九年级上学期数学压轴必考题型-锐角三角函数（含答案）

人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编

专题锐角三角函数

一.选择题

1.（2020秋•桐城市期末）如图，平面直角坐标系中的点尸的坐标为（2,4）,OP与x轴正半轴的夹角为a,

A.—B.返C.返D.

2255

2.（2021春•温县期末）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的

公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30。，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，

则该建筑物离地面的高度为（）

A.2千米B.2&千米C.2T千米D.当3千米

3.（2020秋•八步区期末）如图，在A48C中，AC±BC,/A8C=30。，点。是CB延长线上的一点，且A8

=BD,贝Itan/ZMC的值为（）

A.373B.273C.2-1V3D.2-V3

4.（2020秋•高平市期末）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin/BAC=（)

5.（2020秋•南岸区期末）如图，"BC中，AB=AC=5,BC=8,贝UsinB的值为（）

6.（2021•宜兴市模拟）如图，在AABC中,ZABC=90°,tan/3AC=2，AO=2,BD=4,连接CD,则

2

co长的最大值是（）

C.2限|D.2巡+2

7.（2021春•沙坪坝区月考）某网红地惊现震撼的裸眼3。超清LEO巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡.小

丽想了解该屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底

端。点，在。点测得屏幕下端点8的仰角为27。，然后她再沿着i=4：3长度为35米的自动扶梯到达扶

梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达尸点，在尸点测得屏幕上端点A的仰角为50。（A,B,C,

D,E,F,G在同一个平面内，且E、尸和C、。、G分别在同一水平线上），则该LED屏A8的高度约

为（为结果精确到0.1,参考数据sin27°~0.45,cos270~0.89,tan27°~0.51,sin50°=0.77,tan50°»1.19）

\A

E

B

A.86.2米B.114.2米C.126.9米D.142.2米

8.（2020秋•北倍区校级期末）北硝区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站A8,其设计图如图所示，BF,

即与地面平行，。的坡度为i=l：0.75,EF的坡角为45。，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地

面的距离，若BF=ED,CQ=15米，米，小王在山脚C点处测得基站底部8的仰角为37。，在

F点处测得基站顶部A的仰角为60。，则基站顶部A到地面的距离为（）（精确到01米，参考数据：

二.填空题

9.（2020秋•崇川区期末）如图，若A,B,C,D都在格点处，AB与CD相交于O,则的余弦值

为____________________

10.（2021春•爱辉区期末）如图1是公园某处的几何造型，如图2是它的示意图，正方形的一部分在水平

面下方，测得。E=2米，ZCDF=45°,露出水平面部分的材料长共合计140米（注：共8个大小一

样的正方形造型，不计损耗），点B到水平面所的距离为米.

图1图2

11.（2020秋•锡山区期末）如图的正方形网格中，AABC的顶点都在格点上，则tan/ACB的值

为.

12.（2020秋•覃塘区期末）如图，在正方形网格中，点A,B,C,。都是小正方形的顶点，A8与C£＞相交

于点P,则sinZBPD的值是.

14.（2020秋•蒙城县期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，贝UtanB的值

为__________________

15.（2020秋•新吴区期末）如图，AABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin2C

2

16.（2021春•瑞安市月考）如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG,FG=EG,为了估测场地的大小，

在笔直的河岸上依次取点C,D,B,A,使PC，/,BG±l,点£,G,。在同一直线上，在。观

测/后，发现/如测得CD=12米，。3=6米，AB=12米，则尸G=米.

II，II

CDBAI

17.（2021•新洲区模拟）如图，在R3A8C中，ZACB=90°,AC=10,BC=5,M是射线AB上的一动点，

以AM为斜边在AABC外作R3AMN,且使tanZMAN=」，。是的中点，连接ON.则ON长的最

2

小值为________________

18.（2021•乐山）如图，已知点A（4,3）,点8为直线y=-2上的一动点，点C（0,九），-2<n<3,AC

±BC于点C,连接AB.若直线A3与x正半轴所夹的锐角为a,那么当sina的值最大时，n的值

为__________________

三.解答题

19.（2020秋•安丘市期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略.在计算tanl5。时，如

图，在RtAACB中，ZC=90°,ZABC=30°,延长使连接A。，得/。=15。，所以tanl5。

—AC—1—2-M=2-F

CD2+^3（2g（2-英）

类比这种方法，计算tan22.5。（画图并写出过程）.

