高考数学二轮复习专练：导数的概念及运算（含答案）

2025版新教材高考数学第二轮复习

专题三导数及其应用

3.1导数的概念及运算

五年高考

高考新风向

1.（2024全国甲理,6,5分，易）设函数二中詈，则曲线产次T）在点（0,1）处的切线与两坐标

轴所围成的三角形的面积为（）

A.iB.iC.-D.-

6323

2.（2024新课标/,13,5分，中）若曲线产e'+x在点（0,1）处的切线也是曲线产1心+1）+〃的切

线，则。=.

考点导数的运算及几何意义

1.（2020课标/理,6,5分，易）函数府）=/2尸的图象在点（1,川））处的切线方程为（）

A.y=2xB.y二B.y2x+1

C.y=2xD.y=D.}=2A+l

2.（2023全国甲文,8,5分，易）曲线广三在点（L：）处的切线方程为（）

A.y=x|B.y=xB=|

C.y=x-+^D.y=xD=-+—

,44，Z4

3.（2021新高考/,7,5分，中）若过点（。力）可以作曲线的两条切线，则（）

A.cb<f/B.caB.ca<b

C.0<a<cbD.0<Z?<e"

4.（2021全国甲理』3,5分，易）曲线尸写在点（1,3）处的切线方程为.

5.（2020课标唳,15,5分，易）设函数抬尸治.若尸⑴=：,则斫.

6.（2022新高考/,15,5分，中）若曲线）=（x+〃）©有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围

是.

7.（2022新高考77,14,5分，中）曲线）=1中|过坐标原点的两条切线的方程

为..

8.（2021新高考〃,16,5分，难）已知函数於尸|刃|,"<0,9>0,函数段）的图象在点A（xi,火为））

和点B3,於2））处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则需的取值范围

是

9.（2022全国甲文,2012分，中）已知函数於）=/乂冢刈=*।a,曲线产/⑶在点（KI,於i））处的切

线也是曲线产g（x）的切线.

（1）若加=1,求67；

⑵求Q的取值范围.

10.（2020北京,19,15分，中）已知函数段）=12式

⑴求曲线产/⑴的斜率等于2的切线方程；

（2）设曲线）可处在点亿/（f））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S⑺，求S⑺的最小值.

11.(2020新高考I,21,12分，中)已知函数段)=相叫nx+lna

⑴当a=e时，求曲线产/W在点(1JU))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

⑵若人x)Nl,求a的取值范围.

三年模拟

练速度

1.(2024福建厦门一模,3)已知直线/与曲线在原点处相切，则/的倾斜角为()

A.-B.-C.—D—

6446

2.(2024湖北八市联考,6)已知函数儿0为偶函数，其图象在点(1,41))处的切线方程为

x2y+1=0，记火幻的导函数为"(x),则f(i)=()

AiB,C.2D,2

3.(2024广东茂名一模,4)加线儿i)=e'+ax在点(0,1)处的切线与直线产2x平行，则()

6.（2024河北石家庄模拟,15）已知函数«¥）=ca，cx）在人=0处的切线为x轴.

（1）求a,b的值；

⑵求凡Y）的单调区间.

7.（2024湖北武汉四调,16）已知函数«x）=lnxcuc+x2.

⑴若斫1,求曲线＞=/5）在点（1,川））处的切线方程;

（2）讨论式幻的单调性.

8.（2024河南新乡三模,15）已知函数J[x）=x\n

（1）求«¥）的极值;

（2）若过点（〃⑼可以作两条直线与曲线尸孔¥）相切，证明:*alna.

练风向

1.（新定义理解）（多选）（2024山东济南一中等校联考,10）假设直线L与曲线M相切,若切点

唯一，则称直线L与曲线M单切;若切点有两个，则称直线L与曲线M双切;若L还与曲线

M相交，则称直线L与曲线M交切.已知函数火幻=内3.扎则（）

A.直线产2与曲线尸/㈤双切

B.直线）=44+1与曲线），=危）单切

C.直线）=2与曲线y=*c）交切

D.存在唯一的直线,与曲线广式幻单切且交切

2.（创新考法）（2024山东淄博一模』3）已知定义在R上的函数/5）,/。）为人处的导函数，

2024

f。）定义域也是R,於）满足7U+1012）/0013x）=4x+l,则2i=if\i）=.

