专题05 双曲线18大考点50题（高效培优期中专项训练）（解析版）高二数学上学期北师大版

6/44专题05双曲线考点01利用双曲线定义求轨迹（共4小题）(重点) 1考点02由双曲线方程求参（共3小题） 4考点03求双曲线的标准方程（共3小题）（重点） 5考点04利用双曲线定义求最值（共3小题）（难点） 7考点05双曲线的焦点三角形问题（共4小题（常考点） 9考点06双曲线的渐近线（共4小题）（重点） 12考点07双曲线的离心率（共4小题）（重点） 15考点08双曲线离心率的取值范围（共3小题） 19考点09双曲线焦点三角形的内切圆问题（共3小题）（难点） 20考点10双曲线第三定义的应用（共2小题） 24考点11共焦点椭圆与双曲线（共2小题） 26考点12利用双曲线求代数式的取值范围（重点） 27考点13双曲线中的最值或取值范围问题（共2小题）（重点） 30考点14双曲线的对称性（共2小题）（重点） 32考点15双曲线的光学性质（共2小题）（常考点） 33考点16双曲线的实际应用（共2小题） 35考点17双曲线中的文化题、新定义题（共3小题）（难点） 37考点18双曲线性质的综合应用（共2小题）（难点） 39考点01利用双曲线定义求轨迹（共4小题）1．（2025高二·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义求解即可.【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支，且，，所以其轨迹方程为，故选:C．2．（2024高三·全国·专题练习）一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，根据圆过点及与圆B外切得，利用双曲线的定义即可求解轨迹方程.【详解】设动圆圆心为点，连接PB，PA，则，则，所以点P的轨迹是以，为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支．设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，．所以动圆圆心的轨迹方程为．故选：A3．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可.【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，因为，且，所以，且为中点，所以，且，因此，，所以点在以，为焦点的双曲线上，设的方程为，可知，所以，又，则，所以的方程为，即，又点是圆外一点，所以，即，故所求轨迹方程为.故选：B4．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程.【详解】由圆，可得标准方程为，所以圆心，半径为，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即，设，则，代入，可得，整理得，即点的轨迹方程为.故选：A.考点02由双曲线方程求参（共3小题）5．（25-26高三上·江西·阶段练习）“”是方程“”表示双曲线的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据方程表示双曲线，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】若方程表示双曲线，则满足，解得或，所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件.故选：A.6．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（

）A．圆，椭圆，两条直线，双曲线B．圆，椭圆，双曲线C．椭圆，一条射线，双曲线，圆D．圆，椭圆，一条直线，双曲线【答案】A【分析】根据的变化规律得出对应的余弦值的大小，再由圆、椭圆、双曲线等标准方程对应即可得出结论.【详解】①当时，，曲线，表示圆；②当时，，曲线表示椭圆；③当时，，曲线即，表示两条直线；④当时，，曲线表示双曲线.故选：A.7．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知方程，则下列说法正确的有（

）A．若，此时方程为椭圆，离心率为B．若，此时方程为双曲线，其渐近线为C．若方程表示双曲线，则D．若方程表示椭圆，则【答案】AB【分析】AB求出具体的方程可判断；C根据可求；D根据，，可求.【详解】若，则为椭圆，，则离心率为，故A正确；若，则为双曲线，则渐近线方程为，故B正确；若方程表示双曲线，则，得或，故C错误；若方程表示椭圆，则，得且，故D错误.故选：AB考点03求双曲线的标准方程（共3小题）8．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据渐近线的倾斜角可得，即可由焦距以及的关系列方程求解.【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故，又和，解得，故双曲线方程为，故选：A9．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为．【答案】【分析】与双曲线共离心率的双曲线方程可设为或，代入点的坐标求解.【详解】设与双曲线共离心率的双曲线方程为或，因为双曲线过点，所以，（舍去），所以双曲线的方程为，即．故答案为：．10．（25-26高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，经过点，焦点在轴上；(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点；(3)过点，且焦点在坐标轴上．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，代入点，计算求得，即得双曲线方程；（2）依题设所求双曲线方程为，代入点，计算求得的值，回代入方程即得双曲线方程；（3）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，回代入方程即得双曲线方程.【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且，则可设双曲线的标准方程为，因双曲线经过点，可得，解得，故双曲线的标准方程为.（2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点，故可设所求双曲线方程为．又双曲线过点，则得，解得或（舍去）．故双曲线的标准方程为．（3）设双曲线的方程为，．点，在双曲线上，则有解得，双曲线的标准方程为．考点04利用双曲线定义求最值（共3小题）11．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．1【答案】D【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解．【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则，因为，而，所以，当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1．故选：D．12．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（