20.（2021•西藏）如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A,8两点，使A、B、。三点在同一条

直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30。，小明同学在点2处测得该建筑物顶部C

的仰角为45。，且45=10加.求建筑物C。的高度.

（拉姆和小明同学的身高忽略不计.结果精确到0.1加，后1.732）

21.（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物与铁塔C。相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C

的仰角为28。、铁塔底部。的俯角为40。，求铁塔C£）的高度.

（参考数据：sin28°=0.47,cos28cM）.8，tan28yo.53,sin40°~0.64,cos40°=0.77,tan40°=0.84）

22.（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达.观

测得景点B在景点A的北偏东30°,从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点8在C的

北偏东75。方向.

（1）求景点2和C处之间的距离；（结果保留根号）

（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥.大桥修建后，

从景点A到景点3比原来少走多少米？（结果保留整数.参考数据：72=1.414,73=1-732）

北

东

23.（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小

明自公园北门A处出发,沿南偏东30。方向前往游乐场D处;小华自南门B处出发,沿正东方向行走150m

到达C处，再沿北偏东22.6。方向前往游乐场。处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同.求公

园北门A与南门2之间的距离.（结果取整数.参考数据：sin22.6°=—,co22.6°~—,tan22.6°~—,«

131312

=4.732）

22J

I

24.（2020秋•文登区期末）生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1.现在要为一个面向正

南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬.如图2,A8表示窗户的高，CQ表示遮阳蓬，且A8=1.5加，遮阳蓬

与窗户所在平面的夹角等于75。.已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30。；

夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60。，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，

而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度CD.

25.（2021•荆门）某海域有一小岛P,在以尸为圆心，半径r为10（3+，门）海里的圆形海域内有暗礁.一

海监船自西向东航行，它在A处测得小岛尸位于北偏东60。的方向上，当海监船行驶20加海里后到达2

处，此时观测小岛P位于8处北偏东45。方向上.

（1）求A,尸之间的距离AP；

(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B

处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

26.(2021•天津)如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号.一

艘救生船位于灯塔C的南偏东40。方向上，同时位于A处的北偏东60。方向上的B处，救生船接到求救

信号后，立即前往救援.求的长(结果取整数)参考数据：tan40%0.84,盗取1.73.

27.(2021•武汉模拟)如图，已知8c是。。的直径，CA平分/8CE,延长EC交。。于点。，连接。。并

延长交A2于点E

(1)求证：AOLBD-,

(2)已知tan/ACE=3,求tan/APO.

2

A

'E

28.（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020-2025年拟建设5G基站七千个.如图，在坡度为i

=1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB,小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45。，然后她沿坡面

行走13米到达。处，在。处测得塔顶A的仰角为53。.（点A、B、C、。均在同一平面内）（参考数据:

sin53°~—,cos53°~—,tan53°~—)

553

(1)求。处的竖直高度；

(2)求基站塔A8的高.

人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编

专题锐角三角函数

一.选择题

1.（2020秋•桐城市期末）如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为（2,4）,。尸与x轴正

半轴的夹角为a,则sina的值为（）

A.—B.近C.SD.

2255

【思路引导】如图，过点P作尸“Lx轴于H.利用勾股定理求出OP,可得结论.

：.OH=2,PH=4,

，°P=VOH2+PH2=V22+42=2巡'

sina=PH4_275

OP275亏

故选：D.

2.（2021春•温县期末）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15。；

沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30。，若小明的

眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（）

A.2千米B.2y千米C.2匾千米D.e区千米

2

【思路引导】过C作CDJ_A8于。，先证/BAC=/BCA,得BC=AB=4千米，再由含

30。角的直角三角形的性质求出CD的长即可.

【完整解答】解：如图，过C作COLAB于D,

则NCZ）8=90°,

由题意得：ZBAC=15°,ZCB£>=30°,AB=4千米，

：.ZBCA=ZCBD-ZBAC=30°-15°=15°,

：.ZBAC^ZBCA,

.,.BC=AB=4千米，

在RtABC。中，NCBD=30°,

：.CD=—BC=2（千米），

2

即该建筑物离地面的高度为2千米，

故选：A.

