【3套】人教版九年级数学下册同步练习：第二十八章-本章复习课

PAGE人教版九年级数学下册同步练习：第二十八章本章复习课_人教版初中数学九年级下册第28章锐角三角函数本章复习课类型之一锐角三角函数的定义1.[2018·柳州]如图28－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝(A)图28－1A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,7)D.eq\f(3,4)【解析】由勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5.根据正弦的定义，得sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5).2．[2018·衢州]如图28－2，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为(C)图28－2A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,3)【解析】∵BC＝6，∴圆锥侧面展开扇形的弧长，即底面圆的周长为6π，∵S扇形＝eq\f(1,2)×6πr＝15π，∴r＝5，即圆锥的母线长为5，∵AO⊥BC，BO＝eq\f(1,2)BC＝3，∴在Rt△ABO中，AO＝4，∴sin∠ABC＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(4,5).3．[2018·娄底]如图28－3，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα－cosα＝(D)图28－3A.eq\f(5,13) B．－eq\f(5,13)C.eq\f(7,13) D．－eq\f(7,13)【解析】∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋(7＋AC)2＝132，整理得AC2＋7AC解得AC＝5，AC＝－12(舍去)，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝12，∴sinα＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(5,13)，cosα＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(12,13)，∴sinα－cosα＝eq\f(5,13)－eq\f(12,13)＝－eq\f(7,13).类型之二特殊角的三角函数值4．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，则∠C＝__60°__．【解析】∵在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.5．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α—β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；sin(α—β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.类似地，可以求得sin15°的值是__eq\f(\r(6)－\r(2),4)__．6．[2018·天水]eq\r(4)＋(－3)2＋20180×|1－eq\r(3)|＋tan45°－2sin60°.解：原式＝2＋9＋1×(eq\r(3)－1)＋1－2×eq\f(\r(3),2)＝11＋eq\r(3)－1＋1－eq\r(3)＝11.类型之三解直角三角形7．[2018·常州]某数学研究性学习小组制作了如图图28－4的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O转，从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是(D)A.eq\f(5,8)B.eq\f(7,8)C.eq\f(7,10)D.eq\f(4,5)图28－4第7题答图【解析】如答图，连接AD，由题意可知OA＝0.8，OD＝1，∵∠ODA＋∠DOA＝∠DOA＋∠BOA＝90°，∴∠ODA＝∠AOB，∵OD是直径，∴∠DAO＝90°，∴sin∠AOB＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(0.8,1)＝eq\f(4,5)，故选D.类型之四仰角、俯角问题8．[2017·邵阳]如图28－5，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°.ns后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这ns中上升的高度为__20eq\r(3)－20__km.图28－5【解析】先在Rt△ALR中，根据AR＝40km，∠ARL＝30°，求出AL＝20和LR＝20eq\r(3)，再在Rt△BLR中，求出BL＝LR＝20eq\r(3)，所以火箭在这ns中上升的高度AB＝BL－AL＝(20eq\r(3)－20)km.9．[2018·安徽]为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置了平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图28－6所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)．在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8m，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数，参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)图28－6第9题答图解：如答图，过点F作AB的垂线交AB于点H，交AE于点G，则FH∥DB，∴∠1＝45°，∠2＝∠3＝45°，∴∠FEG＝90°，在Rt△FDE中，sin∠1＝eq\f(FD,FE)＝eq\f(\r(2),2)，∴FE＝eq\r(2)FD，在Rt△FEG中，cos∠GFE＝eq\f(FE,FG)＝eq\f(\r(2),2)，∴FG＝eq\r(2)FE，∴FG＝2FD＝3.6(m)，设AH＝xm，则GH＝xm，FH＝(3.6＋x)m，在Rt△AFH中，tan∠AFH＝eq\f(AH,FH)＝eq\f(x,x＋3.6)≈0.82，解得x≈16.4，∴AB＝AH＋BH＝AH＋FD≈18(m)．