专题1.3 直线的方程（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性必修第一册解析版

27/28专题1.3直线的方程教学目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式和一般式；.3.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示；4.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．教学重难点1.重点(1)几种直线方程的灵活选用；(2)直线方程的应用．2.难点(1)能根据实际情况选择正确的直线方程；(2)理解“截距”与“距离”的区别．知识点01直线方程的点斜式（重点）1.直线的方程一般地,如果一条直线l上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程.2.直线方程的点斜式(1)直线l经过点P(x0,y0),且斜率是k,则直线l的方程是y-y0=k(x-x0).这个方程是由直线上的一点和斜率(一个方向)所确定的,称为直线方程的点斜式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.【知识剖析】直线方程的点斜式的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程.【即学即练】1.求满足下列条件的直线方程的点斜式.(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;(2)过点P(3,-4),且与x轴平行;(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.[3]【解析】(1)∵直线过点P(-4,3),斜率k=-3,∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y-3=-3(x+4).(2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-(-4)=0×(x-3).(3)过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率kPQ=-4-3又∵直线过点P(-2,3),∴直线方程的点斜式为y-3=-(x+2).知识点02直线方程的斜截式（重点）1.直线在x,y轴上的截距(1)直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫作直线l在x轴上的截距,简称横截距.(2)直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距,简称纵截距.2.直线的斜截式方程如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),代入直线方程的点斜式,得y-b=k(x-0),即y=kx+b,此方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,所以叫作直线方程的斜截式.【知识剖析】(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．【即学即练】1．根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【解析】(1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y=2x+5.(2)∵倾斜角为150°,∴斜率k=tan150°=-33由斜截式可得直线方程为y=-33(3)∵直线的倾斜角为60°,∴其斜率k=tan60°=3,∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3.∴所求直线方程为y=3x+3或y=3x-3.知识点03直线方程的两点式（重点）1.直线方程的两点式经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程为,我们把这个方程称为直线方程的两点式.2.平行于坐标轴的直线方程(1)若x1=x2,y1≠y2,则P1P2与x轴垂直,此时直线l的方程为x=x1;(2)若y1=y2,x1≠x2,则P1P2与y轴垂直,此时直线l的方程为y=y1.【知识剖析】(1)两点式方程与这两个点的顺序无关．(2)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等(3)把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线．【即学即练】1．求过下列两点的直线的两点式方程：(1)，；(2)，．【答案】(1)；(2).【分析】由直线两点式方程的定义即可得解.【解析】（1）因为直线过点，，所以该直线的两点式方程为；（2）因为直线过点，，所以该直线的两点式方程为2.已知直线的两点式为，则（）A．直线经过点 B．直线的斜截式为C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为【答案】C【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C.【解析】由题意，直线经过两点，，故AD错误，将两点式化为斜截式：，故B错误，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确.故选：C.知识点04直线方程的截距式（重点）1.直线方程的截距式若直线l经过两点(a,0),(0,b)(其中a≠0,b≠0),则直线l的方程为,此方程称为直线方程的截距式.2.直线方程截距式与两点式间的关系直线方程的截距式是两点式的特例，所取的两点恰好是直线与坐标轴的交点.【知识剖析】(1)截距式中,x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距,故由方程便可直接读出直线在两坐标轴上的截距.(2)当直线的斜率不存在或斜率为0或直线经过原点时，直线方程不能用截距式表示.【即学即练】1．