初中九年级数学上册（贵州）第一章 特殊的平行四边形（A卷·提升卷·单元重点综合测试）含答案

第一章特殊的平行四边形（A卷•提升卷）

班级姓名学号分数—

考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1.下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等

C.邻边相等D.对角线相等

2.如图，公路/4C、4C互相垂直，公路川？的中点M与点。被湖隔开，若测得力4的长为4.8公%则M、

C两点间的距离为（）

C.4.2kinD.4.8%/〃

3.如图，在菱形48CO中，对角线月C、AO交于点O,添加下列一个条件，能使菱形月4co成为正方形的

是（）

OA=OBC.AC±BDD.OD=AC

4.如图，矩形48。中，连接力C,延长4c至点£,使4K=4C,连接。E.若48=40",则NE的度

5.如图，在菱形力8CO中，点£“分别是力C,。。的中点.若EF=4,则菱形月8CQ的周长为（)

C

A.8B.16C.24D.32

6.在菱形18CQ中，按如下步骤作图：①分别以点4、8为恻心，大于卷研的长为半径作弧，两弧交点

分别为E、尺②作直线ER交对角线力C于点G.③连接0G.若N8=75°,则N/GO度数为（）

DC

7.平行四边形44CO中，£户经过两条对角线的交点O,分别交44,CO于点£,F,在对角线4C上通过

作图得到点"，N如图1,图2,下面关于以点F,M,E,N为顶点的四边形的形状说法正确的是（）

0E为半径作弧，交于点M.过点F作

ACM,N.FNAAC十点N.

A.都为矩形

B.都为菱形

C.图1为矩形，图2为平行四边形

D.图1为矩形，图2为菱形

8.如图，三角尺EFG的顶点尸，G分别在矩形48co的边力&力。上，/EFG=90：NFEG=30°,若

4GMe=75：则N4尸G的度数为（)

75°C.85°D.95°

9.在匚L4BCD中,对角线/C、8D相交于点O,£是近44上的一个动点（不与力、4重合）连接EO并延

长，交。。于点凡连接力凡CE,下列四个结论中：

甲：对于动点后四边形力Eb始终是平行四边形；

乙：若N/18CV90°,则至少存在一个点E,使得四边形NEC才是矩形;

丙：若AB>AD,则至少存在一个点E,使得四边形力EC厂是菱形;

T：若4B>4D,ZBAC=45°,则至少存在一个点E,使得四边形4EC尸是正方形.

以上所有正确说法的序号是（）

B.甲、乙、丙、丁都正确

C.甲、乙、丙正确，丁错误

D.甲、乙、丙错误，丁正确

10.如图,在平面直角坐标系中，正方形/18C。的位置如图所示，N力80=60°,若48=2,则点。的坐

标为（)

(1W3,V3)C.(V3,1W3)D.(1W3,1W3)

11.如图，在△45。中，AB=AC=13,Z^C=120°,力。是△48C的中线，4?是/历I。的平分线，DF

〃/14交力£的延长线于点E则。F的长为（)

A

C.7.5D.6

12.如图，在Rt△48c中，ZBAC=90°,AB=5,力。=12,点。是8c上的一个动点，过点D分别作DM

于点"，DN上AC于点、N,连接则线段MN的最小值为（）

r60

213D楣

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.一个矩形的一条对角线长为20,且两条对角线相交所成的钝角为120°,则这个矩形的面积

为.

14.如图，在△力8c中，N切。=90°,点。为边4C的中点，点E为线段8。的中点.若48=3,AE=

15.如图菱形48CO中，NB=70：的垂直平分线交对角线力。于点E,连接OE,则/4OE的度数

16.如图，在矩形片88中，8c=20cw,点P和点。分别从点B和点。出发，按逆时针方向沿矩形力8co

的边运动，点产和点0的速度分别为3c〃而和2o〃/s,则最快5后，四边形48P。成为矩形.

oD

三、解答题（本大题共9小题，共98分）

17.（10分）如图，四边形/出。是菱形，AELCD于点E,AF工BC于点、F.求证：DE=BF.

18.（10分）如图，在Rt△力8c中，N4C8=90°,CDL4B于点D,/BCD：ZDCA=2：3,E是斜边

.48的中点，求NECD.

D

19.（11分）如图，已知四边形48CO是平行四边形，对角线1C、8。交于点O,△408是等边三角形.

（1）求证：四边形/18C。是矩形;

（2）若48=5,求8c的长.

