平面向量的概念及线性运算（4大考点+6大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）原卷版

5.1平面向量的概念及线性运算

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、向量的有关概念................................................................3

二、向量的线性运算................................................................3

三、平面向量基本定理和性质........................................................4

四、平面向量的坐标表示及坐标运算.................................................4

常用二级结论......................................................................5

03探究核心题型....................................................................6

题型一：平面向量的基本概念........................................................6

题型二：平面向■的线性运算........................................................7

题型三：三点共线定理及鸡爪定理....................................................8

题型四：平面向量基本定理..........................................................9

题型五：坐标运算.................................................................10

题型六：坐标表示.................................................................11

04好题赏析（一题多解）..........................................................12

05数学思想方法...................................................................14

①数形结合........................................................................14

②转化与化归.....................................................................14

③分类讨论........................................................................14

06课时精练（真题、模拟题）......................................................16

基础过关篇........................................................................16

能力拓展篇........................................................................17

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01课标要求

（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.

（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.

（3）了解平面向量基本定理及其意义

（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

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02落实主干知识

一、向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.

（2）向量的模：向量刀的大小，也就是向量而的长度，记作|刀

（3）特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

二、向■的线性运算

（1）向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

求两个向量和的①交换律a+b-b+a

加法

运算aa②结合律+b)+c=a+(b+c)

三角形法则平行四边形法则

求〃与力的相反

向量-6的和的运

减法a-h=a+(-b)

算，叫做。与ba

的差三角形法则

（1）|A«|=|>1||«|九，NwR

求实数2与向量（2）当%>0时，而与〃的方向相

数乘

。的积的运算同；当时，而与“的方向相(A+p)a=Aa++/a

反：当％=0时，=6A(a+6)=

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三、平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果G=2B(/lwR),则,/区；反之，如果且则一定存在唯一的实数义，使方=花.(口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘).

2、平面向量基本定理

加果I和[是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量G,都存在唯一的一对

实数4,4,使得G=+4可，我们把不共线向量I，•叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记

为｛0勺｝,4,+^2e2叫做向量后关于基底｛弓刍｝的分解式.

四、平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取巧X轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量7J作为基底，那么由平面

向量基本定理可知，对于平面内的一个向量5,有且只有一对实数x,y使2=行+行，我们把有序实数对

(x,y)叫做向量力的坐标，记作a=(x,y).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量(x,y)、机八向量为、""、点A(xty).

(3)设2=(再,乂)，b=(x2,y2),则。+B=(x1十%/+人)，a-7)=(xl-x2,-y2),即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若。=(x,y),尤为实数，则加=(/U,2j，)，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相

应坐标.

(4)设4(演,必),5a2,%)，则刀=(演-4，乂-乃)，即一个向量的坐标等于该向量的有

向线段的终点的坐标减去始点坐标.

(5)平面向量的直角坐标运算

①已知点力(演，必)，8区，力)，则力8=。2—芭，为一乂"I1=^(x2~xS-^-(y2-yS

②已知4=(须,乂)，b=(x2,>2)»则5±B=(±±占，必土必)，Aa=(Axl9Zyi),

Q•5=4马+必必，|昨&+y：.

a//bxyy2-x2yt=0,G1B<=>x]x2+y｝y2=0

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常用二级结论

(1)向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多

边形法则.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.

即44+44+…+4-4=44•

(2)\\a\-\b||<|a±b\<(a\+\b\,当且仅当a,b至少有一个为。时,向量不等式的等号成立.

(3)特别地：||4|一|"国a±b|或|a±6国a|+|b|当且仅当仅,6至少有一个为0时或者两向量共线时，向

量不等式的等号成立.

(4)减法公式：~AB-~AC=CB,常用于向量式的化简.

(5)力、P、4三点共线，则丽=。-勾而+/1砺(/UH),这是直线的向量式方程.

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03探究核心题型

题型一：平面向■的基本概念

【典例14】下列命题中，假命题是（）

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.同=恸是向量£=右的必要不充分条件

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

【典例1・2】下列说法中，正确的是（）

A.模为0的向量与任意向量共线

B.单位向量只有一个

C.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

D.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

【解题总结】

准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传

递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相

等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.

【变式1-1］下列说法中正确的是（）

A.时间能称为向量B.所有单位向量都是相等向量

C.模为0的向量与任一非零向量平行D.若同=|可，^\a=b

【变式1・2】关于平面向量，下列正确的是（）

A.若£是单位向量，0零向量，则同=同=0

B.若向量£与坂不共线，则存在一对实数使2=x£+）石

C.海拔、温度、角度都是向曼

D.若而=或，则四边形是菱形

【变式1・3】以下说法中，正确的是（）

A.两个具有公共终点的向量一定是共线向量

B.零向量的长度为0,没有方向

C.单位向量都是共线向量

D.两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小

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题型二：平面向量的线性运算

【典例2・1】四面体CM8C中，OA=a^赤="OC=c^且而=2万，短=花，则短等于（）

2-11-2-1;1-

A.——a——b7+—cB.——a+—b+—c

322322

2_11-2-IT1-

C.—a+—bL—cD.—a—b+—c

322322

5ULO1UULl

【典例2・2】在V48。中，点。在边43上，BD=3DA.记〃?=C4〃=CO,则包=（）

A.4〃?-3〃B.-3〃?+4〃C.4〃?+3〃D.3m+4/?