过、两点的直线方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由截距式得到直线方程.【解析】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误.故选：A2．直线在轴上的截距为（）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据直线的截距式方程即可求解.【解析】由可得，所以在轴上的截距为，故选：B知识点05直线方程的一般式（重点）1.直线方程的一般式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于x,y的二元一次方程.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线方程的一般式.2.直线方程的一般式的书写格式(1)对于直线方程的一般式,有如下约定:一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列;x项的系数一般为正;x项、y项的系数和常数项一般不出现分数.(2)直线方程的其他形式都可以化成一般式,因此在解题时,如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式.【知识剖析】(1)方程Ax+By+C=0表示直线的条件是：A,B不同时为0,即A2+B2≠0.(2)直线方程的一般式能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都不能表示与x轴垂直的直线.【即学即练】1.直线3x－2y－4＝0在x轴、y轴上的截距分别是()A.eq\f(3,4)，－eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)，－2 D.eq\f(4,3)，－2【答案】D【解析】将3x－2y－4＝0化成截距式为eq\f(x,\f(4,3))＋eq\f(y,－2)＝1，故该直线在x轴、y轴上的截距分别是eq\f(4,3)，－2.2.直线2x-3y+6=0与x轴的交点是A,与y轴的交点是B,O是坐标原点,则△AOB的面积是()A.6 B.3 C.12 D.2【答案】B【解析】根据题意,把y=0代入方程2x-3y+6=0可得x=-3,∴A(-3,0);把x=0代入方程2x-3y+6=0可得y=2,∴B(0,2),∴△AOB的面积为123．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解.【解析】易知，由，得到，由已知一般式方程为，所以有，则，解得，又，，所以，则，故选：A.知识点06直线方程的点法式（拓展点）1.直线的法向量与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量.2.直线方程的点法式已知直线l经过Px0,y0,且它的一个法向量为n=A,B【即学即练】1.（24-25高二下·上海·期中）已知向量为直线的一个法向量，则a的值为．【答案】976【分析】根据直线法向量定义计算求参.【解析】因为向量为直线的一个法向量，则，所以.2.写出直线l:2x-y-1=0的一个法向量a=.

【答案】(2,-1)(答案不唯一)【解析】因为直线l:Ax+By+C=0,法向量为(A,B)或(-A,-B),所以2x-y-1=0的法向量为(2,-1).知识点07过定点的直线系（拓展点）直线过定点P0(x0,y0)时,我们可设直线的方程为y-y0=k(x-x0).由此方程可知,k取不同的值时,它就表示不同的直线,且每一条直线都经过定点P0(x0,y0),当k取遍所允许的每一个值时,这个方程就表示经过定点P0的许多直线,所以把这个方程叫做过定点P0的直线系方程.由于过点P0(x0,y0)且与x轴垂直的直线不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直线系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中没有直线x=x0.【即学即练】1.方程y=k(x-1)(k表示A.过点(－1,0)的一切直线B.过点(1,0)的一切直线C.过点（1，0）且不垂直于x轴的一切直线D.过点(1,0)且除x轴外的一切直线【答案】C【解析】直线方程的点斜式y=k(x-1)表示经过点(1,0)且斜率为k的直线,显然不垂直于x轴.2.已知直线l:y=kx+2k+1.求证:直线l过定点.【分析】显然,直线l的斜率存在,则可把直线方程化为点斜式y-y0=k(x-x0)的形式,无论直线的斜率k取何值,直线都过定点(x0,y0);此外，此题也可取两条特殊直线，求出其交点，再证明该点在直线l上.【证明】方法一:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).由直线的点斜式方程可知,直线过定点(-2,1).方法二：令k=0,得y=1;令k=1,得y=x-3,联立得解得x=-2，y=1,因为点(-2,1)的坐标是方程y=kx+2k+1的解,所以直线l过定点(-2,1)令k=1,得y=x-3,联立得解得x=-2，y=1,因为点(-2,1)的坐标是方程y=kx+2k+1的解,所以直线l过定点(-2,1).题型01利用点斜式求直线方程【典例】已知直线l经过点P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的方程.【分析】由题意可知直线l过点P,且直线l的斜率一定存在,故可将直线方程设为点斜式.【解析】显然,直线l与两坐标轴不垂直,否则不围成三角形,设其斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y-3=k(x+2),令x=0,得y=2k+3,令y=0,得x=-3k于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12|2k+3|·-即(2k+3)3k若(2k+3)3k+2=8,则整理得4k若(2k+3)3k+2=-8,则整理得4k2+20k+9=0,解得k=-12所以直线l的方程为y-3=-12(x+2)或y-3=-9求直线的点斜式方程的步骤及注意点：(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．