）A．7 B．6 C．5 D．【答案】B【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.【详解】由圆可化为，则，半径为1，因为是的下焦点，则，由双曲线定义可得，所以，当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是.故选：B.13．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.【答案】(1)(2)23【分析】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出，，，即可得到双曲线的方程；（2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可.【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）设双曲线的左焦点为，则，由双曲线的定义知：，则，可得，当，，三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.考点05双曲线的焦点三角形问题（共4小题）14．（2025高三·全国·专题练习）为双曲线上的任意一点，为焦点，若，则三角形的面积为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义和余弦定理以及三角函数二倍角公式即可求解.【详解】设，，，列，所以．，故选：A．15．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可.【详解】由题意得，，所以①，在中，由余弦定理得，即②，联立①②，解得，因为，所以在和中，由余弦定理，得，结合，可得，所以，所以，所以，得，所以，所以，解得．故选：A16．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（

）A．16 B． C．32 D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积.【详解】由双曲线的实轴长为4，得，所以，又，所以，因为，所以，又，所以，又，所以为等腰直角三角形，由，得，所以的面积为.故选：A.17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为．(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；(2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程.（2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解.【详解】（1）椭圆的焦点为和，依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）设，，则由双曲线的定义得，在中，，则，所以的面积.考点06双曲线的渐近线（共4小题）18．（25-26高三上·北京·开学考试）若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线定义求出，再由双曲线方程求出其渐近线方程.【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则有，得，所以双曲线的渐近线的方程为.故选：C19．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用双曲线的性质，结合离心率可求渐近线方程.【详解】由题意知，所以，所以的渐近线方程为，即为，故选：A．20．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为.【答案】【分析】设的方程为，联立渐近线方程求出纵坐标，根据中点坐标公式结合列方程组求解可得.【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为，双曲线的渐近线方程为，联立解得，由解得，由题知，，即，整理得①，因为，记的中点为，则，，所以，整理得②，②代入①得，整理得③，③代入②整理得，即，因为，所以，所以，又，所以，即，所以渐近线方程为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：关键在于中点坐标公式和垂直直线的斜率关系列方程，化简得到齐次式即可得解.21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是．【答案】【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得，再求的正切值，进而即可求得渐近线方程.【详解】根据题意，作图如下：

依题意，为的角平分线，且，设，由角平分线定理可得：，则；在中，由余弦定理；在中，由余弦定理可得，，即，解得.故，，所以的渐近线方程是．故答案为：.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：①直接求出，从而得解；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，从而得解；③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.考点07双曲线的离心率（共4小题）22．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据通径的性质以及等边三角形的性质即可求解.【详解】由于是等边三角形，故,由于通径长，所以，故，进而，故，即，故，故选：D

