垂径定理 同步练习-浙教版九年级上册（含答案解析）

3.3垂径定理同步练习浙教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.如图，C、。是以A8为直径的。。上的两个动点（点C、。

不与A、8重合），在运动过程中，弦。。的长度始终保持

不变，M是弦的中点，过点C作CP1AB于点、P.若CD=

3,AB=5,PM=x,则x的最大值是（）

A.3

B.V5

C.2.5

D.2V3

2.如图，A8是OO的一条弦，0。148于点《，交00于点

D,连结。A.若48-4,CD-1,则。。的半径为（）

A.5

B.V5

C.3

3.如图，点A、3是0。上两点，AB=10,点。是0。上的

动点（P与A、B不重合），连结AP.PB,过点O分别作0E1

4P于点石，。/1P8于点凡MFF=（）

A.4

B.5

C.5.5

D.6

4.如图，在平面直角坐标系中，以点（3,a）（a>3）为圆心作半径为3的OP,交直线

y=x于4、B两点，且弦力8=4痘，则〃的值是（）

A.4D.3+V3

5.如图，C是以A5为直径的半圆O上一点，连结AC,BC,AC，比的中点分别是P,

Q,分别以AC、BC为直径作半圆，其中M,N分别是以4C,8c为直径的半圆弧

的中点,)

A.17D.20

6.如图，点。为圆心，点。是优弧ACB的中点，弦力B=8cm,

E为OC上任意一点，动点尸从点A出发，以每秒1cm的速

度沿A8方向向点8匀速运动，若y=4E2—EF2,动点尸

的运动时间为式（0Wx工4）秒，则y与x之间的函数关系式

为（）

A.y=x2—4x

B.y=—x2—4x

C.y=-x2+8x

D.y=x2—8x

7.如图，在圆。中，弦力8=4,点C在48上移动.连接

OC,过点。做CD10C交圆。于点D,则CO的最大值为

()

A.2V2

B.2

C.z

D.李

8.如图，在半径为3的O。中，八8是直径，AC是弦，。

是泥的中点，人。与交于点E.若七是8/）的中点，

则AC的长是（）

A.M

B.3V3

C.3V2

D.4V2

9.如图，。。中，0。148于点。,08=13,AB=24,则

OC的长为（）

A.3

B.4

D

C.5

D.6

10.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（)

A.4.1米D.3.8米

11.A8和。。是。0的两条平行弦，AB=6fCD=8,。。的半径为5,贝ljA8与CQ

间的距离为（）

A.1B.7C.1或7D.3或4

12.如图，。0的直径CD=20,48是O0的弦，ABLCD,垂

足为M,OM,0C=3：5,则48的长为（）

A.8

B.12

C.16

D.2V91

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

18.如图，△ABC内接于O0,AD1BC,OE1BC,OE=

\BC.

⑴求NB4C的度数；

(2)将^ACD沿4c折叠为△ACF,将44BD沿AB折叠

为AABG,延长尸。和GB相交于点斤：求证：四边形

4F”G是正方形；

(3)若90=6,CD=4,求AD的长.

19.高致病性禽流感是比S4RS病毒传染速度更快的传染

病.

(1)某养殖场有8刀只鸡，假设有1只鸡得了禽流感,

如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新坤病

鸡10只，到第3天又将新增病鸡100只，以后每天新

增病鸡数依此类推.请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该

养殖场所有鸡都会做感染？

(2)为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部

扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和

免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理.现有一条毕直的公路人8通过禽流感病区，

如图，0为疫点，在扑杀区内的公路C。长为4千米，问这条公路在该免疫区内有

多少千米？

20.如图所示，有一圆弧形拱桥，拱的跨度=30V3m，

拱形的半径R=30>n,则拱形的弧长为多少？

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了垂径定理，三角形中位线定理等内容，解题关键是根据垂径定理得到是

三角形CN0的中位线.

由4B_LCN,得CP=PN,结合M是弦CO的中点，得PM是三角形CNO的中位线却

可解得.