【变式1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积.【解析】依题意得直线的方程为，即，则直线与坐标轴的交点分别为，所以．故选：B【变式2】（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程.【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即，故选：A．【变式3】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，.(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程；(2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值.【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可；（2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解.【解析】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意；当，即时，令得，令，得，由截距相等得，解得或，当时，直线的方程为，当时，直线的方程为，故综上所述，所求直线的方程为或．（2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、，所以，解得，所以的面积，

由题意知，化简得，解得或，均满足条件，所以或．题型02利用斜截式求直线方程【典例】求斜率为34【分析】考虑到直线的斜率已知，故可将直线方程设为斜截式.【解析】设直线L的方程为令x=0得y=b；令y=0得.∴，∴b=±4,∴直线L的方程为.求直线的斜截式方程的方法：(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．【变式1】（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可.【解析】设直线为，代入得，即，，设直线与x轴交点，与y轴交点，则所围成封闭图形面积为，当且仅当，即时等号成立，所以所围成封闭图形面积的最小值为4.故选：C.【变式2】设直线l的倾斜角是直线y＝eq\r(3)x＋1的倾斜角的eq\f(1,2)，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程是____________________．【答案】y＝eq\f(\r(3),3)x±3【解析】y＝eq\r(3)x＋1的倾斜角为60°，则l的倾斜角为30°，故斜率为tan30°＝eq\f(\r(3),3).由题意知，l在y轴上的截距为±3，∴直线l的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x±3.题型03利用两点式求直线方程【典例】已知△ABC的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x轴交于点F，求直线EF的方程．【解析】直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点，由两点式得eq\f(y－0,－3－0)＝eq\f(x－－5,3－－5)，整理得3x＋8y＋15＝0.令x＝0，得y＝－eq\f(15,8)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(15,8))).直线BC过B(3，－3)，C(0,2)两点，由两点式得eq\f(y－－3,2－－3)＝eq\f(x－3,0－3)，整理得5x＋3y－6＝0.令y＝0，得x＝eq\f(6,5)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，0)).由截距式方程得eq\f(x,\f(6,5))＋eq\f(y,－\f(15,8))＝1，整理得25x－16y－30＝0.∴直线EF的方程为25x－16y－30＝0.(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足直线方程的两点式的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.(2)已知两点坐标时，也可利用这两点先出求其斜率，再利用点斜式得到直线方程.【变式1】（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）经过点，的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线的两点式方程求解即可；【解析】由题意得，整理得．故选：A．【变式2】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得中点的坐标，然后根据两点式求得边上的中线所在直线的方程.【解析】的中点坐标为，所以边上的中线所在直线的方程为，整理得.故选：B题型04利用截距式求直线方程【典例】（1）求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程;(2)求过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程.【分析】(1)思路一：考虑到直线的斜率一定存在,故可将直线方程设为点斜式;思路二:可分截距为0和不为0讨论,当截距不为0时,可将直线方程设为截距式；（2）设出直线方程的截距式，利用截距求面积.【解析】（1）解法一(点斜式):设直线方程为y-3=k(x-2)(k≠0),令x=0,得y=3-2k,令y=0,得x=-3k依题意得3-2k=-3k+2,解得k=-1或k=3故所求的直线方程为x+y=5或3x-2y=0.解法二(截距式):（i）当两轴上的截距都是0时,直线方程为3x-2y=0,符合题意.[7](ii)当截距不为0时,可设直线方程为xa+y将点P(2,3)代入得2a+3∴直线方程为x5+y综上,所求直线方程为x+y=5或3x-2y=0.