20.（11分）如图，在矩形44CQ中，点。为对角线4。的中点，过点O作交4。于点E,连接

BE,若｛8=6,BC=\0.

（1）求△力4E的周长.

（2）延长EO交"。于点凡连接£）凡求月尸的长.

21.（11分）如图所示，O是矩形力88的对角线的交点，DE//AC,CE//BD.

(1)求证：OE±DC.

(2)若N4()D=12O°,DE=2,求矩形44co的面积.

22.(10分)如图，在长方形48CQ中，BC=3,AB=4,点、E为边AB上一动点,连接底，随着点E的运

动△8"的面积也发生变化.

(1)求△8CE的面积y与的长x(0VxV4)之间的关系式;

(2)当x=2时，求y的值.

23.(10分)如图，在中，ZC=90°.延长C8至。，使得BD=CB,过点”，。分别作力E〃

BD,DE//BA,4r与相交于点E.下面是两位同学的对话:

小星：由题目的已知条件，若连接小红：由题目的已知条件，若连接

自BE,则可证明8E_LCO.CE,则可证明CE=DE.

▼就

丽

（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明：

（2）连接CE,交AB于点、F,试判断4尸与。E有怎样的关系，并证明你的结论.

24.（12分）如图，在正方形48CQ中，点M是对角线8。上一点，射线4W交CO于E,交8c的延长线

于点凡CG上CM交EF于点、G.

（1）求证：AM=CM.

（2）探究CG与石厂的数量关系，并说明理由.

（3）连接OG,若DGLBD,4B=8,求。石的长.

25.（13分）已知四边形48。是边长为的正方形，P,。是正方形边上的两个动点，点。从点月出发,

以2a〃/s的速度沿力-*4-。方向运动，点。同时从点。出发以速度沿Q-C方向运动.设点夕运

动的时间为,(0<z<8).

（1）如图1,点尸在44边上.PQ,1c相交于点0,当PQ,力。互相平分时，求z的值;

（2）如图2,点夕在BC边上，AP,8。相交于点"，当时，求/的值.

图1图2

第一章特殊的平行四边形（A卷•提升卷）

班级姓名学号分数—

考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1.下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等

C.邻边相等D.对角线相等

【解答】解：矩形的特性是：四个角都是直角，对角线相等.平行四边形不具有此性质.

故选：D.

2.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8km,则M、

【解答】解：•••公路AC、BC互相垂直，

AZACB=90°,

•；M为AB的中点，

•••CM=yAB»

乙

VAB=4.8km,

・・・CM=2.4（km）,即M,C两点间的距离为2.4km,

故选：A.

3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形

的是（)

B

A.BD=ABB.OA=OBC.AC1BDD.OD=AC

【解答】解：:四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点0,

，AB=AD,AC_LBD,

・••由”菱形ABCD中，AC_LBD”不能证明菱形ABCD为正方形，

故C不符合题意；

VBD=AB,

ABD=AB=AD,

•••△ABD是等边三角形，

AZBAD=60°,

・•・菱形ABCD不是正方形，

故A不符合题意：

VOA=OC=—AC,OB=OD=—BD,且OA=OB,

22

A—AC=—BD,

22

；・AC=BD,

・•・菱形ABCD是矩形，

・•・菱形ABCD是正方形，

故B符合题意；

VOD=AC=2OA,

AZOAD>45O,

VAB=AD,AC±BD,

/.ZOAB=ZOAD>45°,

.,.ZBAD=2ZOAD>9()0,

・,・菱形ABCD不是正方形，

故D不符合题意，

故选：B.

4.如图，矩形ABCD中，连接AC,延KBC至点E,使BE=AC,连接DE.若NACB=40°.则/E的

度数是（)

A.40°B.50°C.60°D.70°

【解答】解：连接BD交AC于点F,

•••四边形ABCD是矩形，

ABD=AC,

VBE=AC,

・・・BD=BE,

AZE=ZBDE,

VBF=DF=-BD,CF=AF=—AC,

22

・・・BF=CF,

.,.ZDBE=ZACB=40°，

VZBDE+ZE=2ZE=180°-ZDBE=140°,

/.ZE=70°,

5.DC的中点.若EF=4,则菱形ABCD的周长为（）

C

A.8B.16C.24D.32

【解答】解：•・•四边形ABCD是菱形，

AAB=BC=CD=AD,

•・•点E,F分别是AC,DC的中点.

