专题1.1 一次函数的图象与直线方程 1.2直线的倾斜角、斜率及其关系（高效培优讲义）（解析版）

27/28专题1.1一次函数的图象与直线的方程1.2直线的倾斜角、斜率及其关系教学目标(1)了解一次函数的图象与直线方程的关系；(2).理解直线的倾斜角、斜率的概念；(3).掌握直线斜率公式及其应用；(4)了解直线的方向向量与斜率间的关系；教学重难点1.重点(1)直线的倾斜角、斜率的概念及公式；(2)直线的倾斜角与斜率的应用．2.难点(1)对直线的倾斜角与斜率概念的理解；(2)求直线倾斜角与斜率的取值范围．知识点01一次函数的图象与直线的方程一般地，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的值为坐标的点构成的。同时函数解析式可以看作二元一次方程.在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程研究直线的有关问题。【即学即练】1.已知一次函数的图象记作直线，则直线不经过的点是（）A.(0,-4)B.(1,-1)C.(2,2)D.(3,3)【答案】D【解析】ABC选项对应的点的坐标都满足，故这些点都在直线上，而当x=3时，y=5,故点（3，3）不在直线上，故选D.知识点02直线的倾斜角1.直线倾斜角的定义（1）在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角.（2）当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为.2.直线倾斜角的表示直线的倾斜角通常用表示.3.直线倾斜角的范围直线的倾斜角可以是、锐角、直角、钝角，直线的倾斜角的范围是.【知识剖析】解读直线的倾斜角1.直线倾斜角的定义中含有三个条件：（1）x轴的正方向;（2）绕着逆时针方向旋转；（3）小于平角的非负角2.直线的倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线相对于x轴正方向的倾斜程度．3.每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，且倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角．相同的倾斜角对应的直线并不唯一．【即学即练】1.（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案.【解析】直线的倾斜角为.故选：B.2.．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】根据直线方程得直线与x轴垂直可得解.【解析】直线即，是一条与x轴垂直的直线，所以直线的倾斜角为.故选：C知识点03直线的斜率1,直线斜率的定义把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2.斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<03.过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【知识剖析】1.斜率从“数”的方面刻画了直线相对于x轴（正方向）的倾斜程度.2.倾斜角为的直线斜率不存在，因此它的倾斜程度不能用斜率来刻画.【即学即练】1.求过已知两点的直线的斜率：（1）直线PQ过点P（2,3），Q（6,5）;（2）直线AB过点A（2,1）,B(m,2).【解析】（1）直线PQ的斜率(2)当m=2时，直线AB的斜率k不存在.当时，直线AB的斜率.知识点04直线的方向向量若是直线的斜率，则是它的一个方向向量；若直线的一个方向向量的坐标为，其中，则它的斜率．【知识剖析】1.当直线的斜率不存在时，它的其中一个方向向量可记为(0,1).2.直线的方向向量不唯一，且这些方向向量互相平行.【即学即练】1．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直线的方向向量，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．【解析】由直线的方向向量知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，所以，解得.故选：D2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角的正弦值为【答案】【解析】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率，所以直线l的倾斜角为.其正弦值为.题型01辨析直线的倾斜角与斜率【典例】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若是直线l的倾斜角，则B．若k是直线的斜率，则C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率【答案】ABD【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可.【解析】直线的倾斜角必定存在，且满足；直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率.所以ABD正确，C错误.故选：ABD直线的倾斜角与斜率的比较（1）这两个量都是刻画直线倾斜程度的量，倾斜角侧重于几何角度，斜率侧重于代数角度.（2）所有直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，当直线的倾斜角时，不存在，故此时直线的斜率不存在.（3）当直线的倾斜角不为时，斜率就是倾斜角的正切值，此时两者可以相互转化.【变式1】（24-25高二上·福建莆田·期中）在下列四个命题中，错误的有（

）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为【答案】ABC【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定即可．【解析】对于A：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误；对于B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B错误；对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为，如：直线的斜率可表示为，但它的倾斜角为，所以C错误；对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D正确．故选：ABC．【变式2】（24-25高二上·四川广安·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（