(2)设所求的直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(3,b)＝1,\f(1,2)ab＝6，))解得a＝2，b＝6，故所求直线的方程为3x＋y－6＝0.求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．【变式1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值.【解析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则，由基本不等式可得，可得，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故的面积的最小值为.故选：C.【变式2】（24-25高二上·山东青岛·阶段测试）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程：(1)的周长为12；(2)的面积为6．【分析】（1）设出直线的截距式方程，根据三角形周长和得到方程组，求出，求出答案；（2）设出直线的截距式方程，根据三角形面积和得到方程组，求出，求出答案【解析】（1）设直线方程为，由题意可知，．①又因为直线过点，所以，②由①②可得，解得或所以所求直线的方程为或，即或．（2）设直线方程为，由题意可知解得或所以所求直线的方程为或，即或．【变式3】（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点.(1)若，求直线的方程；(2)求的面积的最小值.【分析】（1）设直线截距式为，可得，，进而结合列方程组求解即可；（2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不等式即可求出面积最小值.【解析】（1）设直线的方程为，则，，所以，由，得，解得，所以直线的方程为，即.（2）设直线的方程为，将点代入得，则，当且仅当，即时等号成立，所以，.所以的面积最小值为12.题型05直线一般式方程的应用【典例】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.【答案】(1)－eq\f(5,3)；(2)－2【解析】(1)令y＝0，则x＝eq\f(2m－6,m2－2m－3)，∴eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq\f(5,3)或m＝3.当m＝3时，m2－2m－3＝0，不合题意，舍去．∴m＝－eq\f(5,3).(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠－1且m≠eq\f(1,2)，由直线l化为斜截式方程，得y＝eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq\f(6－2m,2m2＋m－1)，则eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2.直线方程的几种形式的转化【变式】根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．(1)斜率是－eq\f(1,2)，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)，－3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．【解析】(1)由点斜式方程，得y－(－2)＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式方程，得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式方程，得eq\f(x,\f(3,2))＋eq\f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0.(4)由两点式方程，得eq\f(y－－2,－4－－2)＝eq\f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0.题型06直线方程的点向式与点法式【典例】已知ABC的三个顶点分别是A(1,1),B(-2,3),C(3,4)（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）如图，若四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标.【解析】（1）∵B−2,3，C3,4,∴BC边上的高所在直线的一个法向量为BC又直线过点A1,1∴由直线方程的点法式得所求直线的方程为5x−1+即5x+y−6=0.（2）设点D的坐标为x,y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=∴&x−1=3−−2，&y−1=4−3,解得∴D6,2（1）直线方程的点向式：已知直线l经过Px0,y0,且它的一个方向向量为n=A，B,则称为直线方程的点向式，特别地，当方向向量为（2）直线方程的点法式：已知直线l经过Px0,y0,且它的一个法向量为n=【变式1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且以直线的方向向量为法向量的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意设所求直线为，由点在直线上求参数，即可得方程.【解析】由题设，所求直线与垂直，可设所求直线为，又在上，则，得，所以，所求直线为.故选：A【变式2】（23-24高二上·山西阳泉·期中）已知过点的直线的方向向量，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，斜截式得直线方程.【解析】直线的方向向量，则的斜率为，又直线过点，的方程为，即.故选：B【变式3】（2025·上海徐汇·三模）直线m过点且法向量，则直线m的点法式方程为.【答案】【分析】根据直线所过的点及法向量写出点法式方程即可.【解析】由题设，直线m的点法式方程为.