山东省青岛市部分学校2026届高三年级上册10月阶段性检测数学试卷（含答案）

山东省青岛市部分学校2026届高三上学期10月阶段性检测数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.集合4={%eN|0V%V4}的子集个数为()

A.3B.4C.7D.8

2.函数/(%)=tan(2x-的最小正周期为()

3.命题“VxG[l,2],x2-a<0"为真命题的一个充分不必要条件是()

A,a>4B.a<4C.a>4D.a<4

4.设复数Zi=a+2i,Z2=l+3ai,其中aeR,若z1—z2在复平面内对应的点位于第四象限，则a的取值

范围为()

A.6l)B.G+8)C.(|,+8)D,(l,+oo)

5.已知向量2=(—1,3),K=(2,-1),若(2方一尤+则1=()

1155

ABCD

2--2--3-3-

2x

6.若sin(a—S)=『cos2a=-且％夕都为锐角，则sin(a+夕)=()

A.-B.1|C.^D.1

乙。乙。乙。

7.函数/(%)的定义域为R,对任意的修,％2e[1,+8)(均主型),有“划丁⑶)<0,且函数f0+1)为偶函数,

x2X]

则()

A./(l)</(-2)<f(3)B./(-2)<f(3)</(I)

C"(—2)</(1)<f(3)D"(3)</(1)</(—2)

8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等.某星形线如图所示，已知该曲线上一点

P(%o，yo)的坐标可以表示为(acos3。,asin3®)(a>0),若右了。=瞿，且配+=卷，则a=()

A

(9\

第1页，共9页

A.<2B./3C.2D.A<5

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.记入ABC的内角4B,C的对边分别为a,6,c,若a=373,b=3,A=^,则()

A.c=3B.sinC=苧

C.-ABC的周长为6+373D.-ABC外接圆的面积为9n

10.已知函数/'(x)=sin+0)(3>0,\<p\<9的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.函数y=/(%)的图象可由y=sin2x图象向左平移々个单位得到

B.直线x=-皆是函数y=/(久)图象的一条对称轴

C.函数y=f(x)的单调递增区间为［kn-瑞,kn+司,keZ

D.直线y=g与函数y=/(%)在［O,竽］上的图象恰有7个交点

11.在平面直角坐标系中，将函数f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转a(0<aW90。)后，所得曲线仍然是某

个函数的图象，则称/(无)为“a旋转函数”.那么()

A.存在90。旋转函数

B.80。旋转函数一定是70。旋转函数

1

C.若g(%)=ax+，为45。旋转函数，则a=1

D.若八⑺=詈为45。旋转函数，则—e2<b<0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量江与湘勺夹角为％b=1,2b-a=YIU,则同=___.

4

13.直角梯形4BCD中，AB/\'./CD,AB=BC=2,AD=<3,CD=1,点。，E为AB,BC的中点，尸在

BC边上运动(包含端点)，则赤•赤的取值范围为.

第2页，共9页

14.若函数y=/(%)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=

/(%)具有7性质.若函数g(x)=ax-|+bsinxcosx+ccos?%具有7性质，其中a,b,c为实数，且满足b?+

c2=1,则实数a+b+c的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知△ABC中，a,b,c分别为内角4,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,

(1)求角4的大小；

(2)设点。为8C上一点，4。是入28C的角平分线，且b=3,c=6,求4。的长度.

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—ABC。中，底面4BCD为直角梯形，AB1AD,AD//BC,AD=AP=2AB=2BC=2,

PAJ_平面4BCD,E为棱PD上的动点.

(1)当E为棱P。的中点时，证明：EC/mPAB-,

(2)若PE=2ED,求平面E4C与平面P4B夹角的余弦值.

17.(本小题15分)

如图，在-ABC中，已知NBAC=120。，AB=2,AC=4,点。在BC上，J.BD=2DC,点E是4C的中点,

连接2。，BE相交于。点.

⑵求ZE0D的余弦值.

18.(本小题17分)

已知函数/(%)=ex—x2—2ax—l(aeR).

(1)若a=0,求曲线y=f(%)在点(0,f(0))处的切线方程;

第3页，共9页

1

(2)若a=］求证：当xe(0,1)时，/(x)<0；

(3)若对任意的实数xe(0,+oo),/(x)>0恒成立，求a的最大值.

19.(本小题17分)

已知函数f(%)=In(9)—篇(aeR).

(1)证明：曲线y=/(x)关于点(一0)中心对称；

(2)当x>0时，/(%)>0,求a的取值范围；

(3)证明：对于任意的几EN*,2ln(n/)+2n<(2n+l)ln(n+1).