答：旗杆AB的高度约为18m.类型之五方位角问题10．[2018·十堰]如图28－7，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离．(参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，结果取整数)图28－7第10题答图解：如答图，作CD⊥AB于D.在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，∠ACD＝90°－45°＝45°，∴CD＝AC·cos45°＝100×eq\f(\r(2),2)＝50eq\r(2)，在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝30°，∴BC＝2CD＝100eq\r(2)海里≈141海里．答：B处距离灯塔C有141海里．11．[2018·淮安]为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200m，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图28－8所示，求凉亭P到公路l的距离．(结果保留整数，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)图28－8第11题答图解：如答图，过P作PC⊥AB于C，在Rt△ACP中，tan∠APC＝tan60°＝eq\f(AC,PC)，即AC＝PCtan60°＝eq\r(3)PC，同理可得，BC＝PC，∵AB＝AC－BC＝eq\r(3)PC－PC＝200，∴PC＝100eq\r(3)＋100≈273.答：凉亭P到公路l的距离约为273m.类型之六坡度问题12．[2018·重庆A卷]如图28－9，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底面E处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7m，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2m，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1m，则旗杆AB的高度为(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)(B)A．12.6m B．13.1mC．14.7m D．16.3m图28－9第12题答图【解析】如答图，过点C作CN⊥ED的延长线于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥ED的延长线于点M，则MN＝BC＝1m.∵斜坡CD的坡比i＝1∶0.75，∴令CN＝x，则DN＝0.75x，在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝22，解得x＝1.6，从而DN＝1.2m，∵DE＝7m，∴ME＝MN＋ND＋DE＝9.2m，AM＝(AB＋1.6)m，在Rt△AME中，tan∠AEM＝eq\f(AM,EM)，即eq\f(AB＋1.6,9.2)＝tan58°，从而1.6≈eq\f(AB＋1.6,9.2)，解得AB≈13.12≈13.1(m)，故选B.类型之七解直角三角形与圆的综合13．如图28－10，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B.连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．图28－10第13题答图解：(1)证明：如答图，连接OB.∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°.∵OC⊥弦AB，∴AC＝BC，从而直线OP垂直平分线段AB.∴PA＝PB.又∵PO＝PO，OA＝OB，∴△PAO≌△PBO(SSS)，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴PB⊥OB.又∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线；(2)如答图，连接BD.∵OC⊥AB，AC＝4，∴AB＝2AC在Rt△AOC中，由勾股定理，得OA＝eq\r(OC2＋AC2)＝eq\r(32＋42)＝5，从而AD＝2AO＝10.∵AC＝BC，OA＝OD，∴BD＝2OC＝6.∵PB是⊙O的切线，∴∠EBD＋∠OBD＝90°.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABO＋∠OBD＝90°.∴∠ABO＝∠EBD.∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB.∴∠EBD＝∠EAB.又∵∠E＝∠E，∴△EBD∽△EAB.∴eq\f(ED,EB)＝eq\f(EB,EA)＝eq\f(DB,AB)，即eq\f(ED,EB)＝eq\f(EB,ED＋10)＝eq\f(6,8).∴DE＝eq\f(90,7)，OE＝eq\f(125,7).∴sinE＝eq\f(OB,OE)＝eq\f(7,25).14．[2018·临沂]如图28－11，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BD＝eq\r(3)，BE＝1，求阴影部分的面积．图28－11第14题答图解：(1)证明：如答图，过点O作OF⊥AC，垂足为点F，连接OD，OA.∵△ABC是等腰三角形，点O是底边BC的中点，∴OA是△ABC的高线，也是∠BAC的平分线，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，又∵OF⊥AC，∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(2)在Rt△BOD中，设OD＝OE＝x，则OB＝x＋1，由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋(eq\r(3))2，解得x＝1，即OD＝OF＝1.∵sin∠BOD＝eq\f(BD,OB)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BOD＝60°，∴∠AOD＝90°－∠BOD＝30°，∴AD＝AF＝OD×tan∠AOD＝eq\f(\r(3),3)，∴S阴影＝S四边形ADOF－S扇形DOF＝eq\f(1,2)AD×OD×2－eq\f(60,360)π×12＝eq\f(\r(3),3)－eq\f(π,6)＝eq\f(2\r(3)－π,6).