题型07根据直线方程求直线的斜率与倾斜角【典例1】（1）已知直线的方程是，则（）A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为（2）直线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】（1）D；（2）A【解析】（1）直线的方程可化为，所以直线过定点，斜率为．直线的斜率，则该直线的倾斜角.故选：A(1)将直线方程转化为斜截式，便可得到直线的斜率，从而求得倾斜角.(2)对于一般式方程，当时，其斜率为.【变式1】（24-25高二下·浙江·开学考试）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系得出结果.【解析】由题意知，，所以直线的斜率为，即（为直线倾斜角），由，解得.故选：B.【变式2】（24-25高二下·广东·阶段练习）直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化为斜截式得解.【解析】依题意，直线，故其斜率为.故选：A.【变式3】已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为．【答案】【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线倾斜角的大小.【解析】由直线经过点，可得，解之得，设直线倾斜角为，则，又，则则直线倾斜角的大小为题型08直线图象的辨析【典例】(多选)在同一直角坐标系中，下列选项能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是（）【答案】BC【分析】由两直线的解析式可得两直线的斜率和纵截距，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【解析】①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，B成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0，C成立．故选：BC对于直线图象的辨析题，一般将直线方程写成斜截式，从而确定斜率及纵截距，便可结合坐标系确定直线图象.【变式1】（24-25高二·江苏·课后作业）直线可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果．【解析】因为，所以AC错；当时，，故B对；故选：B【变式2】（24-25高二·陕西西安·段测）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解.【解析】，直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，故D正确，当时，,故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.故选：B题型09利用斜率、截距的几何意义解决问题【典例】已知ab<0,bc<0，则直线ax+by=c通过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限【答案】A【解析】将直线方程化为斜截式得其中可画出图形，如图所示，直线的斜率为正数，在y轴上的截距为正数，显然直线经过第一、二、三象限.故选A.判断一条直线过象限问题,一般将直线方程化为斜截式,再据此作出直线,由图确定直线所过象限.【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】作出直线的图象，可得出结论.【解析】作出直线的图象如下图所示：由图可知，直线不过第三象限.故选：C.【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论.【解析】由题意直线经过第一、二、四象限，所以直线的斜率为负值，纵截距为正值.直线方程化为斜截式：，所以斜率且纵截距，所以且，故选：B.题型10利用直线方程求参数的值或取值范围【典例】（1）若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是（）A．a>1 B．0<a<1C．a＝1 D．0<a<1或a>1（2）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A． B． C．D．（3）直线y＝eq\f(1,2)x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．【答案】（1）A；（2）A;（3）(－∞，－1]∪[1，＋∞)；【分析】(1)注意对参数的分类讨论，在同一坐标系中作两条曲线，确定一条，判断另一条．（2）由直线恒过定点，分别计算，结合图象即可得的范围.(3)在求面积时，要将截距转化为距离．【解析】（1）y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．所以当0<a≤1时，只有一个公共点，如图①；当a>1时，有两个公共点，如图②；（2）直线经过定点，如图所示，则，因为直线与线段相交，所以由图可知.（3）令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k.所以eq\f(1,2)|k|·|－2k|≥1，即k2≥1.所以k≤－1或k≥1.一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．【变式1】（2025浙江杭州高二上联考）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设出直线方程，求得其在在轴上的截距，建立不等式，解出即可.【解析】设直线的斜率为，则直线方程为，令，得，故直线在轴上的截距为，令，得或者，故选：【变式2】（2025河南郑州高二上联考）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围.【解析】直线，过定点，则，直线和以为端点的线段相交，由图可知，或，所以实数的取值范围为.题型11中心直线系过定点问题【典例】求证:无论m为何值,直线l:y=(m-1)x+2m+1总过第二象限.【分析】易知动直线l过一定点，证明该定点在第二象限，则直线l必过第二象限.