专题三导数及其应用

3.1导数的概念及运算

五年高考

高考新风向

x

1.（2024全国甲理,6,5分，易）设函数次x）二：e+2sinx，则曲线），=/5）在点（0,1）处的切线与两坐标

1+X2

轴所围成的三角形的面积为A)

2.（2024新课标/,13,5分，中）若曲线产e'+x在点（0,1）处的切线也是曲线y=ln（x+l）+a的切

线，则a=In2

考点导数的运算及几何意义

1.（2020课标/理,6,5分,易）函数小）=/2户的图象在点（1,川））处的切线方程为（B）

\.y=2x\B.y=2x+l

C.y=2x3D.y=2x+\

2.（2023全国甲文,8,5分，易）曲线广三在点（1，0处的切线方程为（C）

A.y=^YB.y=1x

-ee八e3e

C.号+zD..v=/+z

3.（2021新高考/,7,5分，中）若过点（。力）可以作曲线的两条切线，则（D）

A.e”<。B.e"vb

C.0<a<cbD.0<Z?<e"

4.（2021全国甲理』3,5分.易）曲线尸会在点（1.3）处的切线方程为y=5x+2.

414

5.（2020课标0文15,5分，易）设函数尸三.若尸⑴=：,则a=1.

6.（2022新高考/,15,5分，中）若曲线）=（x+〃）©有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围

是（8,4）U（0、+8）.

7.（2022新高考〃,14,5分,中泄线产Inld过坐标原点的两条切线的方程为产L.

e

V=I（不分先后）.

8.（2021新高考〃,16,5分，难）已知函数/U）=|e”|,xi<0阳>0,函数#处的图象在点A（xi,/xi））

和点8（X2,兀⑵）处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则黑的取值范围是

(0,1)

9.(2022全国甲文,20,12分，中)已知函数人灯三户》以外二不”。,曲线尸式幻在点(孙人工。)处的切

线也是曲线y=g(x)的切线.

(1)若用=1,求a\

(2)求a的取值范围.

解析解法一:由题意可知/'(x)=3f1,1)二%"|,则曲线产/(x)在点(xi,,/Ui))处的切线方程

为y(%江1)=(3后1)(*1),即)=(3*1)x2%i，

因为曲线产式r)在点(八段。)处的切线也是曲线产g(x)的切线，所以《二盥-1"-2珞

有且仅有一组解，

即方程『(3*1以+2君+〃=0有两个相等的实数根，

从而/二(3*1户4(2町+〃)=0W=9短8以60+1.

(1)若xi=1,则4a=12<=»=3.

(2)40=9%18xf6%i+1,

令/?(x)=9d8.F6*+l,

则力Q)=36F24/12A-=12x(x1)(3尤+1),

令〃。)>0,得［<x<0或Ql,

令〃。)<0,得1或0<r<l,

3

所以〃⑴在(一jo)和(1,+8)上单调递增，在(一8,-3和(0,1)上单调递减，

又又)=4/(-：)嚼所以松巨4

所以a>l.

解法二:由题意可知f,(v)=3.rl,J(x\)=x^x\，则曲线y=J(x)在点(x\,人M))处的切线方程为

y(%i.ri)=(3%il>(xxi),即)=(3好1)工2行①，

设公切线与曲线产g(x)的切点为⑴,堤十㈤，

又g'(X2)=2x2,

则切线可表示为y(x^+a)=2x2(xx2)9

即y=2t以据+。②，

因为①②表示同一直线方程，所以；1=

1—2%；=—%2+Q,

则(3*1户8君=4au4a=9垃8好6好+1.

下面同解法一.

易错警示

不能认为两曲线的公切线切点相同.

10.(2020北京,19,15分，中)已知函数危尸12?.

(1)求曲线)，=/□)的斜率等于2的切线方程；

⑵设曲线)=/1)在点("(/))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(/),求S")的最小值.

解析(1)因为/)=12?,所以尸(幻=2%,

令2尸2,解得尸1,

又41)=11,所以所求切线方程为贝1=2(公)，

整理得2x+yl3=0.

