山西省2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷（含解析）

山西省太原市第十二中学校2025-2026学年八年级上学期10月

月考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

i.下列各组数据是勾股数的有（）

①5,12,13；②g,③4,7,5；@1,G，2：⑤9,12,15.

A.1组B.2组C.3组D.4组

2.在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这

种根据图形宜观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，“无字证明”也可以

用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，“无字证明”体现的数学思

想是（）

令

A.分类讨论思想B.统计思想C.数形结合思想D.整体思想

3.在一2023,y,一。，-2,9.8（用00X0008…（每隔一个8多一个0）这5个数中，无理

数共有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.若VA3C的三边长分别是。，b,J则下列条件中不能判定VA3C是直角三角形的个数

有（）

@ZA+ZB=ZC；②〃:6:c=5:12:13；®ZA:ZB:ZC=3:4:5：④〃=（。+啜。一。）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形4

的边长为（）

6.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地A8=2.1米，当人体进入感应

器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离

门1.2米的地方时（8C=1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（）

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

7.如图，在RtABC的三边投放火柴，使火柴之间间隔相同且垂直于各边，则4c边应摆

放火柴的根数为（）

A.1B.2C.3D.4

8.下列说法①所有无限小数都是无理数，②所有无理数都是无限小数，③不是有限小数的

不是有理数，④绝对值最小的实数是0,⑤数轴上的每一个点都表示一个有理数，其中正确

的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

9.临汾是帝尧之都，有着尧都之称.尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城

和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志.如图，在底面周长约为6米且带

有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上

方（从点A到点C,B为AC的中点），每根华表刻有龙的部分的柱身高约16米，则雕刻

试卷第2页，共6页

在石柱上的巨龙至少为（）

C.30米D.15米

10.一个带盖的长方体盒子的长，宽，高分别是Scm,\2cm,已知蚂蚁想从盒底的A

点爬到盒顶的8点，则蚂蚁要爬行的最短行程是（）

c.4x/nD.20cm

二、填空题

II.直角三角形的三边长为3,4,，〃，则加的值为.

12.如图，RtZ\A8C中，NACBhQO。，以RtZLABC的三边为边分别向外作正方形，它们的

面积分别记作九52，»,若SI+S2+S3=50,则加的值为

13.如图1,小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘

靠近身体，两肘弯曲90。，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度.将图1抽

象成图2,若两手握住的绳柄两端距离约为1m,小臂到地面的距离约1.2m,则适合小明的

绳长为—m.

图I图2

14.如图，在RtZVlBC中，ZC=90°,分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史

上被称为“希波克拉底月牙当AC=8,BC=4W，阴影部分的面积为.

15.如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△以8,则NR1B+/P8A的度数

16.如图，VABC中，AB=6,BC=8,AC=\O,把V48C沿AP折叠，使边AB与4c重

合，点B落在AC边上的B'处，则折痕A尸等于.

三、解答题

17.为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校

开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实

践基地的四边形荒地.经;则量，AA=AC=13m,BD=8m,CD=6m,且成'=IOm.

试卷第4页，共6页

(1)试说明：/8OC=90°：

⑵该校计划在此空地(阴影部分〉上种植花卉，若每种植In?花卉需要花费200元，则此块

空地全部种植花卉共需花费多少元？

18.消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图

2,某栋楼发生火灾，在这栋楼的8处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最

长，此时消防车的位置人与楼房的距离。4为15米.

(I)求8处与地面的距离.

(2)完成8处的救援后，消防员发现在8处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了

能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？

19.如图，已知四边形人EC。中，AB//CD,BC=AD=4,AB=CD=U)fNDC8=90°,

E为CD边上的一点,DE=7,动点P从点4出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终

点B运动，连接尸石，设点P运动的时间为，秒.

(1)求8E的长;

(2)若..BPE为直角三角形,求［的值.

试卷第6页，共6页

《山西省太原市第十二中学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BCBABBBCAD

1.B

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及勾股数，熟练掌握其定理及勾股数是正整数是解题

的关键.

利用勾股定理的逆定理及勾股数的定义逐一判断即可求解.