【证明】证法一:直线l的方程可化为y-3=(m-1)(x+2),∴直线l过定点(-2,3),由于点(-2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限.证法二:直线l的方程可化为m(x+2)-(x+y-1)=0.令x+2=0,x+y∴无论m取何值,直线l总经过点(-2,3).∵点(-2,3)在第二象限,∴直线l总过第二象限.中心直线系过象限问题实质是中心直线系过定点问题，即要证中心直线系过哪个象限，只需证明中心直线系所过的定点在该象限内.【变式1】已知直线l:y=ax-15a+(1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.【解析】(1)证法一:将直线l的方程整理为y-35=ax-15,而点A15证法二:直线l的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0.∵上式对任意的a总成立,∴必有5x-1=0即l过定点A15而点A15(2)∵直线l恒过第一象限,∴要使l不经过第二象限,需它在y轴上的截距不大于零.当x=0时,y=-a-35【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线.(1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点；(2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程.【分析】（1）令，解方程组即可得解；（2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解.【解析】（1）将直线整理得对任意实数都成立，所以，解得所以对任意实数，直线都经过一个定点；（2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，则有，化简得，当时，直线的方程为当时，直线的方程为所以直线的方程为或.题型12与直线有关的数学文化题【典例】（24-25高二上·湖南长沙·期中）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意求的重心和外心，结合直线的两点式方程可得欧拉线方程.【解析】因为的顶点，，，可知的重心为点，即点，由题意，可知，所以的外心为斜边的中点，即点，所以的欧拉线方程为，即.故选：C.与直线有关的数学文化题常以新定义的形式出现，求解的关键是认真审题，读懂新定义，再利用新的信息解决问题.【变式】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·开学考试）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线的方程即可.【解析】因为的顶点，，所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率，则线段的垂直平分线的方程为，即，因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为.故选：A.题型13直线方程在实际生活中的应用【典例】如图,某小区内有一块荒地ABCDE,现欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发,问如何设计才能使开发部分的面积最大?最大面积是多少?(已知BC=210m,CD=240m,DE=300m,EA=180m)【分析】先建立平面直角坐标系,设出点P的坐标,然后利用长方形各顶点的坐标关系表示出长方形的面积,利用函数最值的方法进行求解.【解析】BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意知A(0,60),B(90,0),所以线段AB的方程为x90+y在线段AB上取点P(m,n)(0≤m≤90),作PQ⊥DE于点Q,PR⊥CD于点R,设长方形PQDR的面积为S,则S=|PR|·|PQ|=(300-m)·(240-n).又m90+n60=1(0≤m≤90),所以n=60-所以S=(300-m)240-60+23m=-23m于是,当m=15,n=50时,长方形的面积取得最大值54150.因此当点P距AE15m,距BC50m时,开发部分的面积最大,最大值为54150m2.坐标法解决直线方程的实际应用问题的基本步骤(1)认真审题,将实际问题转化为平面几何问题;(2)建立平面直角坐标系,将平面图形中的点用坐标表示、直线用方程表示.(3)借助方程及直线间的位置关系解决问题.【变式1】（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，，由直线的两点式即可求解.【解析】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点，因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为，即.故选：.【变式2】在路边安装路灯,路宽23m,灯杆长2.5m,且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h约为多少时,灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?(精确到0.01m)【解析】记灯柱顶端为B,灯罩处为A,灯杆为AB,灯罩轴线与道路路面的中线交于点C.以灯柱底端O点为坐标原点,灯柱OB所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则点B的坐标为(0,h),点C的坐标为(11.5,0),BA=2.5.因为∠OBA=120°,所以直线BA的倾斜角为30°,则点A的坐标为(2.5cos30°,h+2.5sin30°),即(1.253,h+1.25).因为CA⊥BA,所以kCA=-1kBA=-1tan由点斜式得直线CA的方程是y-(h+1.25)=-3(x-1.253).因为灯罩轴线CA过点C(11.5,0),所以-(h+1.25)=-3(11.5-1.253),解得h≈14.92.故灯柱高约为14.92m.单选题1．（24-25高二上·湖南怀化·期末）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据直线得出斜率，再结合倾斜角及斜率的关系求出倾斜角即可.【解析】由可得该直线的斜率，故该直线的倾斜角为，故选:B.2．（24-25高二上·广东清远·阶段练习）直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化直线方程为斜截式，再求出斜率.【解析】直线，即，所以该直线的斜率为：．故选：D3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知直线的一般式方程为，则（