(2)由⑴可知/Q)=2x,所以曲线)，=/5)在点Q,八。)处的切线斜率42，,又八。二12凡所以切线

方程为)，(⑵2)=2心7),整理得2/工+)，(户+12)=0,当户0时产尸+12,所以切线与y轴的交点为

(0/+12),

当)=0时，尸等，所以切线与X轴的交点为(等,0).

①当>0时,S«)W誓.(尸+12尸5箸，

则S，⑺正吟2

当0<r<2时S⑺<(),此时S⑺在(0,2)上单调递减；

当/>2时,S")>0,此时S⑺在(2,+8)上单调递增，

所以S«)min=S(2)=32.

②当r<0时,S⑺=笥鲁，则SQ)=3«U；；2+i2),

当/<2时S(/)<0,此时5(。在(8,2)上单调递减；

当2</<0时S")〉o,此时5(。在(2,0)上单调递增,

所以SSmin=S(2)=32.

综上所述，当t=±2时,S⑺取最小值，为32.

名师点拨

本题主要考查导数在研究函数中的应用和导数的概念及几何意义.本题第⑵问先求

出切线与x轴和)，轴的交点,再求出三角形的面积表达式，分/>0和/<0两种情况，也可以只

研究/>0时5⑺的最小值，由上面解析知当1=2时,5(。取最小值,S(f)min=S(2)=32,利用

f(x)=I2A2是偶函数，图象关于y轴对称，得出t<0时,S(f)min=S(2)=32.

11.(2020新高考I,21,12分，中)已知函数四nx+lna.

⑴当好c时，求曲线产/⑺在点(i网))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

⑵若凡gl,求a的取值范围.

解析於)的定义域为(0,+8)J

⑴当左e时,人幻二印门+1,八1)飞1,曲线)守3在点(1川))处的切线方程为堆+1)=©)。1),

即y=(el)x+2.

直线)=(el)x+2在x轴j轴上的截距分别为三2

VJL

因此所求三角形的面积为三1易错:容易忽略三角形的面积应大于。而把结果写成三.

(2)解法一:当()<〃<1时,J(l)=a+ln〃<1.

当a-1时,Xx)=ev,lnf,(x)=etl^.当x&(0,1)时/Q)<();当x£(1,+8)时，JQ)>().所以当x=1

时,心)取得最小值，最小值为川)=1,从而/5)“

当〃>1时,J(x)=aexi}nx+lna>exl\nx>\.

综上,〃的取值范围是[1,+8).

解法二:由火X巨1,可得。eTnx+lna>\,

即e'T+in'nx+lna>\9

InalnA

g|jex-i++jna+xiN]nx+.r=e+lnx.

令g⑺=d+f,则g⑺*+l>0,

.・・g⑺在R上单调递增.

・.・g(lna+xl)>^(lnx),

.*.lnt?+xl>lnx,

即Intz>lnxx+\.

令/?(x)=lnxr+1,AA'(x尸?干，

当(KY<I时力")>(),函数〃㈤单调递增，

当QI时”(犬)<0,函数〃(x)单调递减，

.'.Ina>0,.'.a>],

故。的取值范围为[1,+8).

思路导引

⑴根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；

⑵解法一:对a进行分类讨论，看哪种情况下可使

解法二:小等式等价于eXT+ma+]n^+xl>lnx+x=elnx+lnx,令g(f)=e，+，,根据函数单调性可得

InaNlnxt+l,再构造函数力(工)=lnxt+1,利用导数求出函数的最值，即可求出a的取值范围.