【解题总结】

（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪

子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型''公式更有利于快速解题.

（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或

首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.

（3）除了充分利用相等向品、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似

三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

【变式2・1】（2025•高三•安徽•开学考试）如图，5x5的方格里，每个方格长度为1,则向量=

C.-3弓+e2D.3q+e2

111-3ULU

【变式2・2】OM—PM-OP=（）

UUUL

A.2MOB.2而c.IMPD.6

【变式2・3】在边长为1的正方形力8CQ中，若荏=G,BC=b>AC=c>则|不-在+曰=（）

A.0B.1C.2D.2>/2

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题型三：三点共线定理及鸡爪定理

【典例3・1】已知瓦B是不共线的向量，OA=Aa+^b,OB=2a-h,OC=a-2b,4丛。三点共线，则人〃

满足（）

A.2=〃-3B.4=〃+3C.4=〃+2D.义=〃-2

【典例3・2】己知不，目是平面内的一组基底，a=44+3耳，砺=2耳+修，方=54-3务，若4，B,

C三点共线，则实数々的值为（）

A.9B.13C.15D.18

【解题总结】

要证明4,B,。三点共线，只需证明方与比共线，即证而=/比（2G/?）.若已知4,B,C三

点共线，则必有而与於共线，从而存在实数％,使得而=4就.

【变式3・1］1是平面内不共线两向量，已知方=1-&］，比=%+1，若］，B，。三点共线，

则A的值为（）

A.--B.7C.-4D.4

44

【变式3・2］《勺是平面内不共线两向量，已知%8=4+%6，CB=3（\+4e2,CD=4^+e,,若4,B,D

三点共线，则人的值为（）

A.3B.-3C.-2D.2

【变式3・3］已知1方=。+5人BC=-2a+Sb，瓦）=36-3b（5和B不共线），则三点共线（）

A.4B、DB.4B、CC."、。、DD.4C、D

【变式3-4］如图，在△48C中，点。是8c的中点，过点O的直线分别交直线川？，力。于不同的两点M,

,____28

N,若AB=mAM,AC=nAN»m>0,n>0,则一+一的最小值为（）

mn

A.2B.9C.10D.18

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题型四：平面向量基本定理

【典例4・1】在平行四边形N8C。中，E是力。的中点，点P在线段4力上.若而=4而+〃而，则

2+〃=（）

A.7B.C.1D.--

【典例4・2】在V/18C中，点。在边8c上，且2瓶=3反，则（）

——2一3——3一2—

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

5555

c.~AD=-7B^-~ACD.~AD=-JB+-AC

3333

【解题总结】

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或

数乘运算，基本方法有两种：

（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，宜至用基底表示为止.

（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.

（3）三点共线定理：A,B,尸三点共线的充要条件是：存在实数九〃，使而=4而4〃砺，其中

%十〃=1,O为4B外一点、.

【变式4・1】（2025•甘肃甘南•模拟预测）如图，在V/出。中，丽=2祝,N为线段AM上一点、,且

不=（1-2）标+（万，则实数4的值为（）

【变式4・2】（2025•甘肃定西•模拟预测）已知在梯形44。。中，~AB=2DC=3AE»前=2前，记

刘=玩，=百贝U而一（）

【变式4-3］如图，在V/8c中，PC=2BP,过点P的直线分别交直线48,4C于不同的两点M,N.设

AB=mAM,AC=nAN,则2相+〃的值为（）

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A

N

C

A.1B.2C.3D.4

【变式44］如图，在平行四边形力BCQ中，CE=DE,和,4C相交于点G,且尸为47上一点(不包

括端点)，若丽=海+画,贝；的最小值为()

5

B.—■+\/6限D.-+V6

AC.I

-I2222

题型五：坐标运算

【典例5・1】已知向量］=(-1,2),6=(5,1),则,+可=_.

【解题总结】

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标,

则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.

【典例5・2】己知点。(0,0),向量。4=(1,3),。8=(-3,5),点P满足"=2而，则点P的坐标为.

【变式5・1】(2025•高三・黑龙江哈尔滨-期中)如图，点C,户均在正方形网格的格点上.若

AP=AAB+^AC(eR),则4+2刈=.

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题型六：坐标表示

P4

【典例6・1】己知点P在直线18上，且满足丽=2/苏+/05(/cR),则砺=一.

【典例6-2】已知向量q=(-1,2),6=(2,1)，若向量。，则使44＜。成立的之可能是___.

(填序号)①(1,0);@(O,l)；@(-l,0);@(0,-1).

【解题总结】

(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若(=(”)，6=(三,必)，则五〃5的充要条件是

xiy2-x2yt=0；②若方〃B(BwO),则,=花.

(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，

也可以利用坐标对应成比例来求解.

【变式6・1】已知O为正方形48CO内一点，且满足方+2反=3砺+4而，则S"8：%8"=一.