）A．任意一条直线都有倾斜角B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为D．斜率相等的两直线平行【答案】BCD【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可.【解析】任何一条直线都存在倾斜角，A正确；钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误；若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误；斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D错误；故选:BCD.题型02求直线的倾斜角【典例1】设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（）A．B.C.D.或【答案】D【分析】画图分析，看旋转后倾斜角是否在取值范围内.OO【解析】由倾斜角的取值范围知只有当即时，直线的倾斜角才是；而，所以当时，直线的倾斜角为（如图所示），故选D.【典例2】已知直线经过点，.求的倾斜角.【解析】设直线的斜率为，倾斜角为，则，所以.因为，所以.所以，即的倾斜角为.求直线的倾斜角主要有以下两种方法：（1）数形结合法：即通过画图,并根据倾斜角的定义、取值范围以及角度的旋转方向，来求出倾斜角。（2）斜率法：即先求出直线的斜率，再利用斜率k与倾斜角之间的关系式逆求出角..【变式1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解.【解析】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为，故选：A.【变式2】（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知直线经过，两点，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合两点坐标求直线的方程，根据直线方程确定直线的斜率.【解析】由已知得，两点的横坐标都是，所以直线的方程是，直线是一条垂直于x轴的直线，所以直线的倾斜角为.故选：D.题型03求直线的斜率【典例】如图，菱形中，，求菱形两对角线所在直线的倾斜角和斜率.（（）【解析】因为四边形是菱形，所以对角线平分对角且互相垂直．所以，．即对角线的倾斜角为，斜率为．，所以．即对角线的倾斜角为，斜率为．求直线的斜率的方法主要有以下两种：（1）定义公式法：已知直线的倾斜角或角的某种三角函数时，常根据直线斜率的定义公式来求斜率.（2）过两点的直线斜率公式法：①已知直线上两点坐标，根据过两点的直线斜率公式直接求得斜率.②只有在两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用公式求之.【变式1】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解.【解析】由得，设的倾斜角为，所以，故，故直线的斜率为，故选：A【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为.【答案】【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率.【解析】经过点、的直线的斜率为.故答案为：.题型04比较直线斜率的大小【典例】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.【解析】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以．故选：D一般通过数形结合的思想比较各直线的斜率的大小，即观察直线的倾斜角为锐角还是钝角，为锐角时其斜率值为正，为钝角时其斜率值为负，再借助正切函数的单调性分别比较各个同号的斜率的大小.【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.【解析】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知，所以，即.故选：A.【变式2】（2025·北京十五中高二期中）如图，直线l1,lA．k4<kC．k4<k【答案】D【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.【解析】由斜率的定义知，k2故选：D.题型05利用倾斜角或斜率求参数【典例】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由过两点的斜率公式求解即可.【解析】因为直线过两点､，且倾斜角是，所以直线的斜率，又因为，所以，解得.故选：A.此类题型一般利用两个斜率公式列方程（组），通过解方程（组）求得参数的值.【变式1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（

）A．3 B． C．2 D．1【答案】B【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数.【解析】过，两点的直线斜率为，所以，解得，．故选：B．【变式2】（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两点的斜率公式及直线的斜率定义即可求解.【解析】由题，直线的斜率为，又，.故选：B.题型06三点共线问题【典例1】（24-25高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可.【解析】显然，则，即，解得.故选：D.【典例2】求证：A(0,2),B(1,3),C(-2,0)三点共线.【证明】∵，∴，∴，又与有公共点，∴直线与重合，∴三点共线．利用斜率公式解决三点共线问题时，首先要判断任意两点所确定的直线的斜率是否存在，若斜率都不存在，则三点共线；若斜率存在，且三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，则三点共线【变式1】若、、三点共线，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据斜率公式可得出，可得出实数的值.【解析】由于、、三点共线，则，即，解得.故选：A.【变式2】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可；【解析】由题意可得，即，解得.故选：C.题型07直线的方向向量问题【典例1】（24-25高二上·湖北·期中）经过点两点的直线的方向向量为，则k为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】根据直线的斜率与方向向量关系即可求出答案.【解析】经过两点的直线的方向向量为，所以，解得故选：A【典例2】（2025·四川眉山·三模）已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线的方向向量、斜率公式及倾斜角与斜率的关系即可求解.【解析】直线的斜率，所以直线的倾斜角为.故选：.直线方向向量与斜率的关系：当利用斜率公式解决三点共线问题时，首先要判断任意两点所确定的直线的斜率是否存在，若斜率都不存在，则三点共线；若斜率存在，且三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，则三点共线【变式1】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据方向向量的含义即可求解.【解析】由于直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为，故选：A【变式2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解.【解析】直线的倾斜角为，所以，方向向量，则，.故选：A.题型08求直线斜率的取值范围【典例】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果.【解析】由直线的斜率公式可得：；.结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或.故选：C.求直线斜率的取值范围时，若斜率恒正或恒负，可直接得出直线斜率的取值范围；若斜率有正有负，则可先求出临界直线的斜率，然后观察直线的变化规律来进一步求解.【变式1】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线l的倾斜角α满足120∘<α≤135∘，则l的斜率kA．−1,−33 C．−3,−1 【分析】根据正切函数单调性得到斜率k的取值范围.【解析】函数k=tanα在又tan120°=−3，故k的取值范围是−3故选：C.【变式2】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（

）A． B． C．，-1）） D．[1，+【答案】A【分析】先求得，再利用数形结合法求解.【解析】，如图所示：由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是，故选：A【变式3】（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点，若直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围.【解析】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得：已知，，同理可得：当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是；当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是.所以直线斜率的取值范围是.故选：B.

