF=BA,求CF的长;

②若4。=5«，直接写出C厂的长.

图1图2

43.（2022秋•长寿区期末）已知：点。到△/1BC的两边相，八。所在宜线的距离相等，且OB=OC.

（1）如图1,若点。在边8c上，过点。分别作。E_LAB,。工LAC,E,尸分别是垂足.求证：AOEB

0△OFC：

（2）如图2,若点。在△ABC的内部，求证：AB=AC；

(3)若点。在△A4C的外部，AB=AC成立吗？请画图表示.

44.(2022秋•东西湖区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(0,a),点4(b,0),点C(-3,

0),且“、满足J-6a+9+|a-刈=().

(1)点4的坐标为，点B的坐标为；

(2)求证：AB=AC；

(3)若/C/W=90°,过点4作射线/(射线/与边8c有交点)，过点8作BOJJ于点D,过点。作

CEJJ于点E,过点上作律_LOC于点尸交y轴于点G.

①求证：AE=BD；

②求点G的坐标.

45.(2022秋•东西湖区校级期末)如图，己知△A8C中，AC=CB=2()cm,AB=\6cm,点。为AC的中点.

(1)如果点P在线段AB以6cm/s的速度由4点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点

运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，AAP。与△8QP是否全等？说明理由；

②若点。的运动速度与点P的运动速度不相等，当点。的运动速度为多少时，能够使△4P。与△BQP

全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿△A8C

三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

46.（2022秋•金湾区期末）如图1,已知点4（小0）,点B（0,b）,且〃、〃满足《启+|4-〃|=0.

（1）求A、8两点的坐标；

（2）若点C是第一象限内一点，且NOC8=45°,过点4作AZXLOC于点八求证：FA=FC；

（3）如图2,若点。的坐标为（0,1）,过点A作AE_LA。，且A£=AQ,连接4E交x轴于点G,求G

点的坐标.

47.(2022秋•盐山县校级期末)如图，CDLAB,BE1,AC,垂定分别为。、E,BE、CO交于点O,08=

0C.求证：Z1=Z2.

48.(2022秋•广水市期末)如图，在△ABC中，AB=CB,NA8C=90°,。为人B延长线上一点，点E在

BC边上，且BE=BD,连接4E,DE,DC.

(1)求证：△ABEW4CBD；

(2)若NCAE=30°,求N£DC的度数.

49.（2022秋•灵宝市校级期末）（1）在图1中，己知/M4N=120°,AC平分NMAMZABC=ZADC=

90’，则能得如卜两个结论：®DC=BCx@AEHAB=AC.请你证明结论②；

（2）在图2中，把（1）中的条件“NABC=NAQC=90。”改为NA8C+NAQC=180。，其他条件不

变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

一十三.等腰三角形的性质（共1小题）

50.（2022秋•金华期末）如图，在△43。中，ZABC=2ZAC8,4。为△A3C的角平分线;

（1）若AB=BD,则NA的度数为°（直接写出结果）：

（2）如图1,若E为线段BC上一点，ZDEC=ZA；求证：AB=EC.

（3）如图2,若E为线段8。上一点，ZDEC=ZA,求证；AB=EC.

A

一十四.等腰三角形的判定与性质（共1小题）

51.（2022秋♦明水县校级期末）（1）如图①，在△A8C中，BF,CF分别平分N48C,ZACB,过点厂作直

线平行于5C,分别交45,AC于点。，E,求证：DE=BD+CE；

（2）如图②，若点尸是NA8C的平分线和外角NACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE,

一十五.等边三角形的性质（共2小题）

52.（2022秋•荣昌区期末）如图I,点P、Q分别是边长为4加的等边△A/3C边相、4C上的动点，点。

从顶点A,点、Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为\cmJs,

（1）连接AQ、CP交于点M,则在尸、。运动的过程中，NCMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不

变，则求出它的度数；

（2）何时△尸4Q是直角三角形？

（3）如图2,若点户、Q在运动到终点后继续在射线A3、上运动，直线AQ、CP交点为M,则NCMQ

变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

53.（2022秋•上杭县校级期末）如图△ABC为等边三角形，直线〃〃人8,。为直线8C上一点，NADE交

直线。于点E,且乙4。七=60。.

（1）若。在4c上（如图1）求证CO+C£=C4；

A

a

（2）若。在C6延长线上，CD、CE、C4存在怎样数量关系，给出你的结论并证明.

一十六.多边形（共1小题）

54.（2022秋•西城区期末）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，

我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S,多边形内部的格点数为N,多边形边上的格点

数为L.

（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格:

多边形面积S内部格点数N边上格点数L呜

I

II7488

III

IV951010

V15.5111116.5

（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：5与N+上的数量关系可用等式表示

2

为:

（3）