•二二

A,^<15°>r前。

“4千米D

3.（2020秋•八步区期末）如图，在AABC中，ACLBC,NABC=30。，点。是CB延长线

上的一点，且贝han/ZMC的值为（）

【思路引导】设AC=a,通过解直角三角形用含。代数式分别表示出2C,C。的值，然

后作比求解.

【完整解答】解：设AC=a,

•?ZABC=30°,

.\AB=2AC=2a,

'：tanZABC=—=返，

BC3

，5C=AC=，

•:AB=BD=2a,

：.CD=BC+BD=(2+«)a,

・f/n”CD(2+>/3)arr

..tanZ£>AC=——=---------=2+v3-

ACa

故选：C.

4.(2020秋•高平市期末)如图，点A、B、。在正方形网格的格点上，sinNR4C=()

A.也B・运C・运D.返

1313266

【思路引导】如图，取格点T,连接87交AC于H,MBHLAC,设3H=a,则A”=

5a,利用勾股定理求出AB,可得结论.

【完整解答】解：如图，取格点T,连接BT交AC于H,则BHLAC,设BH=a,则AH

Va2+(5a)2=^66Z,

故选：C.

5.（2020秋•南岸区期末）如图，AABC中，AB=AC=5,8c=8,贝UsinB的值为（）

B

【思路引导】过点A作AHL2C于"利用勾股定理求出可得结论.

【完整解答】解：过点A作于H.

VAB=AC=5,AH±BC,

：.BH=CH=—BC=4,

2

AAH=VAB2-BH2=A/52-42=3.

故选：c.

6.（2021•宜兴市模拟）如图，在AABC中，NABC=90。，tan/BAC=」，A£）=2,BD=4,

2

连接CD,则CD长的最大值是（）

A.275+—B.2V5+Ic.2V5+—D.2V5+2

2

【思路引导】如图，在AD的下方作R3ADT,使得/AOT=90。，DT=1,连接CT,则

人7=巡，证明AD48s△TXC,推出理=组=£,推出TC=2巡,再根据CD<DT+CT,

TCATV5

可得31+2巡,由此即可解决问题.

【完整解答】解：如图，在AA的下方作R3AOT,使得NAOT=90。，07=1,连接CT,

贝IJAT=y/5,

D

..AD_AB

'DT-BC-'

.AD=DT

"AB-BC)

ZADT=ZABC=90°,

AADT^AABC,

ADAT

ZDAT=ABAC,=

ABAC

：.ZDAB=ZTAC,

..AD=AB

'AT-AC）

：./\DAB^/\TAC,

•DB_AD_2

"TC-AT-V5，

；.TC=2掂，

•?CD<DT+CT,

.,.CZX1+2V5，

；.C。的最大值为1+2巡，

故选：B.

7.（2021春•沙坪坝区月考）某网红地惊现震撼的裸眼3。超清工即巨幕，成功吸引了广大

游客前来打卡.小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点

沿水平直线步行30米到达台阶底端。点，在。点测得屏幕下端点B的仰角为27°,然后

她再沿着力=4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45

米到达尸点，在尸点测得屏幕上端点A的仰角为50。（A,B,C,D,E,F,G在同一

个平面内，且E、b和C、O、G分别在同一水平线上），则该LED屏A8的高度约为（）

（结果精确到0.1,参考数据sin27tM）.45,cos27°«0.89,tan27°M.51,sin50°s0.77,

tan50°~1.19）

A.86.2米B.114.2米C.126.9米D.142.2米

【思路引导】作EMLGC于设五E交AC于N,则EN=MC=DM+DC,EM=NC=

NB+BC,由三角函数定义求出8C,由坡度求出EM=28米，河。=21米，得出CM=51

米，FN=96米,再由三角函数定义求出AN,即可得出答案.

