专题4.1~4.2 直线的方向向量与平面的法向量用向量方法研究立体几何中的位置关系（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册（原卷版）

33/43专题4.1~4.2直线的方向向量与平面的法向量，用向量方法研究立体几何中的位置关系教学目标1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.教学重难点1.重点能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明.2.难点通过本节课的学习，提升平面向量、空间向量的知识相结合的综合能力，准确将平面向量、空间向量的概念，定理等内容与平面几何、空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础.知识点01直线的方向向量与直线的向量表示1．直线的方向向量设点A，B是直线上不重合的任意两点，称eq\o(AB,\s\up6(→))为直线l的．2．直线的向量表示已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量．那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得，这个式子称为直线l的向量表示．【知识剖析】1.在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线l平行或重合．2．与直线l平行的任意非零向量eq\o(a,\s\up6(→))都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．3．给定空间中任意一点A和非零向量eq\o(a,\s\up6(→))，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量eq\o(a,\s\up6(→))的直线．4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．【即学即练】1．（25-26高二上·河南漯河·阶段练习）已知直线l经过两点，向量是直线l的一个方向向量，则n=（

）A．-3 B．-2 C．2 D．3知识点02平面的法向量1.平面的法向量如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把叫做平面α的法向量，则n⊥α.2．平面α的方程在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，则称为平面α的方程．【知识剖析】利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(n,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,\o(n,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝0))有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可．【即学即练】1．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（

）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（

）．A． B． C． D．知识点03空间中平行关系的向量表示设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则线线平行(线线不重合)l∥m⇔线面平行(线不在平面内)l∥α⇔面面平行(两个平面不重合)α∥β⇔【易错警示】零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量，这是因为直线的方向向量与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置，而零向量的方向是任意的，无法用零向量来描述空间直线与平面的位置．【即学即练】1．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（

）A．3 B． C．1 D．2．（25-26高二上·天津·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是．知识点04空间中垂直关系的向量表示设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则线线垂直l⊥m⇔l⊥m线面垂直l⊥α⇔l∥n1面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2【即学即练】1.（25-26高二上·云南·期中）已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（

）A． B．1 C． D．22．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则知识点05三垂线定理及其逆定理（拓展）1.三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直.2．三垂线定理的逆定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的投影.3.利用两定理证明线线垂直的“三步曲”一定“线面”——即先定下一个基础平面和这个平面内的一条直线.二找“三线”——即再找这个平面的一条垂线、一条斜线及这条斜线在这个平面内的射影.三证“垂直”——即最后证明平面内的这条直线与斜线或斜线在平面内的射影垂直.【即学即练】1.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：对角线A1C⊥平面C1BD．题型01求平面的法向量【典例1】已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为．求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出．【变式1-1】在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（

）A． B． C． D．【变式1-2】在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量坐标可以作为平面的一个法向量的是（

）A． B．C． D．题型02利用向量方法证明线线平行【典例2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．证明线线平行的依据与思路证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝λb(λ∈R)．利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．【变式2】长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.题型03利用向量方法证明线面平行【典例3】如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．【变式3-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．(1)写出点，，的坐标；(2)求平面的一个法向量；(3)证明：直线平面．【变式3-2】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面.题型04利用向量方法证明面面平行【典例4】在正方体中，若为中点，为中点.

求证：(1)；(2)平面；(3)平面平面．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.【变式4-1】如图，在长方体中，，，.(1)求证：平面平面.(2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.【变式4-2】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：

(1)平面；(2)平面平面．题型05利用向量方法证明线线垂直【典例5】（25-26高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明：(1)；(2)平面．利用空间向量证明两直线垂直的方法建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示，再证明其数量积为0.【变式5】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）正方体的棱长为2，且分别为线段与线段的中点．(1)求线段的长；(2)证明：；(3)用空间向量法证明：直线与直线为一组异面直线．题型06利用向量方法证明线面垂直【典例6】如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，．求证：平面；利用空间向量证明直线与平面垂直的方法方法一1．建立空间直角坐标系；2．将直线的方向向量用坐标表示；3．找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；4．分别计算直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量的数量积，得到数量积为0.方法二1．建立空间直角坐标系；2．将直线的方向向量用坐标表示；3．求出平面的法向量；4．证明直线的方向向量与平面的法向量平行．方法三利用基向量法证明直线与平面内两相交直线垂直.【变式6-1】如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心.(1)求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积；(2)求证：平面.【变式6-2】（安徽省皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，.(1)用向量，，表示，.(2)为何值时，最小，最小值是多少？(3)当时，证明：平面ABCD.题型07利用向量方法证明面面垂直【典例7】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明：(1)平面；(2)平面平面．1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．2．利用法向量证明面面垂直思路比较简单，但往往运算量大；而利用面面垂直的判定定理证明则运算量较小，但思维难度比较大，这两种策略同学们要灵活选择．【变式7】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：

(1)平面平面；(2)平面平面.题型08空间向量中的平行、垂直动点问题【典例8】（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.(1)求多面体的体积；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.利用向量解决线面位置关系的动态型问题时，一般先合理设出参数，用参数表示出动点的坐标，然后利用位置关系，结合向量的有关运算得到参数的方程，转化为方程问题求解.【变式8-1】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为为棱上的动点，为棱上的动点，__________，试问是否存在点满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式8-2】已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.

(1)求证：；(2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.一、单选题1．（25-26高二上·北京房山·阶段练习）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直2．（25-26高二上·四川成都·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为（

）A． B．或 C． D．3．（25-26高二上·辽宁·期中）若直线∥平面α，且l的方向向量为，平面α的法向量为，则为（

）A．4 B．1 C． D．4．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两条不同直线的方向向量分别为，则这两条直线（

）A．相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（

）A． B． C． D．6．（25-26高二上·广东揭阳·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．（25-26高二上·四川内江·阶段练习）在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（）A． B．2 C． D．38．（23-24高二上·河北石家庄·月考）如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（）A． B． C． D．二、多选题9．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）已知、分别为直线、的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．10．（25-26高二上·浙江·阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，，分别是，的中点，则下列结论错误的是（

）A． B．平面C．平面 D．平面11．（2025·陕西西安·三模）如图，在多面体中，四边形是矩形，，平