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优训练人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优训练选择题1.在△ABC中，∠C=90∘，AB=6，cosA=A.18 B.2 C.12 D.2.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为(B)A．3.5sin29°B．3.5cos29°C．3.5tan29°D．eq\f(3.5,cos29°)3.在Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是(C)A．sinA＝eq\f(\r(3),2)B．tanA＝eq\f(1,2)C.cosA＝eq\f(\r(3),2)D．以上都不对4.如图K－16－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(C)图K－16－3A．sinB＝eq\f(AD,AB)B．sinB＝eq\f(AC,BC)C．sinB＝eq\f(AD,AC)D．sinB＝eq\f(CD,AC)5.已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（A）．A.15m B.60m C.20m D.106.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝eq\f(12,13)，则小车上升的高度是(B)A．5米B．6米C．6.5米D．12米7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为(B)A.eq\f(\r(15),4)B．eq\f(1,4)C.eq\f(\r(15),15)D．eq\f(4\r(17),17)8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为(A)A.eq\f(\r(15),4)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(15),15)D.eq\f(4\r(17),17)9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足a2-ab-b2=0，则tanA等于（B）A.1 B.1+52 C.1-10.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(D)A．26米B．28米C.30米D．46米二、填空题11.如图，在菱形ABCD中，AE⊥DC于E，AE=8cm，sinD=23，则菱形ABCD的面积是______．

【答案】96cm212.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】513.△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝eq\f(3,4)，则BC的长______.【答案】2eq\r(7)14.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，则cos75°＝________．【答案】eq\f(\r(6)－\r(2),4)15．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降_______米(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)．【答案】280三、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=a．

（1）求sina、cosa、tana的值；

（2）若∠B=∠CAD，求BD的长．

解：在Rt△ACD中，

∵AC=2，DC=1，

∴AD=AC2+CD2=5．

（1）sinα=CDAD=15=55，cosα=ACAD=25=255，tanα=CDAC=12；

（2）在Rt△ABC中，

tanB=ACBC，

即tanα=217.如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长(精确到1米)(参考数据：eq\r(3)≈1.7)?解：(1)连接AP，由题意得AH⊥MN，AH＝15，AP＝39，在Rt△APH中，由勾股定理得PH＝36.答：此时汽车与点H的距离为36米；(2)由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，QC⊥AB，∠QDC＝30°，QC＝39.在Rt△DCQ中，DQ＝2QC＝78，在Rt△ADH中，DH＝AH·cot30°＝15eq\r(3).∴PQ＝PH－DH＋DQ≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)。答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长．18.如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，AC＝2，CD＝1，记∠CAD＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)若∠B＝α，求BD的长．解：(1)sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(1,2)；(2)BC＝eq\f(AC,tanα)＝eq\f(2,\f(1,2))＝4，∴BD＝BC－CD＝4－1＝3.19.某太阳能热水器的横截面示意图如图K－18－4所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80cm，AC＝165cm.(1)求支架CD的长；(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)图K－18－4解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80cm，∴cos30°＝eq\f(CD,80)＝eq\f(\r(3),2)，解得CD＝40eq\r(3)(cm)．即支架CD的长为40eq\r(3)cm.(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165cm，∴tan30°＝eq\f(OC,165)＝eq\f(\r(3),3)，解得OC＝55eq\r(3)(cm)，∴OA＝2OC＝110eq\r(3)cm，OB＝OD＝OC－CD＝55eq\r(3)－40eq\r(3)＝15eq\r(3)(cm)，AB＝OA－OB＝110eq\r(3)－15eq\r(3)＝95eq\r(3)(cm)．即真空热水管AB的长为95eq\r(3)cm.20.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=10，BD=8，CD=23．

（1）求AD的长．（2）求△ABC的周长．

解：（1）∵在△ABC中，AD是BC边上高，∴△ADC和△ABD都是直角三角形，在Rt△ABD中，AB=10，BD=8，

AD=A（2）在Rt△ACD中，

AC=AD2+CD2=62+2=10+4=18+63

期末复习：人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测试卷(解析版）一、单选题（共10题；共30分）1.sin60°的值为（

）A.

