二次根式的加法和减法-2024湘教版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

3.3二次根式的加法和减法湘教版（2024）初中数学八年级上册同步

练习

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知％+y=-9,xy=9,则%咨+丫］1值是（）

A.6B.-6C.3D.-3

2.在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12,重叠部

分的面积为3,空白部分的面积为2面-6,则较小的正方形面积为（）

A.11B.10C.9D.8

3.计算（，^+2）2。25（/W一2）2。25的结果是（）

A.2+V3B.V3-2C.-1D.1

4.已知a+b=-5,ab=1,则bJ

+的值为（）.

A.23B.5C.-23D.-5

5.下列计算，正确的是（）

A.=-3B.+=<10

C.3/2-/2=3D，V（-l）x（-l）=l

6.下列计算正确的是（）

A./2+B.yJ~2x\/~3=V-6

C./1+壬等D.718-/2=4

7.如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名

次，三个正方形的面积从左到右依次为3,4,2,将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面

积为（）

A.2/2-2y/1+1B.2/2-2/3+5C.-1D.2<24-2/3-5

8.若△ABC三边长分别为JI,则A/WC的面积为（）

A.2B.4C./5D.2x<5

9.下列计算正确的是（）

A./2+/3=<5B.3/3-/3=3C.7244-76=4D./3x/5=/15

10.甲、乙两人计算a+V1-2a+a?的值,当Q=5的时候得到不同的答案，甲的解答是a+

41—2a+a2=a+J（l—a）?=a+l—a=l；乙的解答是a+\Z1—2a+a?=。+J（0—i）2=。+

a-l=2a-1=9.下列判断正确的是（）

A.甲、乙都对B.甲、乙都错C.甲对，乙错D.甲错，乙对

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

11.一个长方形的长和宽分别为CU和2心，则这个长方形的面积为.

12.若，3的整数部分为工，小数部分为y,则Cx-y的值是.

13.已知ab=则ajf+=-

14.如图，从一个大止方形中裁去面枳为3cmz和加加2的两个小止方形，则阴影部分的面枳为.

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题8分）

数学课上老师提出问题：比较与，而勺大小.

“活跃小组”的思路：将沉+正，两个式子分别平方后，再进行比较；

“创新小组”的思路：以仄,为三边构造一个△力8C,再利用三角形的三边关系比较.

根据上面两个小组的思路，解决下列问题：

（1）根据“活跃小组”的思路，（口+6）2=_____,（/7）2=______,所以，^+门（此空

填：“>"，"v”或“=”）；

的形状是,依据是______.

16.（本小题8分）

定义：形如a+bj拓和的两个实数，叫作共短实数，其中a、b为有理数且匕HO,m为正整数且

开方开不尽.

（1）请你写出一对共规实数：和：

（2）共甄实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数.请计算（1）中你写出的一对共规实数的和与积:

(3)已知％=6+3，5,y=6-求代数式的值.

17.(本小题8分)

斗笆—。―2Jab+b.1

',a-ba-ba+2>/~Gb+b'

18.(本小题8分)

己知："=去'丫=寻还.

(1)化简求值：求无2-3孙+y2的值;

(2)若无的整数部分是m,y的小数部分是n,求m-mr的值.

19.(本小题8分)

计算：

(1)/48-73-J|X/12+724;

(2)%0!+(/3+/2)(73-72).

20.(本小题8分)

海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,设p="卢，则三角形的面积为：S=

yjp(p-a)(p-b)(p-c).

(1)用公式计算如图三角形的面积；

(2)你是否有其它方法求出这个三角形的面积？试试看.

A

5cm

BC

6cm

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：x+y=-9,xy=9,

x<0,y<0,

•••\Tx^=-x,yfy^=-y,

••・原式=-/x7•J1-"•

=->[xy-yfxy

=-2/xy

=-2/9

=-6,

故选：B.

先根据x+y=-9,4/=9可.得％<0,y<0,再根据二次根式的性质可得JF=-”，75^=-y»再利

用二次根式的运算法则进行计算即可.

