拓展专题08 解析几何中的四大非常规题型-阿氏圆、蒙日圆、阿基米德三角形、光学性质4大考向24题（高效培优期中专项训练）（原卷版）高二数学上学期北师大版

PAGE拓展专题08解析几何中的四大非常规题型——阿氏圆、蒙日圆、阿基米德三角形、光学性质考点01阿氏圆（共5小题） 5考点02蒙日圆（共5小题） 6考点03阿基米德三角形（共6小题） 7考点04光学性质（共8小题） 8 【重要方法与结论】一、阿氏圆1．阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A , B，设P点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（2.阿波罗尼斯圆的证明【定理1】设Px , y , A1−a , 0证明：由PA=λPB及两点间距离公式，可得x+a2化简可得1−λ2（1）当λ=1时，得x=0，此时动点的轨迹是线段AB的垂直平分线；（2）当λ≠1时，方程①两边都除以1−λ2得x−λ2+1λ2−1a2+图①图②图③当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足PAPE=λ，由阿氏圆定理ANNE=λ，AMME=λ同理AM=λME⇒R+OA=λOE+R，∴λOE=由①②消OA得：2λOE=2R，即ROE=λ，即R=λOE，由①②消R得：因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且ROE=λ或二、蒙日圆1.蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．2.蒙日圆方程的证明如图1，设椭圆的方程为x2a2+y2b证明：证法一（解析法+韦达定理）：①当题设中的两条互相垂直的切线PA , PB斜率均存在且不为0时，可设Px0 , y0（x由其判别式值为0，得x0∵kPA , 由已知PA⊥PB , ∴k②当题设中的两条互相垂直的切线PA , PB有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标为±a , 综上所述：椭圆x2a2+y2b证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）：①当题设中的两条互相垂直的切线PA , PB斜率均存在且不为0时，设Px0 , ∵Px0 , y0在切线PA∵k∵xi , yii=1 , ∴k又kPA由已知PA⊥PB , ∴k②当题设中的两条互相垂直的切线PA , PB有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标为±a , 综上所述：椭圆x2a2+y2b三、阿基米德三角形1.阿基米德三角形的定义:抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形.2.过焦点的阿基米德三角形的常见性质:如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论:（1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线（2）两切线互相垂直,即;（3）;（4）点的坐标为.（5）的最小值为.四、圆锥曲线的光学性质1.椭圆的光学性质如图所示,从椭圆的一个焦点发出的光线,被椭圆反射后,必定经过另一个焦点;如图所示,椭圆在点P处的切线为l,直线交直线于点Q,则PQ平分由角平分线性质定理可得2.双曲线的光学性质如图所示,从双曲线一个焦点发出的光线,被双曲线反射后,反射光线的反向延长线交于另一个焦点,如图所示,双曲线在点处的切线l与直线相交于点Q,则PQ平分,由角平分线性质定理,可得3.抛物线的光学性质如图所示,从抛物线的焦点F发出的光线,被抛物线反射后,得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线;如图所示,设抛物线在P处的切线l交对称轴于点切线l交对称轴于点M,则焦点F是的中点.考点01阿氏圆（共5小题）1．（24-25高二上·湖南株洲·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．53．（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．64．（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（

）A．曲线C与圆有且仅有三条公切线B．曲线C关于直线对称的曲线方程为C．若点在曲线C上，则的取值范围是D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得5．（多选）（24-25高二上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（

）A．直线过定点B．动点的轨迹方程为C．动点到直线的距离的最大值为D．若点的坐标为，则的最小值为考点02蒙日圆（共5小题）6．（24-25高三上·安徽黄山·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·湖北·期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（

）A． B． C． D．8．（2023·海南·模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（

）A．2 B．4 C．5 D．89．（多选）（24-25高二上·江西·期中）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（

）A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最大值为C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为10．（25-26高二上·全国·单元测试）加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知椭圆的蒙日圆方程为，则；若为椭圆的一个焦点，点P，Q是上关于原点对称的两点，则的最小值为．考点03阿基米德三角形（共6小题）11．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（

）A． B． C． D．12．（多选）（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．已知三角形为抛物线的“阿基米德三角形”，线段为抛物线的弦，设线段中点为，下列命题正确的是（

）A．轴B．若过点，则点S在直线上C．若，则面积的最大值为4D．若过点，则14．（多选）（23-24高二下·广东·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图是抛物线（）的阿基米德三角形，弦经过焦点，（其中点在点上方），，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有（

）A．以为直径的圆必与准线相切B．为定值4C．设点，则周长的最小值为D．若弦的倾斜角为锐角，则的最小值为15．（2025·宁夏银川·三模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线，，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N.(1)若为阿基米德三角形，求；(2)证明：切线三角形的外接圆过定点.16．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．

(1)求抛物线的方程；(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；(3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．考点04光学性质（共8小题）17．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（

）

A．3 B．4 C．6 D．818．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（

）

A． B．1 C． D．219．（2025高三·北京·专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从抛物线内的点（不在轴上）射入，经过上的点反射，再经上另一点反射后，沿直线射出并经过点，则下列说法不正确的是（

）A．若，则B．若，则平分C．若，延长交直线于点，则三点共线D．若，过作轴的平行线交抛物线的准线于点，则直线的斜率20．(多选)（24-25高二上·陕西咸阳·期末）双曲线具有如下光学性质：如图，分别为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则（

）A．B．双曲线的右焦点到渐近线的距离为21C．当反射光线过点时，光线由所经过的路程为6D．设反射光线所在直线的斜率为，则21．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为．22．（24-25高一上·江苏无锡·期末）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为.23．（2024·江西新余·模拟预测）椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，分别为其左、右焦点，过作直线与切于，则直线与的夹角大小相等.(1)求证：的方程为：；(2)如图2：在（1）的基础上，双曲线的虚轴长为2且与有相同焦点，不与、的交点重合，与交于两点，过分别作的切线交于.求证：（ⅰ）

（ⅱ）24．（2024·辽宁丹东·一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们