3

B.

32

C.

222.在△ABC中，∠C=90o，若cosB=32A.

30°

B.

60°

C.

45°

D.

903.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（

）A.

513

B.

1213

C.

512

D.

1254.在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，则A.

12

B.

22

C.

32

D.

15.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝35A.

15

B.

12

C.

9

D.

66.一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米．A.

307

B.

32

C.

306

D.

以上的答案都不对7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（

）

A.

5÷tan26°=

B.

5÷sin26°=

C.

5×cos26°=

D.

5×tan26°=8.在△ABC中，若|sinA﹣12|+（22﹣cosB）A.

45°

B.

75°

C.

105°

D.

120°9.在RtΔABC中，∠C=90°，a=5A.

512

B.

513

C.

125

D.

1210.在学习解直角三角形以后，重庆八中数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上的影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，同一时刻，光线与旗杆的夹角为37°，斜坡的坡角为30°，旗杆的高度AB约为（

）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73）

A.

10.61

B.

10.52

C.

9.87

D.

9.37二、填空题（共10题；共30分）11.如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为________．12.如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为________．13.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m（结果保留根号）

14.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=45，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________

．

15.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则BD＝________．16.如下图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为________．17.如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米（结果保留根号）．

18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a=2，b=3，则tanA=________

19.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．

20.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1．5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30∘方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60∘方向为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达(结果保留根号)三、解答题（共8题；共60分）21.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．

22.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=45米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)

23.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？

说明理由．（3≈1.732）

24.热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为45°，已知楼高是120m，热气球若要飞越高楼，问至少要继续上升多少米？（结果保留根号）

25.如图:我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B点,观测到我渔船C在东北方向上.问:渔政310船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近?(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)26.如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．

27.如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）28.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时（如图②），人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．（结果精确到1cm）（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.414）

答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：sin60°=32．

故答案为：B．

2.【答案】A【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，结合选项进行判断．

∵cos30°=32，

∴∠B=30°．

3.【答案】B【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=AB2-AC2=12，

∴sinA=BCAB4.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】根据已知条件先判断出三角形的形状，再根据特殊角的三角函数值求解即可．

∵∠C=90°，AC=BC，

∴该三角形为等腰直角三角形，

∴sinA=sin45°=22．

5.【答案】A【考点】解直角三角形【解析】【分析】根据sinB等于∠B的对边与斜边之比可得AB的值．

【解答】∵sinB＝35，AC=9，

∴ACAB=35，

解得AB=15．

6.【答案】B【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【解析】【解答】解：∵坡度为1：7，

∴设坡角是α，则sinα=112+72=152=27.【答案】D【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】解：由tan∠B=ACBC，得

AC=BC•tanB=5×tan26．

故答案为：D．

8.【答案】C【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：由题意得，sinA﹣12=0，22﹣cosB=0，

即sinA=12，22=cosB，

解得，∠A=30°，∠B=45°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°，9.【答案】D【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据勾股定理求出c的长，再根据锐角三角函数的概念求出∠A的余弦值即可．

∵在△ABC中，∠C=90°，a=5,b=12，

∴c=52+122=13，

10.【答案】A【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥EF于点G，延长GH交AD于点H，过点H作HP⊥AB于点P，

则四边形BCHP为矩形，

∴BC=PH=6，BP=CH，∠CHD=∠A=37°，

∴AP=PHtan∠A=60.75=8，

过点D作DQ⊥GH于点Q，

∴∠CDQ=∠CEG=30°，

∴CQ=12CD=2，DQ=CDcos∠CDQ=4×32=23，

∵QH=DQtan∠CHD=230.75=833，二、填空题11.【答案】atanα【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】∵在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=α，BC=a，∴tan∠C=ABBC∴AB=BC•tan∠C=a•tanα．故答案为：atanα．【分析】根据正切函数的定义进行变形可得结果.12.【答案】34【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：如图：，

tanB=ADBD=34．

故答案是：34．13.【答案】403【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】由题意可得：∠BDA=45°，