【解答】

解：如图，延长CP交00于点M连结。M

vAB1CN,/.CP=PN,乂•••M是弦CO的中点，

••・PM=»N,

・•・当。N为直径时，PM的长度最大，即x的值最大，最大值为2.5.

2.【答案】。

【解析】

【分析】

本题考查了垂径定理，勾股定理等内容，掌握垂径定理是解题关键.

设。。的半径为「，则04=r,。。=「一1,根据垂径定理得4?=2,由勾股定理解答

即可.

【解答】

解:设O。的半径为r,则。4=丁，OC=r-l,

VODLAB,AB=4,：.AC=^AB=2,

在ACO中，OA2=AC2+OC2,

r2=224-(r-l)2,

.-5

-r-2-

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的是垂径定理和三角形中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的

关键.

先根据垂径定理得出AE=PE,PF=BF,故可得出Er是A/IPB的中位线，再根据中

位线定理即可得出EF〃/IB,=即可.

【解答】

解：v0E1APTE,OF上PB于F,

：,AE=PE,PF=BF,

二弘是4初8的中位线，

EF//AB,EF=^AB=5；

故选:B.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了坐标与图形的性质、正比例函数图象上点的坐标的特征、勾股定理、垂径定

理以及等腰直角三角形的性质.作PC_Lx轴于C,交AB于D,作于E,连结P8.

先求出力点的坐标为(3.3),由垂径定理得出/E=BE=；48=2四，再由勾股定理求

出PE、PD,即可根据0=。。+。0求解.

【解答】

解：作PClx轴于C,交人8于。，作PE14B于E,连结P8,如图,

•••。2的圆心坐标是(3,。)，

0C=3,PC=a,

把x=3代入y=x,得y=3,

••.D点的坐标为(3,3),

CD=3,4。。。为等腰直角三角形,

易知△也为等腰直角三角形，

•:PE1AB,

AAE=BE=-AB=-x4V2=2VL

22

在RtAPBE中,PB=3,

PE=J32_(2烟2=i，

:.DE=PE=1,

PD=Vl2+l2=&，

•••a=PD+CD=3+V2.

故选股

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了中位线定理、垂径定理的知识，解题的关键是正确作出辅助线.连接OP,OQ,

根据M,N分别是AC、8C为直径作半圆弧的中点，AC，诧的中点分别是P,Q.得到

OP1AC,OQ1BC,从而得到H、/是人C、8c的中点，利用中位线定理得到OH+0/=

“力C4-BC)=13和P/7+Q/=6,从而利用AB=OPOQ=OH+01+PH+Q/求解.

【解答】

解：连结OP,OQ,分别交AC,BC于H,/,

•••M,N分别是以AC,8c为直径的半圆弧的中点，AC，部的中点分别是RQ,

AOP1AC,OQ1BC,H,P,M三点共线，/,Q,N三点共线，

・•.H，/分别是AC,8C的中点，

又•••。为4B的中点，

二。“+。/=+4。)=13,

'：MH+N1=-AC+-BC=13,MP+NQ=7,

22x

:.PH+(?/=13-7=6,

AB=OP+0Q=OH+01+PH+Q/=13+6=19.

故选C

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了函数关系式、勾股定理以及垂径定理等知识.

由垂径定理可得CO工/8,AG=^AB,再根据勾股定理可得函数关系式.

【解答】

解：延长CO交八月于G,•••点C是优弧ACB的中点，

•••CO1AB,AG=-AB=-x8=4cm,

22

•••AEZ=AG2+EG。EFZ=FG2+EG2,

当0WX44时，AF=xcm,FG=(4—x)cm,

y=AE2-EF2=AG2-FG2=16-(4-x)2=8x-x2.

故选C.

7.【答案】B

［解析］解：如图，连接OD,

VCD1OC,(/\；\

.•."CO=90。，(/0］

CD=>/OD2-OC2=3-ON.\/

当0c的值最小时，co的值最大，

CC1A8时,OC最小,此时。、5两点重合,

CD=CB=^AB=2,

2

即C。的最大值为2,

故选：B.

连接OQ，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当。CJLA8时，0c最小，根据

垂径定理计算即可.

