几何变换之旋转巩固练习（基础）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

几何变换之旋转巩固练习

1.如图，在平面直角坐标系中，△力8。的三个顶点坐标分别为力(-4,-2)、8(-2,0)、r(0,-3),

是△力笈绕点，顺时针旋转90°后得到的图形.

(1)写出4，瓦的坐标；

(2)在所给的平面直角坐标系中画出

(3)若点力2与点小关于原点对称，写出的面积.

【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出力、6的对应4、团，从而得到它们的坐标:

(2)由(1)可确定△力/C

(3)先写出点刈的坐标，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△448的面积.

【解答】解：(1)L(1,1),B\(3,-1)；

(2)如图,△/］瓦。为所作;

42（-1，~1）»

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•••△4力28的面积=2乂3_；乂1X1_1X2X2_1X3X1=2.

乙乙C

【点评】本题考查了作图■平移变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相

等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的

图形.

2.如图，将△49C以点C为旋转中心，顺时针旋转180。，得到△龙C过点力作力”〃应；交如的延长线

于点E试问：N〃与/尸相等吗？为什么？

【分析】根据旋转的性质，可得△/仍修△应C根据全等三角形的性质，可得根据平行线的

性质，可得/QN血&根据等量代换，可得答案.

【解答】解：N8与//相等，理由如下：

•・•将△力8。以点C为旋转中心，顺时针旋转180°,得到△〃比；

:、£B=/DEC,

•:AF"BE、

"F=4DEC,

:•乙B=^F.

【点评】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，属于基础题型.

3.请在平面直角坐标系中，完成下面的问题

（1）描出点力（-2,3）和它关于y轴的对称点8：

（2）描出点C（2,1）和它关于原点的对称点"

（3）求线段/切的长.

【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标写出〃点坐标，然后描点即可；

（2）利用关于原点对称的点的坐标写出〃点坐标，然后描点即可：

（3）利用/“平行y轴，利用两点的纵坐标之差得到/切的长.

【解答】解：（1）如图，点8为所作；

（2）如图，点〃为所作；

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【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相

等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的

图形.也考查了轴对称变换.

4.已知菱形40的边长为2,N4=60°,点公厂分别在边力吹4〃上，将沿便折叠，使得点力的

对应点,恰好落在边切上.

⑴延长徽交于点〃求证：而=言

（2）若4点为5的中点，求曲的长；

（3）AA,交）丁点G,再将四边形纸片反力尸折叠，使。点的对应点个恰好落在H尸上，折痕秘V分

别交边必、BC千点”、N,连接C'G,则C'G的最小值为—理

【分析】（1）如图1中，延长⑦到7,使得〃，=〃?，连接出证明△"HCsREQT,可得结论.

（2）如图2中，延长微过点〃作/配L切于点M交加于〃，连接/B、BD,CF.想办法求出及/,FH,

再利用勾股定理即可解决问题.

（3）注意到G为//的中点，于是可知G点的高度终为菱形高度的一半，同时注意到G在/4^的角平分

线上，因此作G〃」_/历于〃，GP1XF于P,则GP=GH,根据垂线段最短原理可知勿就是所求最小值.

【解答】（1）证明：如图1中，廷长⑺到T,使得07=应,连接TE.

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♦：DG=3

•"le=x+l,

（x+1）2+（闻2=（2-2A-）2,

解得：x=0.3,

：・DF=0.6,"'=1.4,

：.AH=|JA=O.7,FH=月"s加N/=1.4x殍=黑，

•：CD=BC,NS=60°,

•••△仇力是等边三角形，

,:N是0的中点,

：,BA'LCD,

'：BC=2,ArC=\,

：・RA'二价，

设,%=y,则HE=2-yf

・•・（V3）2+炉=（2-y）2,

解得：y=0.25,

・•・/£=1.75,

：.EH=AE-AH=1.75-0.7=1.05,

:.EF=«EH2+FH2=J1.052+（*2=*

（3）解：如图3中，过点、G作GILLAB于H,过点6作G2Ld广于只过点"作4aL形于Q.

图3

•・•四边形4%Z?是菱形，

：,DA=AB=BC=CD=2,AB//CD,

/./Q=DR,

•:NBAD=60°,

：./0=\行

中考核等

•・•/与力关于既对称，

••・历垂直平分力4,

:,AG=AG,NAFES,

:・CP=GH,

又♦：GH1AB,AQLAH

:、GHIIAB、

：・C〃=¥Q=与

所以GC2GP=§,当且仅当。与严重合时，"取得最小值;.

故答案为空.

【点评】本题属于儿何变换综合题，考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边一:角形的判定

与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，学会利用垂线段最

短解决最值问题，属于中考压轴题.

5.如图，半圆。的直径力0=10,将半圆。绕点8顺时针旋转45°得到半圆0',与加交于点、亿求分的

长.

【分析】先根据题意判断出△疗力是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出掰的长，进而可得出力产

的长.

【解答】解：'：40BA'=45°,O'P=0'B,

：,△()'阳是等腰直角三角形，

:」8=也80'=5也

:「P=AB-BP=IO-5&.

【点评】本题考杳的是旋转的性质，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质.

6.如图，△//a'逆时针旋转一定角度后与△/1应重合，旦点。在力〃上.

(1)指出旋转中心;

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(2)若NH=21°,/43=26°,求出旋转的度数;

(3)若力8=5,CD=3、则/£的长是多少？为什么？

【分析】(1)结合图形找到旋转中心即可；

(2)根据题意求得/以。的度数即可求得旋转角；

(3)利用旋转的性质得到力/:'=4；1g/4即可求得答案.

