三角形综合练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

专题30三角形综合练习（提优）

一.选择题

1.如图，等腰RtZ\/18C中，NBAC=90°,AD工BC于点D,/力8。的平分线分别交4C、AD于E、尸两

点，历为止的中点，的延长线交BC于点N,连接QM,下列结论：®AE=AF,②DF=DN；©△

为等腰三角形；④QM平分N8MM⑤AE=NC,其中正确结论的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】①根据等腰直角二角形的性质及角平分线的定义求得/力。/?=/「夕用=；/力8。=22.5°,继而

可得/力依=/力£8=67.5°,即可判断①；

②求出8。=<£）,/DBF=NDAN,ZBDF=ZADN,证△。户'8g△。月N,即可判断②；

③根据彳、B、。、M四点共圆求出/月。必=22.5°,根据三角形外角性质求出NONA/,求出NM£W=N

DNM,即可判断③；

④求出N8MO=45°=/BMN,即可判断④；

⑤证明△/!尸6念△CM4可得月F=CN,由力尸=力£,即可判断⑤.

【解答】解：①・・・/8力C=9（T,AC=AB,ADLBC,

AZABC=ZC=45°,AD=BD=CD,ZADB=90°,

：・NB/D=45°,

,：BE平分NABC,

1

AZABE=-ZABC=22.5°,

/.ZAEB=90Q-22.5°=67.5°,

N4FE=N4BE+NB4D=225°+45°=67.5°,

:.NAEB=NAFE

：.AF=AE,故①正确；

②）・・・4尸=4£M是"'的中点.，

：.AM±8E,

中考撤号

/.ZAMF=ZADB=90a,

,:ZAFM=ZBFD

：.ZDAN=ZFBD,

在△FBD和AM4D中

ZFBD=ZDAN

BD=AD,

Z-BDb,=Z.ADN

・•・△FBDm4NAD,

:.DF=DN,AN=BF,

故②正确；

@VZADB=ZAMB=90°,

：.A.B、■、M四点共圆,

/.^ABM=ZADM=22.5°,

•：ZDNA=ZC+ZCAN=450+22.5°=67.5°,

：・/MDN=90°-22.5°=67.5°,

:,DM=MN,

•••△DWN是等腰三角形，

故③正确；

/DNA=/MDN=675。,

/.ZZ)W=45°,

■:4BMN=9G,

：.ZBMD=45°=/BMN,

・・・QM平分N8A/M

故④正确；

⑤在△/!”和△CM1中，

ZBAF=ZC=45°

AB=AC,

Z.ABF=ACAN=22.5°

・•・△AFB/ACAN,

:.AF=CN,

*：AF=AE,

中考核等

:,AE=CN,

故⑤正确；

其中正确结论的个数是：①②③④⑤，5个；

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形三线

合一的性质和应用，能止确证明两个三角形全等是解此题的关键.

2.如图，在。中，ZACB=90°,ZCJZ)=30°,AC=BC=AD,CE1CD,且CE=CQ,连接8。、

DE、BE,则下列结论①NEC4=165°,@BE=BCx③AD=BE；®CD=BD.其中正确的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】①根据：/。。=30°,AC=BC=AD,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出

NEC4=165’，从而得证结论正确：

②根据CE_LCQ,ZECA=\65<),利用S4S求证△力COgA4CE即可得出结论；

③由②的结论，等量代换即可；

④过。作QM_L4。于M,过D作QN_L4C于N.由NC/iQ=3()",可得CM=求证

CND,可得CN=DM=gAC=3BC,从而得出CN=4N.然后即可得出结论.

【解答】解：•••NCW=3()°,AC=AD,

：・N4CD=NADC=75°,

•；CELCD,

：.^ECA=\65°,①正确；

在△力CO和△8CE中，

AC=BC

Z.ACD=乙BCE,

CD=CE

4ACD乌4BCE,

:,BE=AD,③正确;

中考撤号

*：BC=AD,

：.BE=BC,②正确；

过。作DMA.AC于M,过D作DNLBC于M

1

,：ZCAD=30°,且=54C,

,：AC=AD,NC4O=30°,

；・/月CQ=75°,

：・4NCD=900-ZJCZ)=15°,NMDC=/DMC-/ACD=15°,

在△CMQ和△CNZ)中，

ZCMD=ZCND

乙MDC=cNCD,

CD=CD

:.△CMDWACND,

11

；・CN=DM=-AC=产，

:,CN=BN.

VDN1BC,

：.BD=CD..••④正确，

故选：D.

【点评】此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含3()度

角的直角三角形等知识点的理解和掌握.