【详解】解：©V52+122=169=132,且5,12,13都是正整数,

••・5,12,13是勾股数；

②•・•：，（不是整数，

・•・：，：，（不是勾股数；

③+5?=41/7?,,

A4,7,5不是勾股数；

@71,丛,2不都是整数，

・・・1，6，2不是勾股数；

©V92+122=225=152,且9,12,15都是正整数,

・・・9,12,15是勾股数；

共有2组是勾股数，故选：B.

2.C

【分析】本题考查对数学思想的理解，解题的关键是理解数形结合思想的定义，根据数形结

合的定义和“无字证明”所体现的数学思想即可得到答案.

【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它

体现的数学思想是数形结合思想，

故选：C.

3.B

【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一

定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有

理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项.其中初中范围内学习的无理数有：

兀，2兀等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数.

答案第1页，共10页

【详解】解：在—2023,p-V3,-2,9.8080080008…这5个数中，无理数为-白，

9.808(X)8(XX)8…(每隔一个8多一个0),共3个，

故选：B.

4.A

【分析［此题考查了勾股定理逆定理的运用，三角形内角和定理；判断三角形是否为直角三

角形，己知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算.根

据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可.

【详解】解：①NA+N4=NC,可得：ZC=90°,是直角三角形；

②由a:/):c=5:12:13,可得：a2+b2=c2^是直角三角形;

③由NA:NB:NC=3:4:5,可得：NA=45。,=60。,/C=75。，不是直角三角形；

④由从=(a+c)(〃-c),可得:b2+c2=a2,是直角三角形;

所以不能判定VABC是直角三角形的个数有1个，

故选：A.

5.B

【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理.

直接利用勾股定理求解.

【详解】解：正方形1的边长为J16-12=〃=2,

故选：B.

6.B

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾

股定理求得线段4。的长度.过点D作DEJ.AB于点E,构造RlADE,利用勾股定理求得

A。的长度即可.

【详解】解：如图，过点D作DE工丁，点E,

感应器

----------------

VA3=2.1米,BE=CD=\.6^,石O=BC=1.2米,

；・A£=A〃-8K=2.1-1.6=U.5（米）.

答案第2页，共10页

在RtAOE中，由勾股定理得到：AD=^AE2+DE2=Vo.52+1.22=1.3（米），

故选:B.

7.B

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

设相邻两根火柴之间间隔的距离为叫得到AB=5a,BC=4a,由题得AC?+8C?=AB?,

得到AC=3a,即可得到答案.

【详解】解：设相邻两根火柴之间间隔的距离为

AB=5a,BC=4。，

AC2+BC2=AB2,

4C=〃序+3C?=3a，

•••AC边应摆放火柴的根数为2,

故选：B.

8.C

【分析】整数与分数统称有理数，无限不循环的小数是无理数，一个数在数轴上对应的点与

原点的距离是这个数的绝对值，数轴上的点与实数一一对应，根据以上知识逐一分析即可判

断.

【详解】解：无限循环小数是有理数，故①不符合题意；

所有的无理数都是无限小数，正确，故②符合题意；

0.3不是有限小数，但是它是有理数，故③不符合题意；

绝对值最小的实数是0,正确，故④符合题意；

数轴上的点不一定都表示有理数，故⑤不符合题意；

综上：符合题意的有②④

故选C

【点睛】本题考查的是有理数，无理数的含义，绝时值的含义，数轴上的点表示的数，掌握

以上基础知识是解题的关犍.

9.A

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用一最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱

体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形.

根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角

答案第3页，共10页

三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果.

【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为

2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，

/.AB=6,4E=-/\D=-xl6=8,

22

：.BE=y]AB2+AE2=762+82=10»

••・雕刻在石柱上的巨龙至少为2x10=20米.

故选：A.

10.D

【分析】将长方体的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，根据勾股定理求出不同矩形的

对角线，最短者即为正确答案.

根据勾股定理得，AB=J（8+8『+122=20cm；

如图2,把长方体侧面展开，

根据勾股定理得，AB=^2+（8+12）2=4729cm.

V20<4x/29,

・••蚂蚊要爬行的最短行程是20cm.

故选D

答案第4页，共10页

【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关

键.

11.25或7/7或25

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是分情况讨论，避免遗漏.分长为6的

边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可.