【解答】解:(1)旋转中心为点小

(2)VZ^=21°,NACB=26°,

・••/班£180°-21°-26°=133°,

・•・旋转的度数为133°；

(3)由旋转性质知：3AC,AD=AB,

：.AE=AB-CI)=2.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋粒前、后的图形全等.

7.如图，将△/出。绕点。顺时针旋转90°得到△及匕若点力、D、£在同一条直线上，且//啰=20°,求

/。£及/6的度数.

【分析】根据旋转的性质可得△力应是等腰直角三角形，所以NO£=45°,易知/力切=9。°-20°=

70°,根据三角形外角性质可得/㈤败度数，又NEDC=/B,则可求.

【解答】解：根据旋转的性质可知。=圆且乙4四=90°,

所以△力四是等腰直角三角形.

所以/以£=45°；

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根据旋转的性质可得/胸=90°,

•・Z%=200.

：.ZACD=900-20°=70°.

：・2EDC=450+70°=115°.

所以NQNW=115°.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后对应的线段.

8.如图，P是等边三角形4%内一点，且为=6,阳=8,PC=IO,若将△为。绕点力逆时针旋转后，得到

△/AB.求：

(1)外'的长度；

(2)N月照的度数.

【分析】(1)根据旋转的性质可得/乃W=6()。，P'A=PA,然后判断出△力/W是等边三角形，根据等

边三角形的性质可得分’=为；

(2)根据等边三角形的性质可得N/1/f=60°,利用勾股定理逆定理求出ZH:尸'=90°,然后求解印

可.

【解答】解：(1)•・•△以C绕点力逆时针旋转后，得到△户AB.

"PAP=60°,P力=*=6,

:AAPP是等边三角形，

:,PP=处=6；

(2)•••△4C•绕点力逆时针旋转后，得到△产4A

.・.〃B=PC=10,

MAPP是等边三角形，

:"APP=60°,

•W2=82+62=100,

P'r=102=100,

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:,P/+PP2=/风

，△户阳是直角三角形，NBPP=90。，

:./APB=NAPP+4BPP=600+90°=150°.

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，旋转前后对应边相等，对应角相

等.

9.如图，将边长为力的止方形力39绕点力逆时针方向旋转30、后得到止方形力夕CD'.

（1）求证：ED=EB"：

（2）求图中阴影部分的面积.

IX

【分析】（1）根据泓即可证明△初根据全等三角形的对应边相等即可证得；

（2）求得/口〃的度数，根据三角函数求得跖的长，则△/1应问面积即可求得，然后利用正方形的面积减

去△/〃石和△力夕£的面积即可求解.

【解答】解：（1）连接力反

在直角△力庞和直角△月8夕中，

[AB'=AD

lAE=AE'

:、\AD曜4ABE,

：,DE=EB；

（2）♦:2ADI运XARE,

:•乙DAE=乙1用〃,

又•：/BAR=30°,N阴490°,

・•・/的£=30°,

在直角中，EimRQ°=v13x=1,

则S△械.•=9gx#x1=今

迎相产S4A诜=呼,

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又正方形般产(收)2=3,

•••5阴影=3-2乂孝=3_、区

D'

【点评】本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质,正确证明△月加/〃是本题的关键.

1().如图，。是等边△力直、内一点，⑸=3,()B=4,0C=5,将线段仅绕点“逆时针旋转60°得到线段

BO).

(1)求点。与。'的距离;

(2)求N月如的度数.

【分析】(1)由旋转的性质可得的=9'，NO'切=60°,可证明△如是等边三角形，从而求解;

(2)由夕好可证△死'力之△仇死,可得公。力=5,利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角

形，即可求解.

【解答】解：(1)如图，连接⑼，

•・•等边△力比；

：.AB=CB,ZABC=60°.

中考核等

;线段8。以点8为旋转中心逆时针旋转60°得到线段%'，

,NO'力460°,

:,HOBO是等边三角形.

A00'=如=4；

(2)V/丽=4ABC=60°,

・・・/0'劭=60"-A/\BO=AOB/\.

在△初力和△为”中，

(AB=CB

\LO'BA=/.OBA,

【BO'=BO

：.LBO,1g△微7(S4S).

：・OC=OA=5,

•:A&+O2=9+16=25=04,

:.'AGO'是直角三角形.

/.AAOB=ZAOO'+NO'如=90°+60°=150°.

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质等知识,

灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

11.如图，在平面直角坐标系中，力(-3,0),点6是y轴正当轴上一动点，以力8为边在月8的下方作等

边△力郎，点4在y轴上运动时，连接〃匕求利的最小值.

【分析】以以为对称轴作等边△月战连接反，并延长所交x轴于点E由“S/S”可证△加吃△月如

可得/力力的=120。，进而可得点〃在直线)上运动，根据垂线段最短解答.

【解答】解：如图，以以为对称轴作等边△相£,连接研并廷长肥交x轴于点A

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・•・/力故=60°,

•••/〃=8=3,

,OE=®

•••△//庞和△力的是等边三角形，

:』B=AP、AD=AE,4BAP=4DAE=60°,

・•・ABAD=/PAE,

在△血右和△力勿中，

AB=AP

乙BAD=Z.PAE

AD=AE

：,LAEP^l\ADB(S4S),

:.NAEP=NA蚌\筏°,

：・2OEF=60°,

：.QF二平043,/OFE=3G。,

・•・点尸在直线旗上运动,

当初J_用时，"最小,

13

：,OP=-OF=-,

则处的最小值为a

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决

问题是本题的关键.

12.如图，在正方形力皿中，E、产是对角线劭上两点，且