3.已知，等腰Rt△力6C中力C=8C,点。在AC上，且/4。%=105°,EDLAB,G是“厂延长线上一点,

BE交4G于凡且DE=2FG,连GE、GB.则下列结论：

①4GLBE；②/QGf=6()°；③BF=2FG；®AD+y^DC=AB.

其中正确的结论有()

中考撤号

C.①③④D.②③④

【分析】延长EQ交力4于证△4CO0知N/OC=N8EC=75°,即可判断①；求得RtZ\EQ产

中NEO/nGO。，DE=2DF=2FGB|JDF=FG,结合力G_L8E可判断②；在Rt△力CO中由N力。。=

75°可令。。=、另一"、7C=&+#、AD=4,根据=变形后可判断④；由DE=&CD、

FG=g/)E、EF=^DE可得FG、EF,再根据8尸=8K-EF=/O-E尸可得的长，即可判断③.

【解答】解：如图，延长E。交44于M,

•••2/106=105°,△/16C是笔腰立角三角形,

:・/CDE=/MDB=45°,ZADC=15a,ZCAD=\5

・•・△/)(?£是等腰直角三角形,

:・CE=CD,

在△力CO和ABC月中,

AC=BC

•・•乙ACD=LBCE=9U。,

CD=CE

:.△ACD/XBCE(SAS),

AZADC=ZBEC=75<>,

AZJF£=180°-ZCAD-ZCE5=90°,BPAFVBE,故①正确:

VZJDC=75°,NCDE=45"，

中考撤号

/.RtAEDF+，Z£DF=60°,

:,DE=2DF=2FG,§PDF=FG,

•••月/垂直平分QG,

:ADEG是等边三角形，

•••NZ)GE=60°,故②正确；

方法一：在RtZXZ。中，VZJZ）C=75°,

：,ZPAD=\5°,

作N/tDP=NP<D=15°,

则夕力=尸。，ZCPD=30°,

设CD=a,则PO=/M=2a,PC=、Ba,

.\AD=\>CD2+AC2=yja2+(2a+\,3a)2=,8+4、，%,

CD々i1f

8-4、S_«6-，2

则前飞8+还尸而不164

AC岳+枢

同理可得病

Z1U4

：.CD：AC：AD=（优一、解）：（、后+«2）：4,

二令CO=\后一\也、/。=、氏+、后、力。=4,

••AB="2/C="(M+\'6)=2+2&=4+\氏(邓一*)=AD+\，2c7),故④正确;

方法二：由①知N4F4=90°

■:NADC=/BDF=15°,

，/DBF=15°,

由②知△DEG为等边三角形，且8f_L4G,

：.DF=GF,

：・NDBF=NGBF=150,

:.NBGF=900-NGBF=75",

VZABG=ZABD+ZDBF+ZGBF=15Q,

：.AB=AG,

又•：DG=DE=WCD,

：.AB=AG=AD^DG=AD+\泛。£),故④正确;

中考撤号

,I

VD£=A/2CZ）=%2（优-或）=2心-2,

：,FG=-1DE=^-\,EF=^i3DE=3-®

・•・BF=BE-EF=AD-EF=4-3+平=1+、5

显然BFR2FG,故③错误；

综上可知，①②④正确，

故选：B.

【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、中垂线的性质、等边三角形的判定及角平分线定理等知

识点，熟练掌握角平分线定理是解题的关键.

4.如图，矩形如我?。中，［0=2,/1〃=4,平分ND4C,AE交CD于点、F,CE±AE,垂足为点E,EG

LCD,垂足为点G.则以下结论：@A£FC^AEC/1；②"BCWAAEC；③CE=AF；（4）S△水了*=5

-拜；（5）EG2=FG-DG.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①由余角的性质和角平分线的性质可得N/CEMN/IQMNCFE,且NCEF=NCE4=90°

可证△£FCs/\EC4；

②由'ZS/T可证△力石可得力C=4，=2击，CE=EH,通过证明△CGES/\COH,可求GE

=1D//=\5-1,CG=；CQ=2,可证4cHe七，可得△/AC与△力£。不全等：

③由“ASA”可证△4。/XCGE,可得CE=/1F；

GEGFr-l

④通过证明△40/7s△EG/7,可得二又二百不可求。尸二、5-1,GF=3-、S,由三角形的面积公式可求S

r\L）Ur

>ACF=5一非;

⑤分别求出EG2,/G・OG的值，即可求解.