则AB=AD=120m，

又∵∠CAD=30°，

∴在Rt△ADC中，

tan∠CDA=tan30°=CDAD=33，

解得：CD=403（m），

故答案为：403．14.【答案】4.8【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，

因为AE⊥BC于E，

所以在Rt△ABE中，cosB=x-2x，又cosB=45，

于是x-2x=45，

解得x=10，即AB=10．

所以易求BE=8，AE=6，

当EP⊥AB时，PE取得最小值．

故由三角形面积公式有：12AB•PE=115.【答案】2.5【考点】勾股定理，轴对称的性质【解析】【解答】∵AC＝3，AB＝5，∴BC=AB设BD=x，则CD=4﹣x，∴ED=4﹣x，∵AE=AC=3，∴BE=2，∵BE2+DE2=BD2，∴22+（4﹣x）2=x2，解得x=2.5，∴BD=2.5.故答案为：2.5.【分析】在Rt△ABC中应用勾股定理可求得BC=4，设BD=x，则结合轴对称的两个三角形全等可用x表示出ED=4﹣x，在Rt△BED中应用勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求得x即BD的长.16.【答案】3.75【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：设ED=x，则AE=6﹣x，∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EDB=∠DBC；

由题意得：∠EBD=∠DBC，

∴∠EDB=∠EBD，

∴EB=ED=x；

由勾股定理得：

BE2=AB2+AE2，

即x2=9+（6﹣x）2，

解得：x=3.75，

∴ED=3.75．

故答案为：3.75．

【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．17.【答案】1002【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：如图，连接AN，

由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'

∴AN=A'N，

∴∠ANB=∠A'NB=45°，

∵∠AMB=22.5°，

∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，

∴AN=MN=200米，

在Rt△ABN中，∠ANB=45°，

∴AB=22AN=1002（米），

故答案为1002．

【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AN=A'N，再根据勾股定理求出AB的值.18.【答案】23【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a=2，b=3，

∴tanA=ab=23．

故答案为23．

19.【答案】8【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】解：如图，∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=60°，

过D点作DE′⊥AB，则BE′=12BD=2，

∴点E′与点E重合，

∴∠BDE=30°，DE=3BE=23，

∵△DPF为等边三角形，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠EDP+∠HDF=90°

∵∠HDF+∠DFH=90°，

∴∠EDP=∠DFH，

在△DPE和△FDH中，

{∠PED=∠DHF∠EDP=∠DFHDP=FD，

∴△DPE≌△FDH，

∴FH=DE=23，

∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为23，

当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，

当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，

∴F1F2=DQ=8，

∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．

【分析】过F点作FH⊥BC，过D点作DE′⊥AB，点E′与点E重合，根据已知条件可以求出DE的长，接着证明△DPE和△FDH，得出FH=DE，就可以判断点F的运动轨迹是一条线段，此线段到BC的距离为就是FH的长，分别作出点P在E、A两点时的等边△DEF1，20.【答案】18+63【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【解答】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，

在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），

所以BQ=PQ-90．

在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=33PQ（海里），

所以PQ-90=33PQ，

所以PQ=45（3+3）（海里）

所以MN=PQ=45（3+3）（海里）

在直角△BMN中，∠MBN=30°，

所以BM=2MN=90（3+3）（海里）

所以90(3+3）75=18+635三、解答题21.【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，

∵S△ABC=27，

∴12×9×AH=27，

∴AH=6，

∵AB=10，

∴BH=AB2-AH2=【考点】三角形的面积，勾股定理，锐角三角函数的定义【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC的面积为27可求出AH的长，在直角三角形ABH中用勾股定理求出BH的长，则tanB的值可求。22.【答案】解：设AC的长为x，那么BC的