本题考杳的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对

的两条弧是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

连接。。，交AC于忆根据垂径定理得出。0JL4C,AF=CF,进而证得。F=根

据三角形中位线定理求得。/心从而求得8C=D尸=2,利用勾股定理即

可求得AC.

本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定

理是解题的关键.

【解答】

解：连接0。，交AC于立

。是俞的中点，

:.0D1AC,AF=CF,

•••Z-DFE=90°,

v0A=OB,AF=CF,

OF=-BC,

2

•••4B是直径，

•••乙ACB=90°,

ZDFE=LACB=90°

在AEFO和△EC8中，\LDEF=/.BEC

DE=BE

EFD^LECB(AAS),

:.DF=BC,

OF=-DF

2t

•••OD=3,

:.OF=1,

BC=2,

在中，AC2=AB2-BC2,

AC=\/AB2-BC2=V62-22=4仿

故选D.

9.【答案】C

【解析】解：-ODLAB,

...AC=BC=\AB=：x24=12,

在RMOBC中，OC=V132-122=5.

故选：C.

先利用垂径定理得到AC=BC=12,然后利用勾股定理计算OC的长.

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

1().【答案】4

【解析】解：•••车宽2.4米，

・•・欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高.

在中，由勾股定理可得：

CD=y/OC2-OD2=y/22-1,22=1.6(7n)，

CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1米，

•••卡车的外形高必须低于4.1米.

故选：A.

根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾

股定理得出C。的长，进而得出C”的长，即可得出答案.

此题主要考查了垂径到了和勾股定理的应用，根据题意得出C。的长是解题关键.

11.【答案】C

【解析】解：①当"、CO在圆心两侧时；

过。作。ElCD交CO于七点，过。作。尸1A8交/1E于〃点，连接。4、OC,如图所

示：

•••半径r=5,弦AB"CD,且力8=6,CD=8,

OA=OC=5,CE=DE=4,AF=FB=3,E、F、O在一条直线上,

••.EF为AB、CO之间的距离

在RtaOEC中，由勾股定理可得：

0E2=OC2-CE2

0E=V52-42=3，

在Rt△。凡4中，由勾股定理可得:

OF2=0A2-AF2

:.OF=V52-32=4，

•••EF=OE+OF=3+4=7,

4B与。的距离为7；

②当A&CO在圆心同侧时；

同①可得：0E=3,OF=4；

则A4与CO的距离为：OF-OE=1；

综上所述：/W与C。间的距离为1或7.

故选：C.

过。作。E1CD交。短于七点，过。作0FJ.A8交于/点，连接04、0C,由题意

可得：。力=。。=5,AF=FB=3,CE=ED=4,E、F、。在一条直线上，EF为

AB、CO之间的距离，再分别解RtZkOEC、Rt>OFA.即可得OE、OF的长,然后分

A3、CO在圆心的同侧和异侧两种情况求得”与CO的距离.

本题考查了垂径定理以及解直角三角形的运用，关键是根据题意画出图形，要注意有两

种情况.

12.【答案】C

【解析】解：连接04,

•••0。的直径CO=20,OM：0C=3：5,

:.0C=10,0M=6,

vAB1CD,

:.AM=\IOA2-OM2=V102-62=8，

AB=2AM=16.

故选：C.

连接。4,先根据O。的直径C。=20,OM：OC=3：5求出OC及OM的长，再根据

勾股定理可求出AM的长，进而得出结论.

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

13.【答案】2

【解析】解：连结OA,•.•半径过弦A8的中点C,00_L4B,AC=BC,

二乙OCA=90°,

•••弦AB的长为8,.・.4C=BC=4,

-AO=5,二由勾股定理得OC=V52-42=3，CD=OD-OC=5-3=2.

14.【答案】132°或48°

【解析】

【分析】

本题主要考查了垂径定理，分类讨论，数形结合是解答此题的关键.

连接OM,ON,利用垂径定理得。M148,ONJ./1C,再分类讨论，当A8,AC在圆心

异侧时（如图1）,利用三边形内角和得结果；当力C在圆心同侧时（如图2）,利用相

似三角形的性质得结果.

