北京大学2025年数学与应用数学专业基础学科选拔考试试题库

北京大学2025年数学与应用数学专业基础学科选拔考试试题库考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.请将答案写在答题纸上，写在试卷上无效。2.答案必须写清步骤，仅写结果不能得分。3.假设题目中的函数均在其定义域内有意义。一、设函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x}&x\neq0\\a&x=0\end{cases}$，其中$a$为常数。(1)若$f(x)$在$x=0$处连续，求$a$的值。(2)若$f(x)$在$x=0$处可导，求$f'(0)$的值。(3)讨论函数$f(x)$在$x=0$处的连续性和可导性之间的关系。二、设函数$f(x)=x^3-3x^2+2$。(1)求函数$f(x)$的单调区间和极值点。(2)求函数$f(x)$在区间$[-2,3]$上的最大值和最小值。(3)讨论曲线$y=f(x)$的凹凸性和拐点。三、计算下列极限：(1)$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sinx}{x}$(2)$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}$(3)$\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}$四、计算下列定积分：(1)$\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$(2)$\int_1^2\frac{\lnx}{x}\,dx$(3)$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3x\cosx\,dx$五、计算下列二重积分：(1)$\iint_Dx^2y\,dA$，其中$D$是由抛物线$y=x^2$和直线$y=x$所围成的区域。(2)$\iint_De^{x^2+y^2}\,dA$，其中$D$是圆域$x^2+y^2\leq1$。六、(1)求解线性方程组$\begin{cases}x+2y+z=1\\2x+3y+z=2\\x+y+2z=1\end{cases}$(2)设向量组$\vec{\alpha}_1=(1,0,1)^T$，$\vec{\alpha}_2=(0,1,1)^T$，$\vec{\alpha}_3=(1,1,0)^T$，判断该向量组是否线性相关。七、(1)求矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩阵。(2)求矩阵$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}$的特征值和特征向量。八、(1)求解微分方程$y'+y=e^x$。(2)求解微分方程$y''-2y'+y=x$。九、设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$。(1)证明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。(2)举例说明，即使$f'(x)\neq0$在$(a,b)$内的任意子区间上也成立，结论(1)仍然成立。十、设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$。(1)证明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})$。(2)举例说明，即使$f(x)$是单调函数，结论(1)也可能成立。试卷答案一、(1)$a=1$。解析：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1=f(0)=a$。(2)$f'(0)=1$。解析：$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sinx}{x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{2x}=0$。(3)函数$f(x)$在$x=0$处连续是可导的必要条件，但非充分条件。解析：由(1)知，$f(x)$在$x=0$处连续，但由(2)知，$f(x)$在$x=0$处可导。反之，若$f(x)$在$x=0$处可导，则必连续。二、(1)单调增区间为$(-\infty,1)$，单调减区间为$(1,2)$，极小值点为$x=1$，无极大值点。解析：$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$，列表判断单调性。(2)最大值为$f(-2)=8$，最小值为$f(1)=0$。解析：比较$f(-2),f(1),f(3)$的值。(3)凹区间为$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，凸区间为$(0,2)$，拐点为$(0,2)$和$(2,0)$。解析：$f''(x)=6x-6$，令$f''(x)=0$得$x=1$，列表判断凹凸性。三、(1)$1$。解析：利用$\sinA-\sinB=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$。(2)$e^2$。解析：$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x^2-1}\right)^{x^2}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x^2-1}\right)^{\frac{x^2-1}{2}\cdot\frac{2x^2}{x^2-1}}=e^2$。(3)$\frac{1}{3}$。解析：利用求和公式$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。四、(1)$\sqrt{2}-1$。解析：令$u=\sqrt{1+x^2}$，则$du=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$。(2)$1$。解析：令$u=\lnx$，则$du=\frac{1}{x}dx$。(3)$\frac{1}{4}$。解析：令$u=\sin^3x$，则$du=3\sin^2x\cosxdx$。五、(1)$\frac{1}{12}$。解析：积分区域$D$可表示为$\{(x,y)|0\leqx\leq1,x^2\leqy\leqx\}$，则$\iint_Dx^2y\,dA=\int_0^1\int_{x^2}^xx^2y\,dy\,dx$。(2)$\frac{\pi}{2}(e-1)$。解析：利用极坐标，令$x=r\cos\theta$,$y=r\sin\theta$，则$dA=r\,dr\,d\theta$，积分区域$D$为$0\leqr\leq1$,$0\leq\theta\leq2\pi$。六、(1)$\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$。解析：对增广矩阵进行行变换化为行阶梯形矩阵。(2)线性无关。解析：计算向量组的秩，或设线性组合为0，求解系数唯一为零。七、(1)$A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。解析：利用公式$A^{-1}=\frac{1}{\detA}\text{adj}(A)$。(2)特征值为$1,1,1$，特征向量为$k_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$（$k_1,k_2$不全为0）。解析：解方程$(\lambdaI-B)x=0$。八、(1)$y=Ce^x+x-1$。解析：这是一阶线性非齐次微分方程，利用公式法或常数变易法求解。(2)$y=(C_1+C_2x)e^x+x^2+2x$。解析：对应齐次方程的特征方程为$\lambda^2-2\lambda+1=0$，有重根，设特解为$y^*=Ax^2+Bx+C$。九、(1)证明：由罗尔定理得。解析：$f(x)$满足罗尔定理的条件。(2)例子：$f(x)=\sinx$在$[0,2\pi]$上，$f(0)=f(2\pi)=0$，$f'(x)=\cosx\neq0$在$(0,2\pi)$内的任意子区间上，但存在$\xi=\pi\in(0,2\pi)$，使得$f'(\pi)=0$。解析：直接验证该函数满足条件且存在$\xi$使$f'(\xi)=0$。十、(1)证明：令$g(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})$，则$g(0)=f(0)-f(\frac{1}{2})$，$g(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-f(1)=f(\frac{1}{2})-f(0)$。由$f(0)=f(1)$知$g(0)=-g(\frac{1}{2})$。由介值定理，存在$\xi\in(0,\frac{1}{2})\subset(0,1)$，使得$g(\xi)=0$，即$f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})$。(2)例子：$f(x)=x$在$[0,1]$上，$f(0)=f(1)=