23．（24-25高二上·天津滨海新·期中）双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】利用双曲线的定义将转化为，然后利用三点共线时取最小值求解即可.【详解】∵，，∵周长的最小值为14，∴的最小值为14，即的最小值为，设右焦点为，则，即，则，即三点共线且依次排列时等号成立，此时，即最小值为，得，∵，∴离心率.故选：A.24．（2025·河南·二模）已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则.【答案】/【分析】设，在中利用正弦定理，再结合双曲线的定义可得到的关系式，即可求出.【详解】由题意可知，与渐近线垂直，则直线的斜率为，设，则，所以，，，，，在中利用正弦定理得，，，由双曲线定义知，，即，化简得，.故答案为：.25．（2025·广东佛山·一模）直线过双曲线的左焦点，交的渐近线于两点．若，且，则的离心率为．【答案】【分析】先判断出直线的斜率，由此求得直线的方程，通过联立方程求得两点的坐标，再根据比例列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的左焦点，到渐近线的距离为所以直线与渐近线垂直，所以直线的斜率为，直线的方程为，设，联立，消去并化简得点横坐标为.联立，消去并化简得点横坐标.因为，所以.即，，，.，，，，，，又因为，所以双曲线的离心率.故答案为：【点睛】方法点睛：利用双曲线焦点到渐近线的距离与已知条件建立联系，确定直线与渐近线的位置关系，进而得到直线方程，这是解决本题的关键之一.通过联立直线与渐近线方程求出交点坐标，再结合向量关系列出等式，最后利用双曲线的基本性质和离心率公式求解离心率，这是处理此类双曲线与直线、向量综合问题的常见方法.考点08双曲线离心率的取值范围（共3小题）26．（2025·河北邯郸·一模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】由已知，设，则，两式相加得，又，所以，又，所以，当轴时最小，此时，所以，又，则，整理得，又，两边除以得，解得，又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是.故选：B.27．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）在双曲线的右支上有一点，过点的直线交的两条渐近线于两点（点均在轴的右侧）.若，且（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可求出点，将其坐标代入双曲线的方程可得求出，代入，即可求出的范围，进而求出双曲线的离心率的取值范围.【详解】由双曲线的对称性，设.由，可得，即.将其坐标代入双曲线的方程，得，化简得因为双曲线的渐近线方程为：，因为，所以，所以，.故选：B.考点09双曲线焦点三角形的内切圆问题（共3小题）28．(多选)（21-22高三上·全国·阶段练习）若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．点的运动轨迹为双曲线的一部分C．若，，则D．的最小值为9【答案】CD【分析】根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D.【详解】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则的横坐标为，由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；由且，解得：，∴，则，∴，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设△的内切圆的半径为，则，解得，即，∴，由，可得，解得，故，C正确；若与关于y轴对称，则且，而，∴，故要使的最小，只需三点共线即可，易知：，D正确.故选：CD.29．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为．【答案】/【分析】先根据双曲线的定义及内切圆的概念，判断与内切圆圆心在直线上，判断，表述出两内切圆的半径，根据可求双曲线的离心率.【详解】如图：设的内切圆圆心为，与各边的切点分别为，，，根据切线长定理，可得，，，根据双曲线的定义：，所以，又，所以，所以点坐标为，即为双曲线的左顶点.即在直线上.设的内切圆圆心为，同理可得点在直线上.根据内切圆的概念，可得、分别平分、，所以.设，则.因为，所以，同理.所以.又，所以，因为，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据双曲线的概念和内切圆的定义，先判断出与的内切圆圆心在直线上.30．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为．【答案】2/【分析】先根据等腰三角形的性质及双曲线的定义求出的值，再结合双曲线中的关系求出，从而可求出双曲线的离心率；对于求内切圆的半径，先求出直线的斜率，则可求出直线的方程，代入双曲线方程可求出点的坐标，从而可求出，然后利用三角形面积与周长关系求解即可.【详解】由，得，则，因为过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，所以或，所以，得，所以，得，解得，所以离心率为，因为直线的斜率大于零，是腰长为8的等腰三角形，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，因为，所以直线为，由，得，解得或，因为直线的斜率大于零，点在第一象限，所以，，所以，所以，因为，所以，设圆的半径为，则，所以，解得.故答案为：2，【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率问题，考查双曲线的焦点三角形问题，解题的关键是根据题意结合双曲线的定义在等腰中求出直线的斜率，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.考点10双曲线第三定义的应用（共2小题）31．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一，由双曲线的第三定义可求；方法二，由离心率得，再由点差法和斜率公式可求.【详解】方法一，