【完整解答】解：作EMJ_GC于设FE交AC于N,如图所示：

贝ijEN=MC=DM+DC,EM=NC=NB+BC,

由题意得：ZAFN=50°,FE=45米，DC=30米，DE=35米，ZBDC=21°,ED的坡

度i=4：3,

VtanZBDC=—,

DC

/.BC=£>Cxtan27°~30x0.51=15.3（米），

的坡度为4：3=—,

MD

：.EM=NC=—ED=28（米），0M=31DC=21（米），

55

：.EN=MC=DM+DC=21+30=5l（米），

FN=FE+EN=45+51=96（米），

AN

VtanZAFN=—,

FN

AN=尸Nxtan50°*96x1.19=114.24（米），

：.AB=AC-BC=AN+NC-BC=114.24+28-15.3-126.9（米）.

故选：C.

8.（2020秋•北倍区校级期末）北倍区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB,其设计

图如图所示，BF,EZ）与地面平行，CD的坡度为i=l：0.75,所的坡角为45。，小王想

利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若BF=ED,CO=15米，EF=3g米,

小王在山脚C点处测得基站底部8的仰角为37。,在尸点处测得基站顶部A的仰角为60。，

则基站顶部A到地面的距离为（）（精确到0.1米，参考数据：V3-1-73,sin37°s0.60,

cos37°«0.80,tan37°»0.75）

A.21.5米B.21.9米C.22.0米D.23.9米

【思路引导】延长AB交过点C的水平线于交DE延长线于点N,作于G,

于X,根据锐角三角函数即可求出结果.

【完整解答】解：如图，延长交过点C的水平线于M,交。E延长线于点N,作DG

.DG_4

CG3

设。G=4攵，CG=3k,则CO=5上

.•.5k=15,

:・k=3,

：.DG=nfCG=9,

YE/的坡角为45。，EF=3®

:.EH=FH=3,

四边形BNHF和四边形DGMN是矩形，

:.BF=NH=DE,BN=FH=3,DN=MG,NM=DG=\2,

：.BM=BN+NM=15,

在RtABCM中，NBCM=37。，

MC=MG+CG=DN+CG=NH+HE+DE+CG=2BF+3+9=2BF+n,

：.BM=CM'tanZBCM,

.*.15=（28尸+12）x0.75,

：.BF=4,

在RtAABF中，ZAFB=60°,

AB=BF*tan60°=4V3«6.92（米），

AM=AB+BM=6.92+15=21.9（米）.

故选：B.

二.填空题

9.（2020秋•崇川区期末）如图，若A,B,C,。都在格点处，43与相交于O,则/

B。。的余弦值为H.

一］。一

【思路引导】如图，取格点T,连接CT.DT.利用平行线的性质证明/BOO=/TCr),

求出CT,CD,可得结论.

【完整解答】解：如图，取格点T，连接CT.DT.

观察图象可知，CT//AB,CTLDT,

:.NBOD=/TCD,ZCrD=90°,

VCr=Vl2+22=^,C£>=V52+52=5^2,

：.cosZBDO=cosZTCD=-=^==^^-,

CD5&10

故答案为：叵.

10

10.（2021春•爱辉区期末）如图1是公园某处的几何造型，如图2是它的示意图，正方形

的一部分在水平面EF下方，测得。E=2米，NCDF=45。，露出水平面部分的材料长共

合计140米（注：共8个大小一样的正方形造型，不计损耗），点8到水平面所的距离

为—竺返一米.

EDF

图1图2

【思路引导】延长AE交C。的延长线于T,连接交DE于，设A8=%米.解直角

三角形求出JT,ET,TD,构建方程求出力z,再求出BT,可得结论.

【完整解答】解：延长AE交的延长线于T,连接27交DE于♦设&8=根米.

•••四边形ABCT是正方形，

.•.AB=BC=Cr=7X=m米，/BTC=45°,

ZCDF=ZEDT=45°,

；./"£）=90。，

ZETD=90°,

：.ZTED=ZTDE=45°,

：.TE=DT,

；£>E=2米，TJLDE,

:.EJ=JD=1（米），

：.JT=—DE=\（米），

2

:.ET=DT=M（米），

由题意，AB+BC+AE+CD=140-？8=17.5,

：.2m+2Gn-瓜=17.5,

：.BT=42m=(^Zl+1)(米),

8

：.BJ=BT-"=35我（米）.