【详解】解：当长为小的边为斜边时，可有＞=3?+4?=25,

当长为小的边为直角边时,可有=42-32=7,

综上所述，病的值为25或7.

故答案为：25或7.

12.25

【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理定理可知：S2+S3=S「结合SI+S2+S3=5O,

进行求解即nJ.

【详解】解：VZACB=90°,

，AC2+BC2=AB\

・••以RtAABC的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作S\,S],S3,

:.S2+其=S],

•.*5)+52+53=50,

J2sl=50,

・•・S,=25；

故答案为：25

13.2.6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关

键.如图，过A作AO工8C于D,根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

【详解】解：如图，过A作于Q,

答案第5页，共10页

1米

图2

•・•AB=AC,

：.BD=-BC=-(m),

22V7

在RtZ\48。中，A£>=1.2,

・•・AB=AC=yjAD-^BD1=71.22+0.52=l.3(m),

・•・绳长为1.3x2=2.6(m)；

故答案为：2.6.

14.16

【分析】根据勾股定理求得A8的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴

影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以A8为直径的半圆的面积，之后再加上

VA8c的面积，

【详解】解：•・•在RtZiABC中，NC=90。，AC=8,BC=4,

•*,AB=04。+8?=4后»

以AC为直径半圆的面积：

以8c为直径半圆的面积：

以为直径半圆的面枳：

4x8

RtZXAAC的面积为：号=16,

・•・阴影部分的面积为：24+8万-10江+16=16.

故答案为：16.

【点睛】本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出48的值是解题的

答案第6页，共10页

关键.

15.45745g

【分析【延长PC到点C,使得PC=AP,连接BC,根据勾股定理的逆定理可得.PCB为

等腰直角三角形，即可求解.

【详解】解：延长PC到点C,使得尸C=AP,连接8C,如下图：

由勾股定理得：PC=AP=J『+22=石，BC=ylf+*=5BP=\l\2+32=V10

:,PC=BC,BP?=PC?+BC?,

・•・PCB为等腰直角三角形，

・•・NPAB+NPBA=NCPB=45。,

故答案为:45°,

【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用

相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解.

16.45

【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明？490?是解题

的关键，属于中考常考题型.首先证明？区90?,设PB=PB=x,在RtPB'C中,利用勾

股定理求出-再在RlPBA中利用勾股定理表示出人尸即可求解.

【详解】解：•：AB=6,BC=8,AC=\0,

••・AB2+BC2=AC2,

:B90?,

,/AP8'是由△AM翻折而来，

••・A£=AB=6,PH=PB,ZAffP=ZPffC=ZB=90°.

设PB，=PB=x,

在RtPEC中,'：CB,=AC-AB=4,PC=8-x,PB,2+BfC2=PC2,

AX2+42=（8-X）\

解得x=3,

/.4尸=AB2+PB'=62+32=45.

答案第7页，共10页

故答案为：45.

17.⑴见解析

（2）7200元

【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面

积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键.

（1）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，即可说明/8DC=90°；

（2）过4作AE_13c于点E,由等腰三角形的性质得8E=CE=gBC=5m,再由勾股定理

得AE,然后求出阴影部分的面积，即可解决问题.

【详解】（1）解：78O=8m,CO=6m,fiC=10m,

62+82=100=I02,

「•BOC是直角三角形，其中是斜边，

AN6DC=90。；

（2）解：如图，过A作于点E,

•••AE=yjAB2-BE2=Vl32-52=12（m）,

S4BC=-BCME=-xl0xl2=60（nr）,

7S即元=gBOCO=《x8x6=24（m2）,

•*-S阴影=S皿-S00c=60-24=36（m2）.

36x200=7200（元），

••・此块空地全部种植花卉共需花费7200元.

18.（1）月处与地面的距离是24米;

⑵消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米.

【分析】本题考查的是勾段定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的

结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这•数学模型，画出准确的

答案第8页，共10页

示意图.

(1)在RX0A8中，根据勾股定理求出0B的长，进而可得出结论；

(2)在RSOCZ)中，由勾股定理求出Q4的长，利用X=OA-OC即可得出结论.

【详解】(1)解：在Rl.OAB中，

・.・A8=25米，。4=15米.

OB=VAB2-OA2=，252-152=20米

.♦.8E=Q8+0E=2