【 数学】利用二元一次方程解决实际问题课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.3.4利用二元一次方程组解决实际问题

学习目标1.寻找实际问题中的等量关系。2.利用二元一次方程组解决鸡兔同笼类，增收节支，行程问题，体会二元一次方程组在实际问题中的作用。

类型一：鸡兔同笼类问题

学校组织了一次数学知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各多少元？1.审题，圈画关键信息2.根据题意，列出等量关系①2×

+1×

=280元②3×

+2×

=480元3.设未知数，列方程解：设1副乒乓球拍x元，1副羽毛球拍y元，由题意得：乒乓球拍的单价羽毛球拍的单价乒乓球拍的单价羽毛球拍的单价

答：一副乒乓球拍80元，一副羽毛球拍120元.

5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？练一练解:设每头牛值“金”x两,每头羊值“金”y两,由题意得：5x+2y=102x+5y=8解得

类型二：增收节支问题

某工厂去年的利润(总产值-总支出)为

200万元，今年总产值比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元?总产值/万元总支出/万元利润/万元去年今年1.审题，圈画关键量2.找等量关系①去年的总产值

-

=

200

万元

②

-

今年的总支出=780万元3.根据等量关系，设未知数，填写下列各表，列出方程xy200(1+20﹪)x(1-

10﹪)y780解：设去年的总产值为

x万元，总支出为

y万元去年的总支出今年的总产值1.今年的总产值=去年的总产值×（1+20％）2.今年的总支出=去年的总支出×（1-10％）解：设去年的总产值为

x万元，总支出为

y万元，则有x

-

y=200(1

+

20﹪)x

-

(1

-

10﹪)y=780因此，去年的总产值是2000万元，总支出是1800万元.解得x=2000y=1800练一练甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%.求甲、乙两种商品原来的单价.1.审题，圈画关键量2.找等量关系①甲原来的单价

+

=100

元②

+乙现在的单价=

元

3.根据等量关系，设未知数，填写下列各表，列出方程解：设甲原来的单价为x元，乙原来的单价为y元

甲乙单价和/元原来的单价/元

现在的单价/元

乙原来的单价甲现在的单价100×（1-5％）1.甲现在的单价=甲原来的单价×（1-15％）2.乙现在的单价=乙原来的单价×（1+10％）xy100(1+10％）y(1-15％）x100×(1-5％）解：设甲商品原来的单价为

x元，乙商品原来的单价为

y元.根据题意，得答：甲、乙商品原来的单价分别为60

元，40

元.x＋y＝100，(1－15%)x＋(1＋10%)y＝100×(1－5%).解得

x＝60，y＝40.

类型三：行程问题

火车以40m/s

的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s,其中火车全身都在隧道里的时间是20s,求隧道和火车的长度.1.画出线段图梳理本道题的关键信息用时30s隧道用时20s隧

道2.根据线段图列出等量关系①隧道的长度+

=40×30②

-火车的长度=40×203.设未知数，列方程解

：设隧道的长度为x

m,火车的长度为y

m;根据题意得：答：隧道和火车的长度分别是1000m和200m.火车的长度隧道的长度

小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达景区，共用了1.5h;

返回时，他先以12

km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min,求从出发点到景区的路程。练一练1.出发点到景区的路程如何计算？平路的路程+上（下）坡路的路程

巩固训练1.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）

A．

B． C．

D．D2.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（）B.A.CC.D.巩固训练

3.小颖家离学校4800m，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了30min

.已知小颖在上坡时的平均速度是6km/h，下坡时的平均速度是12km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（）A．1.2km，3.6km；B．1.8km，3km；C．1.6km，3.2km．D．3.2km，1.6km．A巩固训练4.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为_____________．

x+y=106x+8y=685.某公司购买甲、乙两种货物，设甲、乙两种货物的进货价分别为x元和y元．若已知两种货物的进货价共30000元，则可列方程______________；若共获利3150元，已知甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，则可列方程__________________，由此可得方程组__________________．x＋y＝3000010%x＋11%y＝3150x+y=3000010%x+11%y=3150巩固训练6．古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：隔壁听到人分银，不知人数不知银．只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？巩固训练解：人数为x人，银为y两．则有方程：①－②得：－x+11=0，解得x=11，y=61．所以人有11人，银有61两．巩固训练7.小明家种植水果，去年收支相抵后，结余1200元；今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加5%，支出比去年减少15%，今年比去年多结余1140元．如果设小明家去年收入x元，支出为y元。巩固训练项目收入（元）支出（元）结余去年

1200今年

（1）将有关的数据填写下表：

2340xy（1+5%）x（1-15%）y（2）根据表格列方程组巩固训练

解：设的甲速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，8.A,B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？答：甲速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时.4(x+y)=3636-6x=2(36-6y)根据题意得：x=4y=5解得：巩固训练课堂小结1.如何去找等量关系？例如：利润=支出-收入；路程=速度×时间。2.运用二元一次方程组解决问题的一般步骤有