【解答】

解：连结。M,ON,

•••M,N分别是4B和AC的中点，

AOM1.AB,ONLAC.

当A8,AC在圆心异侧时，如图1,在四边形AMON中，

•••ZB4C=48°,

:.乙M0N=360°-90°-90°-48°=132°;

B

M

图1

当A6,AC在圆心同侧时,如图2,

•:乙ADM=LODN,^AMD=^LOND,

乙MON=/.BAC=48>.

综上，4MON的度数为132°或48°.

15.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查了垂径定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂直弦的直径平分弦，本题需

要讨论两个极值点，有一定难度.

求出线段C。的最小值，及线段C。的最大值，从而可判断弦CD长的所有可能的整数

值.

【解答】

解：•••点4的坐标为(0,1)，圆的半径为5,

•••点B的坐标为(0,-4),又•.•点。的坐标为(0,-7),二BP=3,

①当CD_L4E时，C。的长度最小，连结BC,

在/?£△8CP中，CP=>jBC2-BP2=4，故CD=2CP=8;

②当C。经过圆心时，C。的长度最大，此时。0=/IE=10,

•••8<CD<10,

・•.CO长的所有可能的整数值有8,9,10,共3个.

16.【答案】V3

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理、垂径定理以及翻折变换（折叠问题）等知识.

连结M。交。。于E,连结CO,根据垂径定理以及翻折变换可得M。工CD、CE=DE、

ME=OE,再由勾股定理求解即可.

【解答】

解：连结MO交CO于E,连结C。，

••・M为半圆弧的中点，

MO1CD,CE=DE,

•••对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，

ME=0E=：0C=：cm,

22

在直角三角形COE中，CE=J17一（J=?cm,

••・折痕的长为

CD2x2—=y/Scm.

故答案为：V3.

17.【答案】解.：设。。的半径为「，则。。=r一2,

•••0C1AB,

AD=BD=\AB=4,

在RtZkAOD中，•••。。2+4。2=。炉,

(r-2)2+42=r2,解得r=5,

即。。的半径为5.

【解析】设。。的半径为，，则。0二f一2,根据垂径定理得到40=8。=4,

然后在R£△4。。中根据勾股定理得到。-2y+42=",再解方程即可.

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查

了勾股定理.

18.【答案】(1)解：连接0B和OC：

0E1BC,

BE=CEx

v0E=2,

."BOC=90°,

•••LBAC=45°：

(2)证明：•.•/1DJL8C,

:.Z.ADB=Z.ADC=90°；

由折叠可知，AG=AF=AD,Z.AGH=^LAFH=90°,

LBAG=Z.BAD,£.CAF=^.CAD,

•••LBAG+LCAF=LBAD+Z.CAD=Z.BAC=45°；

•••LGAF=LBAG+Z.CAF+LBAC=90°；

二四边形AFHG是正方形；

(3)解：由(2)得，^BHC=90°,GH=HF=AD,GB=BD=6,CF=CD=4；

设AQ的长为x,则B，=G〃-GB=x-6,CH=HF-CF=x-4.

在中，BH2+CH2=BC2,

(X-6)2+(X-4)2=102：

解得，=12,x2=-2(不合题意，舍去)：

二AD=12.

【解析】（1）连接OB、0C,由垂径定理知£是8C的中点，而0E=；8C,可判定△80C

是直角一:角形，则乙8。。=90。，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可求得48AC

的度数；

（2）由折叠的性质可得到的条件是：®AG=AD=AF^@Z-GAF=/-GAD+A.DAF=

2^BAC=90°,且乙G=4F=90。；由②可判定四边形4G”/是矩形，联立①的结论可

证得四边形AG，尸是正方形：

（3）设71。=x,由折善的性质可得：/。=4尸=x（即正方形的边长为乃），BG=BD=6,

CF=CD=4：进而可用x表示出8"、HC的长，即可在中，由勾股定理求得

A。的长.

此题主要考查了垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识,

能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键.

19.【答案】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+