・・.EF=1AD,

2

VEF=4,

AAD=8,

却AB=BC=CD=AD=8,

，菱形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=8+8+8+8=32.

故选：D.

6.在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于卷研的长为半径作弧，两弧交点

分别为E、F、②作直线EF,交对角线AC于点G.③连接DG.若NB=75°,则/AGD度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【解答】解：如图，连接BG,

•・•四边形ABCD是菱形,ZABC=75°,

/.AB=AD,ZDAB=105°,/GAB=NGAD=—DAB,

2

由题意可得：EF垂直平分AB：

・・・AG=GB,

・•・ZGAB=ZGBA=—ZDAB,

2

.\ZAGB=l80o-ZGAB-ZGBA=180°-ZDAB=75°,

VAB=AD,ZGAB=ZGAD,AG=AG,

AAAGB^AAGD(SAS),

/.ZAGB=ZAGD=75°,

故选：D.

Dc

G

AB

支尸

7.平行四边形ABCD中，EF经过两条对角线的交点O,分别交AB,CD于点E,F,在对角线AC上通过

作图得到点M,N如图1,图2,下面关于以点F,M,E,N为顶点的四边形的形状说法正确的是()

。底为半径作弧，交于点M.过点F作

AC于点M,N.FNAAC十点N.

A.都为矩形

B.都为菱形

C.图1为矩形，图2为平行四边形

D.图1为矩形，图2为菱形

【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB〃DC,OA=OC,

.*.ZFCO=ZEAO,ZCFO=ZAEO,

.,.△FCO^AEAO(AAS),

AOE=OF,

由图1作图可得OE=OF=OM=ON,

・•・图I以点F,M,E,N为顶点的四边形为矩形，

由图2中作图可知，EM1AC,FN1AC,

/.ZEMO=ZFNO=90°,

又・・・NEOM=NFON,OE=OF,

/.△OME^AONF(AAS),

，OM=ON,

又・.・OE=OF,

・••图2以点F,M,E,N为顶点的四边形为平行四边形,

故选c.

8.如图，三角尺EFG的顶点F,G分别在矩形ABCD的边AB,AD上，NEFG=90°,ZFEG=30",

若NGMC=75°,则NAFG的度数为（）

A.65°B.75°C.85°D.95°

【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，

AZA=90°,AD/7BC,

VZGMC=75°,

AZAGM=ZGMC=75°,

VZEFG=90°,ZFEG=30°,

AZFGE=60o,

AZAGF=ZAGM-ZFGM=75°-60°=15°,

AZAFG=90°-ZAGF=90°-15°=75°,

故选：B.

9.在U7ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E是近AB上的一个动点（不与A、B重合）连接EO并

延长，交CD于点F,连接AF,CE,下列四个结论中：

甲：对于动点E,四边形AECF始终是平行四边形；

乙：若NABCV90。，则至少存在一个点E,使得四边形AECF是矩形；

丙：若AB>AD,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是菱形；

T：若AB>AD,NBAC=45'，则至少存在一个点E,使得四边形AECF是正方形.

以上所有正确说法的序号是（）

A.甲、丙、丁正确，乙错误

B.甲、乙、丙、丁都正确

C.甲、乙、丙正确，丁错误

D.甲、乙、丙错误，丁正确

（解答］解：如图1,

丁四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点0,

AAB/7DC,AB=DC,0A=0C,0B=0D,

/.Z0AE=Z0CF,

VZAOE=ZCOF,

AAAOE^ACOF（ASA）,

/.AE=Ch,

XVAE/7CF,

・•・四边形AECF为平行四边形：

即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形,

故选项甲正确；

如图2,

E

当CE_LAB时，点E不在边AB上，故选项乙错误.

当EF_LAC时，四边形AECF为菱形，故选项丙正确.

由丙知，若AB>AD,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是菱形,

VZBAC=45°，

/.ZDAC=ZBAC=45°,

AZDAB=90°,

・•・若AB>AD,NBAC=45°,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是正方形，故选项丁正确.

故选：A.