由双曲线的性质可得，且，．方法二，

由题易知解得，双曲线的方程为．由题知关于坐标原点对称，设，，，由得．直线的斜率分别为，且，，，，．32．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为．【答案】【分析】作图，取的中点并连接，得到，，从而求出直线的斜率，设，，利用点差法得到的值，再根据离心率的公式计算即可得结果.【详解】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接，由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，所以．由直线的斜率，得，则直线的斜率．设，，则两式相减，得，化简得，即，所以该双曲线的离心率．故答案为：考点11共焦点椭圆与双曲线（共2小题）33．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】设为第一象限的交点，，，由椭圆、双曲线定义可得，，结合余弦定理、离心率公式可得，由不等式及其取等条件即可求解.【详解】设为第一象限的交点，，，则，，解得，，在中，由余弦定理得，，，，，，，即，当且仅当，即，时等号成立，此时，故选：D．34．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆、双曲线的定义结合勾股定理整理可得，结合解得，进而可求渐近线方程.【详解】设椭圆的半长轴长为，双曲线的半实轴长为，半虚轴长为，焦距均为，，，，则，，由题意可得：，因为，则，可得，即，又因为，即，可得，解得，可得，且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为.故选：D.考点12利用双曲线求代数式的取值范围35．（22-23高二上·辽宁锦州·期末）已知实数x，y满足，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】对的正负分类讨论，去掉绝对值转化为相应的曲线方程，根据的几何意义利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】依题意，当时，方程为，是双曲线在第一象限的部分；当时，方程为，不能表示任何曲线；当时，方程为，是双曲线在第三象限的部分；当，方程为，是椭圆在第四象限的部分；其图象大致如图所示：的几何意义是曲线上的点到直线的距离的两倍，双曲线的渐近线与平行，所以曲线在第一、三象限上的点到的距离，由图象可知直线与椭圆在第四象限的部分相切时，距离取得最小值，设切线为：且，由，可得，由，解得或（舍去），所以曲线在第四象限上的点到的距离.所以的取值范围是：.故选：A.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．36．（2025·北京东城·一模）已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分析出曲线表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，再分情况讨论当取不同值时，表示的不同曲线，及与曲线的交点个数情况即可得到结果.【详解】因为有且只有两个元素，所以曲线与有且只有两个交点.对于曲线变形可得，表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，对于曲线，（1）当时，如图所示，表示的是一条直线，与交于，两点，符合题意；（2）当时，，与至多有一个交点，不符合题意；（3）当时，表示的是两条射线，，①当时，表示的是和两条射线，与仅有一个交点，如下图所示，所以不符合题意；②当时，与轴的交点为，，且的斜率，的斜率，而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，所以与的左右两支各有一个交点，如下图所示，所以符合题意；③当时，与轴的交点为，，且的斜率，的斜率，而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，如下图所示，所以符合题意；综上，实数的取值范围为.故选：D考点13双曲线中的最值或取值范围问题（共2小题）37．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是．【答案】【分析】设，则，数形结合分析得，即可得.【详解】设，则，则或为锐角，如下图，设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点，设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点，由题意知，，则，解得.38．（2025高三·全国·专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点（除右顶点），若平面内存在一点满足是的角平分线，是的外角平分线，则的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，作出图象，结合图象和的运动轨迹，即可求解.【详解】由已知得，则，作图如下.

设点，且，而，则且，故，而在直线，的下方程，故且，故，而，所以，故，即，所以，则有，结合双曲线方程消元，得，所以.故答案为：.考点14双曲线的对称性（共2小题）39．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据直角三角形的性质可得，由双曲线的定义及对称性可得，由此可求，进而可得的面积．【详解】因为双曲线，所以，设左焦点为，由题意可知，关于原点对称，所以，由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得，所以，可得，又，所以，所以的面积为．故选：B．40．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据题意得且，则，根据双曲线定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出其方程即可得解.【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点，又为的中点，所以且．连接，因为点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，由垂直平分线的性质可得，所以，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，，所以，所以曲线的方程为，令可得，即．考点15双曲线的光学性质（共2小题）41．（24-25高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有所以根据椭圆的定义由所以路程故选：B.42．（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率.【详解】由题意知延长则必过点，，设，则，，由双曲线的定义可得，，由可得，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得解得：，则，故选：D考点16双曲线的实际应用（共2小题）43．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（

）A．3米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断.【详解】根据题意，，，故，解得，即，则当水面宽度为米时，即时，解得，，因此，拱顶M到水面的距离为.故选：D44．（24-25高二上·辽宁·期中）某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（

）A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西【答案】A【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论.【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上，因为、比处同时晚收到信号，所以有，从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则，如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向，建立如下图所示的平面直角坐标系，则、，，所以，双曲线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，即，联立，解得，即点，从而，所以，直线的倾斜角为，则在处测得的方向角为北偏东，故选：A.考点17双曲线中的文化题、新定义题（共3小题）45．（25-26高三上·湖南·开学考试）若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由3型双曲线定义可知双曲线的方程为，且，求得，即可求出渐近线方程.【详解】由新概念可知，的3型双曲线的方程为，且，所以，即，则，所以的3型双曲线的渐近线为.故选：D.46．（23-24高三上·河北·期末）我们把形如：和：的两个双曲线叫做共轭双曲线.已知与互为共轭双曲线，且的离心率，则的离心率（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由共轭双曲线的定义分别写出关于参数a,b的表达式，即可确定答案.【详解】由，得，，解得.故选：C.47．（2025·山东枣庄·二模）设，记曲线与直线，轴所围成的封闭区域的面积为，数学家牛顿研究发现：，则（

）A． B．C．S D．【答案】AD【分析】结合题设新定义判断ABC；设直线分别与曲线交于两点，与轴交于两点，结合图形可得表示梯形ABCD的面积，进而根据图形判断D.【详解】对于A，由题意，，而，所以，故A正确；对于B，，，则，所以，故B错误；对于C，，令，则，而，故C错误；对于D，如图，设直线分别与曲线交于两点，与轴交于两点，则，则梯形ABCD的面积为，由图可知，，故D正确.故选：AD.考点18双曲线性质的综合应用（共2小题）48．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为，，为椭圆上的一个动点