故答案为：竺返

图1图2

11.（2020秋•锡山区期末）如图的正方形网格中，AABC的顶点都在格点上，则tan/ACB

的值为包

-19一

过点A作于H.利用面积法求出AH,再利用勾股定理求

出BH,CH,可得结论.

过点A作AH±BC于H.

S^ABC=—x2x4^—•BC'AH,

22

：.AH=—,

5

"B//=7AB2-AH2=^22-(|-)2=-|>

619

：.CH=BC-BH=5--,

55

8

：.tanZACB=—=-^-8

CH1919

5

故答案为：旦

19

12.（2020秋•覃塘区期末）如图，在正方形网格中，点A,B,C,。都是小正方形的顶点,

与CD相交于点P,则sin/BPD的值是返.

—2―

【思路引导】连接AE、BE.通过平行四边形的判定说明4E〃C£>,从而得到NEA2=/

DPB.再利用勾股定理的逆定理判断AAEB的形状，最后求出sinZBPD的值.

【完整解答】解：如图所示：连接AE、BE.

'：AC=ED=1,AC//ED,

四边形AEDC是平行四边形.

：.AE//CD.

：.ZEAB=ZDPB.

*.*BE=AE={§2+]2=V10，

AB—J?2+42=V20=2•

：.AB2=A^+BE1.

是等腰直角三角形.

：.ZEAB=ZDPB=45°.

J?

:.sinZBPD=sin45°=".

2

护公电衣Vs

13.（2020秋•抚州期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,。都在这些

近,

小正方形的顶点上，AB,8相交于点O,则cos/3。。~~5~~

【思路引导】连接CE、DE,利用正方形对角线的性质先说明CEHMZCED=90°,

这样把求/BOO的余弦值转化为求NEC。的余弦值，在在Rt^CED中，可利用勾股定理

和直角三角形的边角关系求解.

【完整解答】解：如图，连接CE、DE.

'：AB,CE、即都是正方形的对角线，

ZCEF=/ABF=ZOED=ZCEO=45°.

'：ZCEF=ZABF,

：.CE//AB.

：.ZECD=ZBOD.

'：ZOED=ZCEO=45°,

：.ZCED^90°.

在RtACED中,

22

CTVl+1_V2_V5

cosZECD=—

CDVl2+32V105

：.cosZBOD=^-

5

故答案为：s

5

14.（2020秋•蒙城县期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上,

则tanB的值为工.

一2一

【思路引导】如图，取格点E,连接EC,则2,A,E共线，NE=90。.利用勾股

定理求出EC,EB,可得结论.

【完整解答】解：如图，取格点E,连接AE,EC,则8,A,E共线，Z£=90°.

E

EC=yj+2=,BE=«22+42=2''^"^，

tanB=EC1

BE2

故答案为：5•

2

15.（2020秋•新吴区期末）如图，AABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，贝usin=二匕=

2

V10

~W~'

【思路引导】如图，取格点T,连接AT,BT,设3T的中点为“，连接CH.证明CB=

CT,利用等腰三角形的性质求解即可.

【完整解答】解：如图，取格点T,连接AT,BT,设87的中点为H,连接CH.

,:BC=S+q2=5®CT=^52+52=542,

：.CB=CT,

•:BH=HT,

：.ZHCA=ZHCBfCHLBT,

•：HT=Q心4爬，

..ZC_TH_V5-V10

••olll--^=",

2CT57210

故答案为：叵.

10

16.(2021春•瑞安市月考)如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG,FG=EG,为了估测

场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C,D,B,A,使尸C，/,BG±l,点E,

G,。在同一直线上，在。观测厂后，发现/FDC=/EDA,测得。=12米，DB=6

米，A8=12米，则FG=8遍米.

CDBAI

【思路引导】过点G作GMVAE于G.GNLEF于N,过点D作DJLI,过点F作FT

于T.利用相似三角形的性质证明DF=FG,再证明推出EN=EM

=FN,证明△EGMgZ\EGN(A4S),推出EM=EN,设在RsETF中，利用勾

股定理求出方程求出m,即可解决问题.