第4页，共9页

参考答案

l.D

2.A

3.C

4.D

5.B

6.D

7.8

8.0

9.ACD

10.BD

U.ACD

\2.3y[2

13.居

14.[-丹阳

15.解:(1)在△45c中,由正弦定理及2asim4=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC得：2a2=(2b+c)b+(2c+

b)c,

化简可得：b2+c2—a2=—be,

222

由余弦定理得cos/="蓝一'=一；，

又。<a<ir,所以4=与

(2)4。是A4BC的角平分线,则NBA。=Z.DAC=(

由SJBC=S34BD+S^^i^bcsm^-=|cX4DXsin1faX/IDXsin^

CAD乙D乙。乙D

因为6=3,c=6,即有18=64。+340,

故AD=2.

16.解：⑴

第5页，共9页

p

E

:A

B匕C

取P4的中点F,连接EF,BF,

因为E为PD的中点,

1

^\^EF//AD,EF=-AD,

因为2D〃BC,a。=2BC,

所以EF〃BC,EF=BC,

所以四边形EF8C为平行四边形，所以EC〃BF.

又BFu平面PAB,ECC平面PAB,

所以EC〃平面P28.

(2)

因为AB1AD,PA_L平面4BCD,即28,AD,4P两两垂直,

故可以4为原点，AB,AD,AP所在直线分别为居y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

贝！M(0,0,0),P(0,0,2),。(0,2,0),C(1,1,O),

因为PE=2ED,所以E(0,玄|),

所以前=(1,1,0),AD=(0,2,0),XE=(02,|)

设平面E4C的法向量为元=(x,y,z),

[n-AC=x+y=0

则L——>42

[n-AE=-y+-z=0

取y=l,得x=-l,z=-2,

第6页，共9页

所以元=(—1,1,—2).

^^JAB1AD,AP^.AD,ABC\AP=A,AB,APu平面P4B,

所以2。_L平面PAB.

所以历=(0,2,0)为平面248的一个法向量.

设平面R4C与平面P4B的夹角为氏

则cos。=|cos(n,4D)|=犒=急=?•

所以平面瓦4c与平面P4B夹角的余弦值为学.

O

17.(1)解：由题意，AB=2,AE=^-=2,/.BAC=120°,

又丽=AE-AB=|XC-AB,

所以|国2=屁?=G前一同了=,而2一刀而+荏2="质广福|祠C0SNB4C+|砌2=

12,

\BE\=2/3,即BE=2/3,

一――，一2一一2一一2_1-

AD=AB+BD=AB+^BC=AB+^{AC-AB)=-^AC+^AB

...|XD|2=XD2=(|ZC+|W=^2+2x|xixXC-AB+ixB2=^|Zc|2+2x|xix|XC|.

\AB\COSABAC+i\AB\2=y,

2/1^

二|西=字,即

AD~—

(2)解：•••砺=荏一荏=3与一厢,

：.AD-~BE=(|XC+-AB}=^AC--AB-1x42-1x(-4)-|x22=6,

。。乙。乙DD乙D

・・•花与炉的夹角即为NE。。,

而锭_6_3/^

cosZ.EOD画廊厂24x空='

18.解:(1)当a=0时，/(x)=ex—x2—1,

则尸Q)=ex-2/r(0)=1,由/(0)=0,

所以切线方程为：y=x.

第7页，共9页

(2)当a=g时，/(x)=ex-x2-x-1,

当Xe(o，D时，/(%)<0=眇</+久+1=1<X

设g(x)G(0,1).

则=(2x+l)"+1户=。

d、,(ex)zex

当0<x<1.时，g'(x)>0,g(%)单调递增；注意到g(0)=1；

所以，当久E(0,1)时，g(%)>g(0)=l,结论成立.

所以当为e(0,1)时，/(%)<0.

1

时

(3)由(2)可知，当Q2-

ex—x2—2ax—l<ex—%2—%—1<0在0<%<1上恒成立；

所以，当a之g时，命题(3)结论不成立，所以以后遇到需要对Q分类讨论的情形，我们就默认为。V，

V%6(0,+8),e%—x2—2ax—1>0等价于——>2a

_0无丫21

设函数八(%)=——-——,XG(0,+oo)

则h'Q)==a(%—1)二(%2—1)

(%—l)(ex—%—1)

x2

设t(x)=ex—%—1,贝=ex—1,

当/>0,£'(%)>0,注意到t(0)=0,所以，ex-%-1>0；

令〃(%)=0,解得汽=1；

所以，当0<%<1时，〃(%)<0,八(%)单调递减；

当%>1时,八'(%)>0,九(二)单调递增;

所以，h(%)min=h(l)=e-2.

由于九(%)>2a恒成立，所以2a<e-2=>a<|-l.

所以对任意的实数％E(0,+8),/(乃>0恒成立，a的最大值是1.

19.解:(1)证明:易知/(%)的定义域为(-8,-1)八0,+8),

定义域关于(-3,0)中心对称.

第8页，共9页

/(T-乃+中)=皿马)-&+山咛)-磊=。，

1

故曲线y=/(%)关于点(一天0)中心对称.

(2)已知"X)=In(中)一券，%G(0,+8),

令?=3则％=吉，t>l,贝次④)=lnt—畸2

因此只需求出在tG(1,+8)上使得/(t)