专题08 空间向量及其运算13大考点40题（高效培优期中专项训练）（解析版）高二数学上学期北师大版

12/27专题08空间向量及其运算考点01空间向量的概念（共3小题） 1考点02空间向量的线性运算（共3小题） 2考点03空间向量的数量积及其性质的应用（共3小题）（重点） 5考点04空间向量共线的判定及应用（共4小题）（重点） 7考点05空间向量基本定理的应用（共4小题）（重点） 9考点06空间共面向量的应用（共4小题）（重点） 11考点07空间向量的坐标运算（共5小题）（重点） 13考点08利用空间向量解决模长问题（共3小题）(常考点) 14考点09利用空间向量解决夹角问题（共2小题）（常考点） 15题型10利用空间向量解决平行或垂直问题（共2小题）（常考点） 16题型11利用空间向量求线段的长（共3小题） 19题型12空间向量的综合应用（共2小题）（难点） 21题型13利用函数思想求解与空间向量有关的取值范围或最值问题(共3小题)(难点) 23考点01空间向量的概念（共3小题）1.下列命题中正确的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空间任意两个向量共面 D．若a→∥b→【答案】C【解析】A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确；D．若a→∥b→，则存在唯一的实数λ，使使综上可知：只有C正确．故选：C．2.（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）下列关于空间向量的说法正确的是（

）A．零向量是任意直线的方向向量B．方向相同的两个向量是相等向量C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量【答案】D【分析】A选项，根据直线的方向向量的定义得到A错误；B选项，根据相等向量定义得到B错误；C选项，根据空间向量基底的定义得到C错误；D选项，由空间向量和平面向量的定义进行判断.【详解】A选项，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，A错误；B选项，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误；C选项，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，C错误；D选项，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，D正确.故选：D3.（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题：①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②在正方体中，必有；③若空间向量满足，则；④空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可.【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题；对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题；对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题；对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题.故选：B考点02空间向量的线性运算（共3小题）4.（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合.【详解】是的中点，，又，由，.故选：.5.平行六面体中，，则实数的值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【详解】，所以，故选：C.

6.（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案.【详解】连接，因为是的中点，所以，

因为底面为直角三角形的直棱柱，所以四边形为长方形，又因M，N分别是的中点，所以，则，又因，所以可得，解得，所以.故选：A.考点03空间向量的数量积及其性质的应用（共3小题）7.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（）

A．1 B．－1 C． D．【答案】A【解析】，所以．故选：A．8.（多选）如图，在平行六面体中，为的中点，则（

）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】依题意可得，同理，，故C正确；连接，则，故A正确；，故B错误；，故D正确.故选：ACD.9.如图，在空间四边形中，点为的中点，，设.(1)试用向量表示向量；(2)若，求的值.【详解】（1），.（2）因为，所以，所以，，所以考点04空间向量共线的判定及应用（共4小题）10.（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可.【详解】因为，，，所以，又，，三点共线，所以，则存在实数使得，即，又，，不共面，所以，解得，所以.故选：C11．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（

）A．B．、、三点共线C．与是异面直线D．【答案】B【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答.【详解】在平行六面体中，令，，，则，，，，因为不共线所以与不平行，故A错误.，，即有，，有公共点，所以、、三点共线，B选项正确.因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线，故C选项错误.因为，所以，故D选项错误.故选：B12.如图所示,在空间四面体ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=【分析】结合图形特征,利用向量证明四边形的一组对边平行且不相等,即可证明四边形EFGH是梯形.【证明】∵E,H分别是AB,AD的中点,∴AE=12AB,AH=∵CF=23CB,CG=23CD,∴CB=32∴EH=AH-AE=12AD=12(AD-AB)=12BD=12(=1232CG-32CF=∴EH∥FG且|EH|=34|FG|≠|FG∵E∉FG,∴EH∥FG且EH=34因此四边形EFGH是梯形.考点05空间向量基本定理的应用（共4小题）13.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由基底的概念逐项判断即可.【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底；对于B：设，所以，无解，所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确；对于D：设，则，所以，无解，所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确；故选：BCD14.（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可.【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合；对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合；对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确.对于D项，设不能作为空间的一个基底，则存在实数，使得，由于是空间的一组基底，则满足，故不存在使得，故能作为空间的一个基底，D正确，故选：CD15.（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，用基底{a，b，c}表示向量得（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】应用空间向量对应线段的位置及数量关系，结合向量加减、数乘的几何意义用表示即可.【详解】.故选：A16.在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).【详解】连结AC、AD′.（1）==＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋)=＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c；(3)=eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[()＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)(＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c；(4)＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.考点06空间共面向量的应用（共4小题）17.对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【详解】解：若，则，即，由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面；反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时，，可取任意值，不一定有，所以是，，，四点共面的充分不必要条件．故选：B．18.（25-26高二上·全国·单元测试）对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．【详解】空间任意一点和不共线的三点，令，若，则，，，，所以四点共面，所以充分性成立；若四点共面，当与四个点中的一个（比如点）重合时，，可取任意值，不一定有，即不一定有，所以不能得到，故必要性不成立，所以“”是“四点共面”的充分不必要条件，故选：B.19.（25-26高三上·四川成都·开学考试）在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据空间向量共面的性质列式求解.【详解】因为，且点P在平面内，根据共面向量定理的推论，若空间四点共面，点为空间任意一点，则，且,，解得故选：B.20.（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（

