专题2.1 圆的标准方程（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性必修第一册原卷版

27/28专题2.1圆的标准方程教学目标1.圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程；2.圆的标准方程；3.能够判断点与圆的位置关系.教学重难点1.重点(1)求圆的标准方程；(2)圆的标准方程的应用．2.难点(1)推导圆的标准方程；(2)与圆有关的最值问题．知识点01圆的标准方程（重点）1.圆的定义平面内点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.如图，在平面直角坐标系中，圆A的圆心的坐标为,半径为,为圆上任意一点，圆A可用集合表示为：2.圆的标准方程我们把（r>0）称为圆心为，半径长为的圆的标准方程．【知识剖析】（1）所谓“标准”方程，是指方程的形式，它的优点在于明确地指出了圆心和半径；（2）圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．【即学即练】1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（

）A． B．C． D．2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径.(1)x2+y2=2;(2)(x-3)2+y2=a2(a≠0);(3)(x+2)2+(y+1)2=b2(b≠0).知识点02点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系点在圆外、点在圆上、点在圆内(如图所示).2.判断点与圆的位置关系的方法圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上│MC│＝r⇔点M在圆C上点M(x0，y0)在圆上⇔点在圆内│MC│<r⇔点M(x0，y0)在圆内⇔点在圆外│MC│>r⇔点M(x0，y0)在圆外⇔【即学即练】1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（

）A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定2.点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．点P在圆内B．点P在圆外C．点P在圆上D．不确定知识点03几种特殊位置的圆的标准方程（拓展）条件标准方程的形式圆心在原点x2+y2=r2(r>0)过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2(r>0)圆心在y轴上________圆心在x轴上且过原点(x-a)2+y2=a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点__________圆与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)圆与y轴相切_____________圆与两坐标轴都相切(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)【即学即练】1.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝12．圆心为点P(－2,3),且与y轴相切的圆的方程是()A.(x－2)2＋(y＋3)2＝4B.(x+2)2＋(y－3)2＝4A.(x－2)2＋(y＋3)2＝9A.(x+2)2＋(y－3)2＝9题型01由标准方程确定圆心和半径【典例】（24-25高二上·福建福州·期中）给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（

）A． B．C． D．将圆的方程统一成标准方程形式：，此时圆心为，半径为．【变式1】（24-25高二上·陕西西安·月考）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4【变式2】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（

）A．， B．，C．， D．，题型02求圆的标准方程【典例】求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的标准方程（试用三种不同的方法解答）.求圆的标准方程的三种常见方法：1.直接法.根据题中条件确定圆心坐标和半径（有些题目中已明确圆心坐标和半径）,再直接代入圆的标准方程.2.待定系数法.圆的标准方程中含有三个参数，因此确定圆的方程，需有三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.由三个独立条件可得到三个方程，解方程组得三个参数，从而确定圆的标准方程.其中待定系数法是求圆的方程最基本、最常用的方法.3.几何性质法.即利用圆的几何性质确定圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程.【变式1】（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高二上·海南·月考）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（

）A． B．C． D．【变式4】（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（

）A． B．C． D．题型03判断点与圆的位置关系【典例】已知两点A(4,9),B(6,3),(1)求以AB为直径的圆的方程;(2)试判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在(1)中所求圆的圆上,圆内,还是圆外.判断点与圆的位置关系通常有两种方法:(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断；(2)把点M(x0,y0)的坐标代入圆的方程左边，比较(x-a)2+(y-b)2与r2的大小关系.【变式1】（24-25高二上·福建泉州·月考）点与圆的位置关系是（

）A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（）A．在圆外 B．在圆上C．在圆内 D．与a的值有关【变式3】（24-25高二上·福建泉州·月考）点与圆的位置关系是（

）A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关题型04利用点与圆的位置关系求参【典例】若点(3,a)在圆x2+y2=16的内部,则a的取值范围是()A.[0,7) B.(-∞,7) C.{7} D.(7,+∞)若已知点与圆的位置关系，也可利用代数法或几何法列出不等式或方程，求解参数范围．【变式1】（24-25高二上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【变式2】已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围为___________．题型05与圆有关的对称问题【典例】（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（

）A． B．C． D．【变式1】（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（23-24高二下·云南昆明·月考）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．【变式3】（23-24高二上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（

）A． B． C． D．题型06利用点与圆的位置关系求最值【典例】（24-25高二上·辽宁·月考）已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（

）A．3 B．5 C．7 D．9设圆A的方程，圆心，点是圆A上的动点，点为平面内一点；记;（1）若点在外，则;（2）若点在上，则;（3）若点在内，则;【变式1】（24-25高二上·湖北·期中）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（

）A．1 B．7 C．13 D．15题型07利用圆的知识求代数式的最值【典例】已知实数x,y满足方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，则的最大值为________．对于有些关于x,y的代数式的最值问题，若x,y满足的关系式可视为圆的方程，则往往可构造圆，借助圆的知识求最值,即利用该代数式的几何意义求解.【变式1】已知x,y满足(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x＋y的最大值和最小值分别为.【变式2】已知x,y满足方程x2＋y2－2x＝0，则2x2＋y2的最大值与最小值分别为.一、单选题1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为(2,2)且过原点的圆的方程是（

）A．x2+yC．(x−2)2+(y−2)2．（2024高二·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4上的点到点(1，0)的距离的最大值为（

）A．1 B．2C．3 D．53．（24-25高二上·浙江杭州·月考）若点在圆外，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（

）A．5 B．6 C．25 D．366．（24-25高二上·重庆·期末）方程|x|−2=1−(y−1)2A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形ABC的一个顶点为A2,2，底边的一个端点为B0,0，则底边的另一个端点C的轨迹方程为（A．x−12+y−12=1（x≠0且x≠1） B．x−2C．x−12+y−12=1（x≠0且x≠4） D．x−28．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系O−xy中，A3,0，B0,−3，动点Px,y满足PB=2PAA．6−22 B．6 C．6+22二、多选题9.．（24-25高二上·青海海南·期中）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（

）A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．在圆外10．（24-25高二上·福建福州·期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（

）A． B．C． D．11．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（

）A． B．C． D．三、填空题12.（24-25高三下·海南·阶段练习）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为.13．（24-25高二上·重庆渝中·期末）若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离最大值为．14．（24-25高二上·广东广州·期末）某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度AB=24m，拱高OP=6m，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则A

四、解答题15．（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程：(1)圆心为C−3,4，半径是5(2)圆心为C−8,3，且经过点M16．（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在y轴上，并且过原点和−3（2）求圆C:x+12+17.（24-25高二上·四川眉山·期末）已知圆M过C1,−1，D−1,1两点，且圆心M在(1)求线段CD的垂直平分线l的方程；(2)求圆M的标准方程18．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已