本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关犍.

2.【答案】B

【解析】略

3.【答案】C

【解析】解：利用积的乘方的逆运算及平方差公式计算可得：(4+2)2025(0-2)2025=[(、行+

2)(/3-2)2025=(3-4)2025=-1,

故选：C.

利用积的乘方的逆运算及平方差公式计算即可求解.

本题考查了二次根式的乘方运算，掌握以上知识点是解题的关锭.

4.【答案】C

【解析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题

的关键.

由a+b=-5,ab=l,判断QVO,bV0,化简原式再代入计算即可得解.

【详解】解：Ta+b=-5,ab=

Aa<0,bV0,

小+小

=--V~ab—y/~ab,

ab

ha

=----二,

ab

a2+b2

二ahf

(u+b)2—2ub

=ab，

(-5)2-2xl

二i-，

=-23.

故选:C.

5.【答案】D

【解析】解：A.=故本选项不符合题意：

及V尾+/2=2/24-/2=3/2,故本选项不符合题意；

C.3/2-/2=2/2,故本选项不符合题意；

D、/(-1)x(—1)=1,故本选项符合题意；

故选：D.

根据二次根式的性质，二次根式的加法法则，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则进行计算，再得

出选项即可.

本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键.

6.【答案】B

【解析】解；小•••2和C不是同类二次根式，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

B、=忑=V7,.•.此选项的计算正确，故此选项符合题意；

C、+c=Jl=层|=竽，.••此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

•，诃一五二3心一，^=2/1,.•.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

故选:B.

A.先判断和口是不是同类二次根式，能否合并，然后判断即可；

4.根据二次根式的乘法法则进行计算，然后判断即可；

C.根据二次根式的除法法则进行计算，并化成最简二次根式，然后判断即可；

D先把二次根式化简，再合并同类二次根式即可.

本题主要考查「二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则.

7.【答案】0

【解析】解:由题意，•.•三个正方形的面积从左到右依次为3,4,2,

.••三个正方形的边长从左到右依次为C，2,/2.

.•.矩形的长为(C+2+JI),宽为2.

.•世影部分的面积，即剪掉的面积=矩形的面积一三个正方形的面积和=2(/3+2+/2)-3-4-2=

273+4+2/2-3-4-2=2V7+2右一5.

故选：D.

依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3,4,2,则三个正方形的边长从左到右依次为C，2,

/2,可得矩形的长为(4+2+斤)，宽为2,进而阴影部分的面积，即剪掉的面积=矩形的面积-三个正

方形的面积和，从而可以列式计算:得解.

本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键.

8.【答案】A

【解析】解：由题意，•••△4BC三边长分别为YL2/2,710,

•••(/2)2+(2/2)2=(/10)2.

••・△48C是直角边为的直角三角形.

的面积=gXy/~2X2\/~2=2.

故选:A.

依据题意，由△A8C三边长分别为心，2/2,/10,可得(，!)？+(2，I)2=(，IU)2,从而可得△ABC是

直角边为心，2心的直角三角形，进而可得△4BC的面积="x，Ix2，I=2,故可得解.

本题主要考查了二次根式的应用、勾股定理的逆定理，解题时要能熟练掌握并能灵活运用勾股定理逆定理

是关键.

9.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次

根式的运算法则.

根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可.

【详解】解:4选项，与互不是同类二次根式，不能合并，故错误；

B诜项，属于同类二次根式相减，BP3/3-/3=2/3,故错误：

C选项，根据二次根式的除法运算法则，724-/6==/4=2,故错误；

D选项，根据二次根式的乘法运算法则，/3X/5=73V5=/15,故正确.

故选：D.

10.【答案】D

【解析】【分析】

此题主要考查了二次根式的化简求值，根据，滔二|a|的性质正确化简二次根式是解题关键.根据，形二

|。|的性质，确定1一a的符号，进而化简得出即可.