）A．直线的截距式方程为B．直线的截距式方程为C．直线的斜截式方程为D．直线的斜截式方程为【答案】A【分析】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别.【解析】由得，直线的截距式方程为：，即.直线的斜截式方程为：.故选：A.4．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由一次函数的性质判断【解析】直线即，经过第一、二、四象限，则，得，故选：B5．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用斜率与倾斜角的正切函数关系，根据斜率取值来确定角的范围即可.【解析】当时，可知直线为，故倾斜角，当时，由直线方程可知斜率，所以，即倾斜角，综上可知：，故选：C.6．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出的重心和外心后可得欧拉线的方程.【解析】的重心坐标为即，中垂线的方程为：，中垂线的方程为：，故外心坐标为，故欧拉线的方程为：，整理得到：，故选：C.7．（24-25高一上·河北保定·开学考试）已知为非零实数，且满足，则一次函数的图象一定经过第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】由题意化简得到，分和，两种情况讨论，分别求得一次函数的解析式，结合直线方程的特征，即可求解.【解析】由，可得，分两种情况讨论：当时，可得，此时一次函数为，可得直线过第一、二、三象限；当时，即，可得，此时一次函数为，可得直线过第二、四象限，综上所述，该直线必经过第二象限．故选：B.8．（24-25高二上·山西·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（

）A．

B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】确定直线斜率存在，分别令、得直线的横纵截距，求三角形面积根据面积值解方程得m，即可得结论.【解析】由题可知，直线的斜率存在且不为0，故，即且，令，得；令，得；即，所以，所以，则或，解得或，故解得的实数m的解有4个.故选：D.多选题9．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（

）A．不过原点 B．在轴上的截距为C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3【答案】AC【分析】将代入直线方程可判断A；求出直线在轴上的截距可判断B；将直线方程化为斜截式可判断C；将直线方程化为截距式求出三角形的面积可判断D.【解析】对于A，因为，所以不过原点，故A正确；对于B，令，得，所以在轴上的截距为，故B错误；对于C，把化为，所以的斜率为，故C正确；对于D，把化为，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误.故选：AC.10.（23-24高二上·甘肃白银·期中）下列说法错误的是（

）A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．经过点且斜率为的直线方程为C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D．直线x=1的斜率为0【答案】ABD【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断AD，利用点斜式直线方程求解判断B，利用直线与坐标轴的围成面积求解判断C.【解析】当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以直线的斜率不存在，所以AD错误；对于B，过点且斜率为的直线的方程为即，错误；对于C，对于直线，令，则，令则，则在轴上的截距为，在轴上的截距为，所以与坐标轴围成的三角形的面积为，正确.故选：ABD11．（24-25高二上·湖北·阶段练习）下列说法不正确的有（）A．直线的倾斜角越大，斜率越大B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是C．直线的倾斜角的取值范围是D．直线在轴上的截距是3【答案】ABD【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论即可判断C；根据直线的截距式即可判断D.【解析】对于A，当倾斜角为时，斜率为，当倾斜角为时，斜率为，故A错误；对于B，直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误；对于C，直线的倾斜角为，则，因为，所以，故C正确；对于D，直线，即，故直线直线在轴上的截距是，故D错误.故选：ABD.三、填空题12.（24-25高二上·广东东莞·期末）已知直线过点，且其方向向量，则直线的一般式方程为【答案】【分析】根据题意和直线的点方向式方程即可得出结果.【解析】因为直线过点，且方向向量为，由直线的点方向式方程，可得直线的方程为：，整理，得.13.（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是.【答案】【分析】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点.【解析】将直线方程变形为，由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是.14．（24-25高二下·天津·期中）若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为.【答案】【分析