题型09求直线倾斜角的取值范围【典例1】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线l过点P2,2，且与以A−1,−1和(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角a的取值范围.【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析A，B，P三点之间的关系，不难给出直线l的斜率k的取值范围；（2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线l的倾斜角a的取值范围．【解析】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图：kPA直线l过点P2,2，且与以A−1,−1和所以直线l的斜率k的取值范围k∈−（2）由（1）可知，k∈−直线PA的倾斜角为π4，直线PB的倾斜角为2由此可得此时直线l的倾斜角α的取值范围π4由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线l的倾斜角α=π综上，直线l的倾斜角α的取值范围π4求直线倾斜角的取值范围时，一般先求得直线的斜率的取值范围，再利用斜率与倾斜角之间关系求解。【变式1】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线l的斜率k∈−1,3，则l的倾斜角的取值范围为（A．π3,3π4 B．π6【答案】C【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解.【解析】设l的倾斜角为θ，则θ∈0,π，且如图，由正切函数的性质知θ∈0,【变式2】已知，（1）当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？（2）当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？（3）当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？【解析】（1）直线的倾斜角为锐角，则0，解得或．（2）直线的倾斜角为钝角，则，解得．（3）直线的倾斜角为直角，斜率不存在，则点的横坐标相等，即，解得．题型10直线斜率的实际应用【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距PiPi−1i=1,2,3,⋯,9均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距AiAi−1，BiBi+1i=1,2,3,⋯,9均为A．15 B．516 C．2564【答案】D【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案.【解析】OAO故B10−240,0，则kP故选：D.【变式1】（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可.【解析】由题意三点共线，设，因为，，所以，解得，所以.故选：B单选题1．（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（

）A．0 B．1 C．90 D．不存在【答案】D【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况.【解析】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在.故选：D2．（24-25高二上·广西南宁·期末）若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜率和倾斜角的关系得到方程，求出答案.【解析】设直线的倾斜角为，则，又，故.故选：C3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角.【解析】由直线的方向向量为可知直线斜率，又因为倾斜角，且，所以.故选：C4．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）过，两点的直线倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两点斜率表达式以及斜率和倾斜角关系得到方程，解出即可.【解析】由题意得，解得.故选：C.5．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案.【解析】因为经过点的直线的斜率为2，所以，且，解得.故选：D.6．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得.【解析】由，，三点共线，得，即，解得．故选：B7．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，其倾斜角为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意求得直线的斜率为，可得，将所求的式子转化为齐次式，弦化切得解.【解析】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，即，故选：B．8．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（

）

A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8【答案】A【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案.【解析】因为，所以，不妨设，则．由题意，知，即．解得．故选：A．多选题9．（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（

）A．直线倾斜角的取值范围是B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或【答案】ACD【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解.【解析】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确；对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误；对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确；对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确；故选：ACD.10．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1

A．k1<k3<k2 B．【答案】AD【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项.【解析】由图像可知0<α则k1故选：AD.11．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（

）A． B． C． D．1【答案】ACD【分析】借助直线斜率的定义，三角形性质求解，即可得出选项.【解析】分别设直线，，的倾斜角为，，，则，，直线的斜率为，将直线，平移至原点位置，设直线l与直线，分别交于点，，当时，如图所示：由题意知，因为为等腰三角形，且顶角为钝角，所以为钝角或为钝角，若为钝角，则，所以，所以直线的斜率为，故A选项正确；若为钝角，则，

所以，，，所以，所以直线的斜率为，故C选项正确；当时，如图所示：

因为为等腰三角形，则，所以，所以由，解得或（舍），所以，所以直线的斜率为，故D选项正确；故选：ACD.三、填空题12．（24-25高二上·贵州黔南·期中）已知两点Pm,2，Q2,4所在直线的斜率为1，则m=0【分析】根据两点的斜率公式计算可得.【解析】因为两点Pm,2，Q2,4所在直线的斜率为所以kPQ=4−2故答案为：0.13．（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点A1,m，Bm−1,3的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是【答案】(2,3) 【解析】由题意经过两点A1,m，B可知m−1≠1，且3−mm−2解得2<m<3，即实数m的范围是(2,3)，14．（2024高二上·江苏·专题练习）已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则.【答案】【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再由是以角为顶角的等腰三角形得到必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得和，再利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得到答案即可.【解析】由题中条件可得，，且不重合，所以，，所以四边形为平行四边形，如图，连接，由两点间距离公式得，所以平行四边形为菱形，因为，所以，所以菱形为正方形，因为为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形，所以必为边的中点，则，，所以，由题意得，所以，因为，解得，(负根舍去)，直线与轴垂直，则，所以.四、解答题15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点A−1,m，Bm,1，问：当(1)直线l与x轴平行？(2)直线l与y轴平行？(3)直线的倾斜角为45°？(4)直线的倾斜角为锐角？【分析】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率k=0，据此可以求m的值；（2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值；（3）直线的倾斜角为45°，则直线的斜率k=tan45°=1，据此可以求（4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率k∈(0,+∞)，据此可以求