【解答】

解：•••a=5,1—QV0,

•••a+V1-2a+a2

=a+7(1-a)2

=G4-a—1

=2a—1

=2x5-1

=9.

故甲的化简错误，乙化简正确.

故选D.

11.【答案】4/5

【解析】解:•••长方形的长和宽分别为，诃和2心

.•.这个长方形的面积为：/10X2/2=2/20=4/5

故答案为：4/5

长方形的面积计算公式为长乘以宽，所以将9和2度相乘，按照二次根式乘法的运算法则计算，并化简

成最简单二次根式即可.

本题考查了二次根式在长方形面积II算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是

解题的关键.

12.【答案】1

【解析】略

13.【答案】3或一3

【解析】先进行二次根式化简，在代入求值即可；

【详解】解：当a,匕是正数时,

Id,,fa'Tab,,\Tab

li+bj广0.丁+人工，

=2Vah,

当a,b为负数时，

aj+b舟a.T+b.噌

=-2y/-ab,

.9

•.岫=对

.,.原式=26=2x|=3或-2M=-2x|=-3.

故答案为：3或一3.

14.【答案】6/3cm2

【解析】本题考查了正方形面积与边长的关系，二次根式的计算和面积的和差关系，先根据正方形面积公

式求出两个小止方形的边长，进血得到大止方形的边长，再根据止方形面枳公式求出大止方形的面枳，最

后用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面枳.

【详解】解：•••大正方形的边长为C+6=3+/3(cm),

大正方形的面积为(3+/3)2=12+6c(cm2),

••・阴影部分的面积为12+6/3-3-9=6/3(cm2).

15.【答案】7+2，而7>直角三角形勾股定理的逆定理

【解析】解：(l)(，^+O=2+5+2，TS=7+2CS,(0=7；

•••V2+V~5>V-7；

故答案为：7+2NTT0,7,>；

(2)v(/2)z=2,(门产=5,(<7)2=7,

(◎+(/5)2=(O，

••.△4BC为直角三角形；依据是：勾股定理的逆定理.

(1)根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，求出(血+近)2,(，7)2的值，再比较大小即可；

(2)根据勾股定理的逆定理进行判断即可.

本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算

法则.

16.【答案】【小题1】

3+275

3-20(答案不唯一)

【小题2】

解：3+2店+3-26=6,

(3+2灼x(3-2/5)=9-20=-11.

【小题3】

解：,•,％=6+3y/~3,y=6-3y/~3,

.*.%+y=6+3V-3+6—3\T3=12,

xy=(6+3⑸(6-3/3)=36-27=9,

,,原式=jv

【解析】1.

本题考查了新定义，二次根式的加法和乘法运算，二次根式的化简求值，理解新定义是解题的关键.

根据共挽实数的定义解答即可.

【详解】解：写出的一对共枕实数可以是3+2后和3-2，石.

故答案为：3+2/5,3-2/5.

2.

根据二次根式的加法和乘法运算法则计算即可.

3.

求出x+y和的值，再代入代数式计算即可.

17.【答案】

【解析】解：原式=•(V~a+。产

(x|ra+vGb)(/a-VT)

=—\Tb.

将分子分母因式分解后，约分即可.

本题考查分式的运算，二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键.

18.【答案】【小题1】

==2>

解：叮=刁=(02)(02)3+2,y=7g72(/5-2)GA5+2)^-

x-y=xT5+2-/5+2=4,xy=(75+2)(/5-2)=5-4=1,

•••x2-3xy+y2=(x-y)2-xy=42-1=15；

【小题2】

vV-4<V~5<V~9,

2<V5<3,

4<4-2<5,0<x<5-2<1,即：4<x<5,0<y<1,

:.m=4,n=\/~5—2»

•••m—nx=4—(x/-5+2)(V-5-2)=4—1=3.

【解析】1.

先进行分母有理化，再将-3%?+y2转化为代值计算即可；

2.

先进行无理数的估算，确定m,九的值，再代入代数式进行求解即可.

19.【答案】解：(1)