三年模拟

练速度

1.（2024福建厦门一模,3）已知直线/与曲线产口在原点处相切，则/的倾斜角为（C）

A.-B.-C.—D.—

6446

2.（2024湖北八市联考,6）已知函数人划为偶函数，其图象在点（1,7（D）处的切线方程为

x2y+1=0,id段）的导函数为/则/（1）=（A）

A.iB.iC.2D.2

22

3.（2024广东茂名一模,4）曲线段）二厘+”在点（0,1）处的切线与直线y=2x平行，则a-

（C）

A.2B.lC.lD.2

4.（2024山东名校考试联盟我考,6）若曲线火幻=已'在x=l处的切线与曲线g（x）=Inx+a也相

切，则（D）

A.iB.lC.-D.2

22

5.（2024湖南衡阳一模,7）若函数yU）=r+4与g。）722x图象的交点为A,则曲线在点A

处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（B）

A.4B.6C.-D.-

33

6.（2024辽宁葫芦岛学业质量监测⑻己知直线尸axl与曲线产竽相切，则。的值为

（A）

A.1B.-C.上四D.2e2

e4

7.（多选）（2024河北质量监测,10）过点A（l,2）与曲线危尸小+x相切的直线为（CD）

A.2v+y4=0B.3xyl=0

CAxy2=0D.7"y+l=0

练思维

1.（2024湖南长沙适应性考试,7）已知直线尸?与函数心）二匕四）=Inx的图象分别相交于

A,B两点.设ki为曲线产上）在点A处切线的斜率尼为曲线产g（x）在点B处切线的斜率,

则左色的最大值为（A）

A.-B.lC.eD.ee

e

2.（2024河北唐山期末,7）已知函数於）=$in（0,2）的图象与百•线产心1）有3个交点，则

实数。的取值范围为（D）

A.(8,0)B.(1,O)

C.(8,兀)D.E,O)

3.(2024福建部分地市质量检测,7)若直线y=ax+b与曲线产ev相切，则a+b的取值范围为

(A)

A.(oo,e]B.[2,e]

C.[e,+oo)D.[2,十8)

4.(2024湘豫名校联考一模15)己知曲线)=e'1与llll线y=/5)关于直线孙二0对称，则与两曲

线均相切的直线的方程为x尸0.

5.(2024山东日照联考)已知函数«r)r+sinx的图象上存在三个不同的点A,8,C,使得曲线

v=Ax)在ABC三点处的切线重合.则此切线的方程为yr+1(或y=xl).(写出符合要

求的一条切线即可)

6.(2024河北石家庄模拟,15)已知函数公尸状e功在尸0处的切线为五轴.

(1)求a,b的值；

(2)求的单调区间.

解析⑴因为府)二。唯心所以/。尸i'e,

依题意40)=0且/'(0)=0,

所咪;==°。解得心：

⑵由(1)可得ZU尸eqexl,定义域为R,

又fr(-v)=eex+Ie=e(ecvl),

令且。)可'。)=©吁%，则^，U)=ecx+2>0,

所以以处在定义域R上单调递增，即/«)在R上单调递增.又广(0)=0,所以当欢0时

当Q0时/'(外>0,

所以於)的单调递减区间为3,0),单调递增区间为(0,+8).

7.(2024湖北武汉四调,16)已知函数./U)=Inxax+x2.

⑴若折1,求曲线产信)在点(1,川))处的切线方程；

(2)讨论兀E)的单调性.

解析(I)a=1时,/(x)=lnX+X+JT2,/'(尤)=91+21，

则/(1)=4,川)=2,

所以所求切线方程为尸4。1)+2,整理得)=4x2.

C、1zx2-ax+l

(2)f(x)=-a+2x=---,

因为x＞0,所以a＜0时,/。）＞0,於）在（0,-18）上单调递增，

当a＞0时，对于y=2.rcix+1,Z=«28,

若0字把22，则在0,此时也危）在（0,+oo）上单调递增,

若〃＞2企,令2Aa+l=0,得l。±'：-8〉0,04＜丁、：-8时,/甘）＞“外幻单调递增;

心s尹时ja）＞o,./u）单调递增;

a-y/a2-8a+Va2-Q

-------<t<时,/。）＜0,兀¥）单调递减.

4-------4

综上所述，区2鱼时，段）在（0,+8）上单调递增；

心2或时加在（0,竺苧三）,（空尹,+8）上单调递增，在（土苧三,竺等）上单调递减.

8.（2024河南新乡三模,15）已知函数fix）=x\nx.

（1）求於）的极值;

⑵若过点30可以作两条直线与曲线）=/5）相切,证明为vzlna.

解析（1）因为y（x）=xlnx,所以八x）=lnx+1.（1分）

令"（无）=0,得x=3当xe（0*）时JQ）＜O,/U）单调递减，当+8）时JQ）＞O,/U）单调递

增，（3分）

故当0时，段）取得极小值，且极小值为店后,无极大值.