第二章 圆锥曲线（高效培优单元测试-提升卷）数学北师大版2019选择性必修第一册（原卷版）

2/6第二章圆锥曲线（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列关于抛物线的图象描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为2．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．3．与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（）A．椭圆上 B．双曲线的一支上C．抛物线上 D．圆上4．跃鲤桥，为单孔石拱桥，该石拱桥内侧曲线呈抛物线型，如图．当水面宽度为24米时，该石拱桥的拱顶离水面的高度为12米，若以该石拱桥的拱顶为坐标原点，桥面为轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为轴正方向建立直角坐标系，则该抛物线的焦点坐标是（

）

A． B． C． D．5．若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．6．已知椭圆的右顶点和上顶点为为椭圆上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（）A． B．C． D．8．如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（

）A．当时，直线与双曲线只有一个公共点B．直线与双曲线只有一个公共点时，或C．当或时，直线与双曲线没有公共点D．当时，直线与双曲线有两个公共点10设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（

）A． B．C．以为直径的圆与相切 D．的面积为11．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆:中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为.已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为（

）A．点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为B．若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为C．若上任意一点都满足，则D．若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是．13．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为，的最大值为．14．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知抛物线的焦点是椭圆的顶点，且两曲线的交点到轴的距离为1.(1)求抛物线和椭圆的方程；(2)过抛物线焦点的直线与椭圆交于点、，为坐标原点，求三角形的面积的最大值.16．(15分)已知双曲线的离心率为，点在上．(1)求的方程；(2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点．17．（15分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为弦的中点时，求直线的方程；(3)求的最小值．18．（17分）已知和为双曲线上的两点．(1)求C的方程．(2)过点的直线l与双曲线C交于D，E两点（D，E不在x轴上）．（ⅰ）若D，E均在C的右支上，且，求l的方程；（ⅱ）直线AD和AE分别与直线交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值．19.（17分）已知，、分别为左、右焦点．对有，．(1)求的方