【完整解答】解：过点G作GMLAE于G.GNLEF于N,过点。作“，/,过点尸作

FT±AE于T.

'：FCn,BGU,EA±l,

：.ZFCD=NE4£>=90。，BG//AE,

'：ZFDC=ZEDA,

:ZCDsMEAD,AGBDSEAD,

•OF=CD=9DG=DB=1

••而一应—应一正一?

:.DF=2DG,DE=3DG,

:.EG=FG=2DG,

:.FD=FG,

：.ZFDG=ZFGD=ZGFE+ZGEF,

,:GE=GF,

：.ZGEF=ZGFE,

VZFDJ+ZFDC=90°,ZEDJ+ZEDA=90°,NFDC=/EDA,

・•・ZFDJ=NEDJ,

：.2ZEDJ=2ZGEF,

：.ZEDJ=/DEF,

9

：DJ//AEf

：.ZEDJ=/AED,

・•・ZDEA=ZDEFf

VGM1AE,GN工EF,

：./EMG=NENG=9U。,

•：EG=EG,

：./\EGM^/\EGN（AAS）,

:.EM=EN,

*：GE=GF,GALLER

:・FN=EN=EM,

•..四边形4BGM,四边形CFZ4都是矩形，

：.AB=GM^CD=6（米），

•:DF=EG,ZFCD=ZGME=90°,

.•.RtAFCD^RtAEA/G（HL）,

：.CF=EM,

设AM=m米则AE=3m米，EM=CF=AT=FN=EN=2m米,

：.ET=AE-AT^m（米），

在RtAEFT中,FT^+ET1=EF2,

.,.3CP+ni2—（4加）2,

：.m=2yj~15^-2A/I5（舍弃），

：.FN=4yJ-15（米），

：GN=GM=12米，

FG22

=VFN-K；N=7（4715）2+122=8加（米），

故答案为：8遍.

17.（2021•新洲区模拟）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=10,BC=5,M是射线

AB上的一动点，以AM为斜边在AABC外作Rt^AMN,且使tanNAMN=1,0是BM

2

的中点，连接ON.则ON长的最小值为,疵

【思路引导】作NPLAB于点尸，设AM长为无，用含x代数式表示出ON,然后通过配

方求解.

【完整解答】解：作NP1AB于点P,

在RtAACB中，由勾股定理得：

AB=VAC2+BC2=1102+52=5立,

设AM长为X,贝|JBM=5掂-X,

:.AN=2MN,

/MM=VAN2+NM2

:.MN=SAM=SX,AN=2MN=^&X,

555

同理，在RtAANP中可得心=返松=2%,AP=2NP=£,

555

•.,。为中点，

...BO=LM='疾f,

22

：.AO=AB-BO=^!-^+X,

2

.•.OP=AO-AP=^+X-£=2g3x,

2510

在RtAONP中，由勾股定理得0尸=0尸2+NL,

即ON2=（25遮-3,）2+（2尤）2=A（25/-150泥x+3125）=—（x2-6A/5X+125）

1051004

(X-3泥)2+20,

4

.•.当x=3巡时，ON2取最小值为20,

...ON最小值为2巡.

故答案为：2巡.

18.(2021•乐山)如图，已知点A(4,3),点2为直线y=-2上的一动点，点C(0,w),

-2<M<3,4。，2。于点。，连接42.若直线AB与x正半轴所夹的锐角为a,那么当

sina的值最大时，n的值为_2*_.

【思路引导】当sina的值最大时，则tana=&^■第值最大，即当BG最大时，sina的

BNBN

值最大，设BG=y,由tanZCAM=tanZBCG,得到y=-—(n-3)(n+2),进而求解.

4

【完整解答】解：过点A作AMLy轴于点作ANLBN交于点N,

,直线y=-2〃x轴，故NA3N=a,

当sina的值最大时，则tana=£^W-值最大,

NBNB

故BN最小，即BG最大时，tana最大，

即当8G最大时，sina的值最大，

设BG=y,

则AM=4,GC=n+2,CM=3-n,

VZACM+ZMAC=90°fZACM+ZBCG=90°9

：.ZCAM=ZBCG,

tanNCAM=tanZBCG,

.•.0■里，即圭nq,

AMCG4n+2

.'.y=-—("-3)(n+2),

4

：--<0,

4

故当(3-2)=/"时，y取得最大值，

故n=—,

2

故答案为：工.