10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，ZABO=60°,若AB=2,则点D的坐

标为（）

Bx

A.(V3,V3)B.(1-*V3,C.(、巧，1W3)D.(1W3,1W3)

【解答】解：如图，过点D作DE_Ly轴于E,

VZABO=60°,ZAOB=90°,AB=2,

AB=1,AO=V3OB=V3»

2

•・•四边形ABCD是正方形，

/.AD=AB,ZDAB=90°=ZDEA=ZAOB,

AZDAE+ZBAO=90°=NBAO+NABO,

AZDAE=ZABO,

/.△DAE^AABO(AAS),

AAE=OB=1,DE=OA=5，

・・・OE=«+1,

・•・点D(«,e+1)，

故选：C.

u

O\Bx

11.如图，在AABC中，AB=AC=13,ZBAC=12(,AD是aABC的中线，AE是/BAD的平分线,

DF〃AB交AE的延长线于点F,则DF的长为（)

A

A.5.5B.6.5C.7.5D.6

【解答】解：:△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，

AAD1BC,ZBAD=ZCAD,

VZBAC=120<>,

AZBAD=60°,ZADB=90°,

•；AE是/BAD的角平分线，

.\ZDAE=ZEAB=30°.

VDF/7AB,

AZF=ZBAE=30°.

・・・NDAF=NF=30°,

・・・AD=DF.

VAB=13,ZB=30°,

AAD=6.5,

DF=6.5.

故选:B.

12.如图，在RtaABC中，ZBAC=90°,AB=5,AC=12,点D是BC上的一个动点，过点D分别作

DM_LAB于点M,DN_LAC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为（)

【解答】解：・・・NBAC=90°,且BA=5,AC=12,

***BC=VBA2+AC2=I3,

VDM1AB,DN1AC,

/.ZDMA=ZDNA=ZBAC=90",

，四边形DMAN是矩形,

AMN=AD,

,当ADJ_BC时，AD的值最小,

此时，Z^ABC的面积=2ABXAC=」BCXAD,

22

AB>AC_60

/.AD=

CB13

/.MN的最小值为里;

13

故选：C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.一个矩形的一条对角线长为20,且两条对角线相交所成的钝角为120°,则这个矩形的面枳为lOOjQ.

【解答】解：如图，矩形ABCD中，ZAOD=120°,AC=20,

则NAOB=60°,

VAC=BD,OA=OC,OB=OD,

AOA=OB=—AC=10,

2

•••△AOB是等边三角形，

AAB=OA=10,

ABC=VAC2-AB2=1°V3.

••S矩形ABCD=BC・AB=

故答案为：IOOJW

14.如图，在△ABC中，NBAC=90°,点D为边AC的中点，点E为线段BD的中点.若AB=3,AE=

2,则边AC的长为，

【解答】解：NBAC=90°,点E为线段BD的中点，AE=2,

，BD=2AE=4,

又AB=3,

•••AD=VBD2-AB2=V7-

•・•点D为边AC的中点，

•••AC=2AD=2忏

故答案为：277.

15.如图菱形ABCD中，ZB=70°,AB的垂直平分线交对角线AC于点E,连接DE,则/ADE的度数

AAD/7BC,ZDAC=ZBAC,

/.ZDAB=180°-70°=110"，ZDAC=ZBAC=55

VAB的垂直平分线交对角线AC于点E,

AEA=EB,

••・NEAB=NEBA=550,

・•・由菱形的轴对称的性质可得：

ZADE=ZABE=55°,

故答案为：55°

16.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD

的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快4s后,四边形ABPQ成为矩形.

【解答】解：设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得

3x=2O-2x.

解得x=4,

故答案为:4.

三、解答题（本大题共9小题，共98分）

17.如图，四边形ABCD是菱形，AE_LCD于点E,AF_LBC于点F.求证：DE=BF.

【解答】证明：•••四边形ABCD是菱形，

/.AB=AD,ZB=ZD,

VAE±CD,AF±BC,

.,.ZAED=ZAFB=90°,

在4ADE和AABF中，

fZAED=ZAFB

ZD=ZB，

IAD=AB

AAADE^AABF(AAS),

ADE=BF.

18.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点D,ZBCD：ZDCA=2：3,E是斜边AB的中

点，求NECD.

Bi

D

J

【解答】解：VZACB=90o,BCD：ZDCA=2：3,

9q

AZBCD=—ZACB=36°，ZDCA=—ZACB=54°，

55

VCD±AB,

AZCDA=90°,

AZEAC=900-ZDCA=36,,

■E是斜边AB的中点，

.,.CE=AE=LB,

2

.*.ZECA=ZEAC=36°,

AZECD=ZDCA-ZECA=18°,

・・・/ECD的度数为18°.