）A．4 B．5 C． D．9【答案】C【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】因为四点共面，所以由共面定理可得，，即，所以，因为，当且仅当，即，即时，等号成立，所以，故选：C.考点07空间向量的坐标运算（共5小题）21.在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解.【详解】因为，则点关于轴对称的点为，又，则点关于平面对称的点为.所以.故选：B.22.已知满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得，根据数量积的运算律结合，即可得的值．【详解】由已知，，所以，又，所以.故选：D.23.（25-26高二上·全国·课后作业）设为空间中三个不同的向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关．若，，线性相关，则（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D【分析】根据题设线性相关的定义，令，应用坐标表示列方程且不同时为0，求参数.【详解】由，，线性相关，则，即，不同时为0，解得.故选：D24.（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可.【详解】由题设，，又与互相垂直，则，解得.故选：C25,（25-26高二上·全国·课堂例题）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则．【答案】【详解】∵，，，.∴，，．若四点共面，则，即，所以，所以．考点08利用空间向量解决模长问题（共3小题）26．在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先求出的坐标，再利用空间向量的模长公式解方程即得.【详解】由，，可得，由，可得，解得.故选：A.27.（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为.【答案】【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解.【详解】因为向量，，所以向量在向量上的投影向量，其模为.28．、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则．【答案】【详解】因为，与、的夹角都是，且，，，则，，，则，所以.考点09利用空间向量解决夹角问题（共2小题）29．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解.【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于，所以，所以，结合得则向量夹角的余弦值为.故选：D.30.（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为．【答案】【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可.【详解】因为，且的夹角为钝角，所以且与不共线（反向），由，则，解得，当与共线时，，则，解得，综上可得实数的取值范围为.题型10利用空间向量解决平行或垂直问题（共2小题）31.(25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐标系，求出相应点的坐标，设,根据平行，可求得的坐标，进一步求出来结果.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．因为平面，所以可设，则，由于，所以，，解得，，所以，.故选：A32.（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（

）A．直线与直线始终异面 B．直线与直线可能垂直C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直【答案】B【分析】利用空间向量垂直的关系可判断BD选项；证明出平面，可判断C选项.【详解】：为等边三角形，为的中点，，又平面，平面，如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设，对于B，，，若，则，，，，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误；对于C，，，若，则，，，故当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确；对于D，，，若，则，，或，故当点在的位置或为中点时，直线与直线垂直，故D正确；法二：对于B，设，则，，若直线与直线垂直，则，，，，解得，，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误；对于C，连接、，如图3，，为的中点，，平面，平面，，，、平面，平面，又平面，，当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确；对于D，，，，解得或，故当在点的位置或为中点时，，故D正确.故选：B．题型11利用空间向量求线段的长（共3小题）33.在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接,因为平面，平面，设，则，又平面，所以平面，故K为与平面的交点，又因为与平面交于点F，所以F与K重合，又E为的中点，G为平面的重心，因为点A，F，G三点共线，则又因为点E，F，H三点共线，则，,所以，解得，即，故.故选：C.34.在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为．【答案】【详解】设点在直线上的投影分别为，因为，则，由的面积可得，则，，且为边的中点，可得，，由二面角的平面角为，可得，因为，即，所以空间中线段的长为.35.（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间三点，，，则在中边上的中线长为，以为邻边的平行四边形的面积为．【答案】【分析】根据已知确定边上的中点坐标，应用空间两点距离公式求中线长，再由向量夹角的坐标运算求得，再由三角形面积公式及平行四边形的性质求面积.【详解】由题设，边上的中点坐标是，所以边上的中线长，由题意得，，所以，，，所以，因为，所以，所以为邻边的平行四边形的面积为.题型12空间向量的综合应用（共2小题）36.（多选）（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（

）A． B．正三棱柱的体积为C．若，则 D．直线与是异面直线【答案】ACD【分析】由正三棱柱的性质可判断A；由棱柱的体积公式可判断B；建立空间直角坐标系利用可判断C；设，计算出可判断D.【详解】因为平面，平面，所以，故A正确；正三棱柱的体积，故B错误；取的中点，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，，因为，为中点，所以，设，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，若，即，所以，故C正确；，设，即，解得，与矛盾，所以不是共面向量，即与是异面直线，故D正确.故选：ACD37.（多选）（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，且M为A₁C₁与B₁D₁的交点