2

三.解答题

19.(2020秋•安丘市期末)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略.在计

算tanl5。时，如图，在R3ACB中，NC=90。，ZABC=30°,延长CB使连

接A。，得/。=15。，所以tanl5°=32=—^==-~噂=、=2-遮.

CD2+>/3(2g(2-英)

类比这种方法，计算tan22.5。(画图并写出过程).

【思路引导】如图，在等腰直角A4BC中，ZC=90°,延长C8至点O,使得48=8£>,

则设AC=1,求出CQ,可得结论.

【完整解答】解：如图，在等腰直角AABC中，ZC=90°,延长CB至点。，使得A3=

,/ZABC^45°=ZBAD+ZD=2ZD,

ZD=22.5°,

设AC=1,则BC=1,AB=V2AC=V2,

ACD=CB+BD=CB+AB=1+V2，

tan22.5°=tan£)==——=-------,L———_i.

20.(2021•西藏)如图，为了测量某建筑物CO的高度，在地面上取A,8两点，使A、B、

。三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30。，小明同

学在点8处测得该建筑物顶部C的仰角为45。，且43=10".求建筑物CD的高度.

(拉姆和小明同学的身高忽略不计.结果精确到0.1切，加切.732)

【思路引导】连接AC、BC,由锐角三角函数定义求出AD=43CD,再由AB

=AD-BD,即可求解.

【完整解答】解:连接AC、BC,如图所示：

由题意得：ZA=30°,NO8c=45°,AB=10m,

在RtABDC中，tanN£)BC=±2=tan45°=l,

BD

：.BD=CD,

在R3ACD中，tanZDAC=—=tan30°=返，

AD3

:.AD=MCD,

：.AB=AD-BD=yf3CD-CD=IO(m),

解得:CD=5«+5al3.7(m),

答：建筑物CO的高度约为13.7九

21.(2021•淮安)如图，平地上一幢建筑物A2与铁塔CD相距50相，在建筑物的顶部A处

测得铁塔顶部C的仰角为28。、铁塔底部。的俯角为40。，求铁塔的高度.

(参考数据:sin28°~0.47,cos28°»0.8,tan28°»0.53,sin40°~0.64,cos40°~0.77,tan40°~0.84)

【思路引导】过A作AE，C。，垂足为E.分别在RtAAEC和R3AED中，由锐角三角

函数定义求出CE和OE的长，然后相加即可.

【完整解答】解：如图，过4作AELCO,垂足为E.

则A£=50/77,

在RtAAEC中，CE=AE«tan28°=50x0.53=26.5(m),

在RtAAE。中，DE=AE«tan40°=50x0.84=42(m),

CD=CE+DE~26.5+42=68.5(m).

答:铁塔CD的高度约为685".

22.(2021•抚顺)某景区A、2两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点8必须经过C

处才能到达.观测得景点B在景点A的北偏东30°,从景点A出发向正北方向步行600

米到达C处，测得景点B在C的北偏东75。方向.

(1)求景点8和C处之间的距离；(结果保留根号)

(2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥.大

桥修建后,从景点A到景点B比原来少走多少米？(结果保留整数.参考数据:加日.414,

V3«1.732)

【思路引导】(1)通过作辅助线，构造直角三角形，在R3AC。中，可求出C。、AD,

根据外角的性质可求出的度数，在R3BC。中求出8C即可；

(2)计算AC+BC和的长，计算可得答案.

【完整解答】解：(1)过点C作CQLAB于点。，

由题意得，NA=30°,ZBCE=75°,AC=600m,

在R3ACJ9中，ZA=30°,AC=600,

；.CZ)=!AC=300(m),

2

AZ)=返AC=300盗(m),

2

/BCE=W=/A+/B,

：.ZB=75°-ZA=45°,

：.CD=BD=300(m),

BC=V2CD=3OOA/2(m),

答：景点2和C处之间的距离为300&加；

(2)由题意得.

AC+BC=(600+300A/2)m,

AB^AD+BD=(300