19.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O,AAOB是等边三角形.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

【解答】（1）证明：•・•四边形ABCD是平行四边形,

AOA=OC,OB=OD.

VAAOB是等边三角形，

AOA=OB=OC=OD,

AAC=BD,

，四边形ABCD是矩形.

（2）解：•・•四边形ABCD是矩形,

/.ZABC=90°.

•••△AOB是等边三角形，

AAO=AB=5,则AC=1(),

•**BC=VAC2-AB2=5V3-

20.如图，在矩形ABCD中，点。为对角线BD的中点，过点。作OE_LBD交AD于点E,连接BE,若

AB=6,BC=IO.

(1)求4ABE的周长.

(2)延长EO交BC于点F,连接DF,求BF的长.

【解答】解：(1)•・•四边形ABCD是矩形，

AAD=BC=10,

•••0是BD的中点，

AOB=OD,

又,.・OE_LBD,

AOE垂直平分BD,

，BE=ED,

CZSABE=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD=6+I0=16,

/.△ABE的周长为16；

(2)•・•四边形ABCD是矩形，

・・・AB〃CD,CD=AB=6,ZC=90°,

.*.ZEDO=ZFBO,

在aDOE与△BOF中，

rZED0=ZFB0

OD=OB，

EOD=ZFOB

，AADOE^ABOF(ASA),

・・・DE=BF,

又•:DE//BF,

・•・四边形BEDF为平行四边形：

又•；BE=ED,

・•・四边形BEDF为菱形，

・・.BF=DF,

设BF=DF=x,则FC=10-x,

在RtZXCDF中，CD2+CF2=DF2,

A62+(10-X)2=X2,

解得xT，

5

・・・BF的长为旦鱼.

5

21.如图所示，0是矩形ABCD的对角线的交点，DE〃AC,CE〃BD.

(1)求证：OE±DC.

(2)若NAOD=120°,DE=2,求矩形ABCD的面积.

【解答】(1)证明：

VDE/7AC,CE〃BD,

，DE〃OC,CE/70D,

・•・四边形ODEC是平行四边形，

•・•四边形ABCD是矩形，

AOD=OC=OA=OB,

・•・四边形ODEC是菱形，

Z.OE1DC,

(2)・・・DE=2,且四边形ODEC是菱形

・・・OD=OC=DE=2=OA,

AAC=4

VZAOD=120,AO=DO

AZDAO=30"，且NADC=90"

ACD=2,AD=V3CD=2V3

••S矩形ABCD=2X2^/§=4^/§

22.如图，在长方形ABCD中，BC=3,AB=4,点E为边AB上一动点，连接CE,随着点E的运动aBCE

的面积也发生变化.

(1)求4BCE的面积y与AE的长x(0Vx<4)之间的关系式；

(2)当x=2时，求y的值.

【解答】解：(1)由三角形的面积公式得，

y=_lcD*DE

2

=JLX3X(4-X)

2

=--x+6,

2

答：ADCE的面积y与AE的长x(0<x<4)之间的关系式为y=--|x+6；

(2)当x=2时，y=・3+6=3,

答：当x=2时，y=3.

23.如图，在RtZXABC中，ZC=90°.延长CB至D,使得BD=CB,过点A,D分别作AE〃BD,DE

〃BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话：

小星：由题目的已知条件，若连接小红：由题目的已知条件，若连接

自BE,则可证明BEJ_CD.CE,则可证明CE=DE.

*

(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；

(2)连接CE,交AB于点F,试判断BF与DE有怎样的关系，并证明你的结论.

EA

VAE/7BD,DE〃BA,

・•・四边形ABDE是平行四边形,

・・・AE=BD,

VBD=BC,

，AE=BC,

VAE/7BC,

・•・四边形AEBC是平行四边形,

VZC=90°,

...四边形AERC是矩形，

AZEBC=90°,

ABE1CD：

选小红:连接CE,

VAE/7BD,DE/7BA,

・•・四边形ABDE是平行四边形,

，AE=BD,AB=DE,

VBD=BC,

/.AE=BC,

VAE/7BC,

・•・四边形AEBC是平行四边形，

VZC=90°,

・•・四边形AEBC是矩形，

•••AB=CE,

ADE=CE；

（2）BF〃DE,BF^DE理由如下:

证明：如图，连接BE,CE,

•・•四边形AEBC是矩形，

ACF=EF,

VBD=BC,

・・・BF是ACDE的中位线

・・・BF〃DE,BF】DE-

24.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上一点，射