【变式6-2］在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点加31)，8(T，3)，若点C满足

反=4方+4赤，其中儿办eR且4+4=1，则点。的轨迹是—.

【变式6・3】在V48C中，。是■边上靠近4的一个三等分点，若充与2次+,〃丽平行，则实数

ffi=.

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04好融赏析（一题多解）|

1.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的

头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现

代哲学中的矛盾对立统•规律.而图是由八卦模型图抽象出来的正八边形48CQQG”，其中心为。，若

OG^xOH+vOF,则x+y=()

3D.在

A.五B.—C.2

22

2.如图，在正方形//CO中，£为4C的中点，。是以44为直径的半圆弧上任意一点（与X点不重合）,

设五g=万+y"（x）£R）,则2x+y的最小值为（）

C.2D.3

3.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定

理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小

正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若前=2,

BA=h>BE=3EF'则而=（）

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£+2

B.

2525

C.力+摩

55

D.-a+-b

55

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①数形结合

1.在38。中，力。为8C边上的中线，E为力。的中点，则而=()

3一1一I—3一3—|一

A.-AB一一ACB.-AB——ACC.—ABH—AC

444444D>4^

2.已知点。为△48C的外心，且向量芯=4万+(1-4)正，AeR,若向量瓦i在向量就上的投影

1—

向量为则cos8的值为()

A/・百DR•亚C「---2--"---

255

3.己知点户是A/I8C的重心，则万=()

A.~AP=-7B+-ACB.~AP=-~AB^-~AC

6644

—2—1——2—1—

C.AP=-AC+-BCD.AP=-AB+-BC

3333

②转化与化归

___11-

4.已知平面向量2b忑满足G6=0,mi=l，m-5|=|力一5|=5,则|弓1+5〃一村的取值范围为

乙乙

5.已知q,a2>”,仄，…，bk(kGN*)是平面内两两互不相等的向量，满足|q-%|=1，且

|［一6|6{1,2}(其中72,7=1,2,…，％),则后的最大值是

6.如图，在△/必。中，点。满足方>=2正，过点尸的直线与48,力。所在的直线

分别交十点M,N若不7=义而，丽=〃衣,(4>04/>0),则2+4的最小值

为•

③分类讨论

7.在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行

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进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点。到达点。(33,33)所跳跃次数的最小值是.

8.如图，四边形力4c。是边长为1的正方形，延长CO至区使得。£=2CD动点尸从点力出发，沿正方

形的边按逆时针方向运动一周回到4点,=+〃施.则〃的取值范围为.

9.已知向量1=(3.—£),6=(入一1,一2),且万一。一忖=|司，则实数4=

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[06]课时精练（真题、模拟即）H

基础过关篇

1.（2025年高考全国一卷数学真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结

果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其

中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反图1给出了部分风力等级、名称与风速大

小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段

长度代表速度大小，单位：in/s）,则该时刻的真风为（）

级数名称风速大小（单位：m/s）

2轻风L6〜3.3

3微风3.4〜5.4

4和风5.5〜7.9

5劲风8.0〜10.7

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

2.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量2=（X+1,X）,5=（X,2）,则（）

A.“x=-3”是“£J_5”的必要条件B.“工=1+6”是“a//b”的必要条件

C.“x=0”是“£力”的充分条件D.+6”是“大店”的充分条件

3.（2024年上海秋季高考数学试题）已知向量，=（2,5）,6=（M）,若力而，则人=—.

4.（2025年高考天津卷数学真题）V48C中，D为4B边中点,CE=^CD,AB=a.AC=bf贝J族=

（用族表示），若|荏|=5,AE1CB,则荏.丽=

5.（2023年天津高考数学真题）在V/3C中，RC=1,/4=60'，~AD=\'AB,CE=\-CD,记

22

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AB=a,lAC=b,用区B表示亚=:若则万,万的最大值为.

ab

6.设G与5都是非零向量.下列四个条件中，使同=忖成立的充分条件是（）

A.同二|同且/区B.a=-bC.a=2bD.allh

--1————2-

7.在V48C中，AN=-NC,P是BN上一点、.设7*=AC=b»SAP=nia+-b,则〃？（）

47

3-3

A.-B.--C.-D.--

8.（多选题）下列关于向量的说法正确的是（）

A.若|刈=0,则2=0

B.若向量而与丽是共线向量，则4，B,C,。四点必在同一条直线上

C.对于任意向量d,b,必有I5+5国5I+|5I

D.若石//B，则存在唯一实数2,使力=花

9.已知〃（-1,2）,N（3,5）,则与向量丽的一个单位向量工的坐标为_.（写出一个即可）

10.已知向量不=（-4/），则与向量方共线的单位向量的坐标为

能力拓展篇

1.（2025•广东•模拟预测）若平面向量工，"满足p—可二|2右一）卜1,贝小2£-4的最大值是（）

A.2B.3C.4D.5

2.己知平面内有四点。,4氏。，若反=xE+y砺，则"4SC三点共线”是“x+y=l”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2025•高三•江苏南京•开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：OA