中考撤号

【解答】解：如图，延长4Q,CE交于点、H,

/./D4F=NFAC,

,：AELCE,

：.ZCAE+ZACE=90°=ZDAE+ZAFD=90°,

・•・ZACE=ZAFD=ZCFE,

又•：/CEF=NCEA=900,

:.XEFCS&ECA,故①正确；

•・•矩形48co中，AD=2,AB=4,

：.AB=CD=4,AD=BC=2,

：,AC=、碗亏BC2=34+16=275,

VZDAF=ZF'AC,AE=AE,AAEH=ZAEC=90°,

：.^AEC^AAEII(ASA),

:・AC=AH=2®CE=EH,

:・DH=2乖-2,

,:EG〃DH,

/.△CGEsRCDH、

.GECECG

'''DH='CH=~CDf

.GE1CG

，9'DH=2='CD

1f=1

：,GE=-DH=^-\,CG=-CD=2,

乙乙

/.CE=\!CG2+GE2=、/4+5+1-2\5=*0-2]5,

中考撤号

:,CE手BC,

••.△48。与^力£。不全等，故②错误；

•：AD=2,CG=2,

:・AD=CG=DG=2,

•・•ZDAF'+ZAFD=90°=NCFE+NECF,

：・/DAF=/ECF,

又,：/ADF=/EGC=90°,

:.△ADF94CGE（ASA）,

:・AF=CE,故③正确；

*：GE//AD.

:.AADFSAEGF,

GEGF

^~AD='DF，

.邑1_殷

**2=~DFf

\,DF+GF=DG=2,

JDF=v'5-1,GF=3«,

S^ACF=|XCFX/ID=1X（2+375）X2=57耳，故④正确；

•：EG2=（、后-1）2=6-275,EG・QG=6・2逃,

:.E6=FG・DG,故⑤正确，

故选：O.

【点评】本题是三角形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

5.如图，正方形44CQ的对角线4C,BD交于点、0,七是8。上的一点，连接EC,过点4作8G_LCE于

点G,交AC于点H,EFLEC交4B于点、F.若正方形力8C7）的边长为4,下列结论①OE=OH；②EF

=EC；③当G为CE中点时，8尸=4g-4；®BG*BH=BE*BO,其中正确的是（）

AD

B

中考撤号

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】①由“4$才‘可证△80〃0△(%)£,可得。E=O〃；

②过点E作EPLBC于P,EQLAB于Q,由“/1S4”可证△QE/W^PEC,可得EF=EC；

③由线段的垂直平分线的性质可求8c=8E=4,由正方形的性质可求8P=PE=2&,可求8户的长;

、BHB0

④通过证明可得77:7==二，可得BH*BG=BE・BO.

【解答】解:V5G1CE,EFLEC,

:・NFEC=/BGC=90°,

•・•四边形/8CQ是正方形，

：.AO=OC=OB=OD,ACLBD,

VZECO+ZGHC=90°=ZOBH+ZBHO,ZBHO=ZCHG,

・•・4OBH=/ECO,

又，：BO=CO,NBOH=NCOE=90°,

:.XBOH妾XCOE(ASA),

：.OE=OH,故①正确；

如图，过点E作EP_L8C于P,EQ_L48于Q,

•・•四边形川?。是正方形，

AZABD=ZCBD=45a,

又•：EP1BC,EQA.AB,

:・EQ=EP,

又•：EP上BC,EQLAB,^ABC=90°,

・•・四边形8PE。是正方形，

:・BQ=BP=EP=QE,/QEP=90°=/FEC,

・•・AQEF=NPEC,

又,：/EQF=/EPC=9a",

中考撤号

:•△QEFWAPEC(ASA),

:.QF=PC,EF=EC,故②正确；

YEG=GC,BGA-EC,

:・BE=BC=4,

:.BP=EP=2&,

：.PC=4-2y[2=QF,

：,BF=BQ-0尸=2、初一(4-2\/2)=4”-4,故③正确；

■:/BOH=/BGE=90",ZOBH=ZGBE,

:.丛BOHs/\BGE,

BHBO

，*'BE='BG，

:・BH・BG=BE・B(),故④正确，

故选：D.

【点评】本题是三角形综合题，考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，直角

三角形的性质的应用，相似三角形的判定和性质等知识，主:要考查学生综合运用性质和定理进行推理的

能力.

6.如图，在等腰△48C与等腰△.4DE中，AB=AC,AD=AE,/BAC=NDAE=a,连接8。和CE相交于

点P,交力。于点"，交AD与点、N.下列结论：①BD=CE；②N8尸£=180°-2a：③力产平分N

BPE：④若a=60°,则0E=4P+PD其中一定正确的结论的个数是()

【分析】由“S4r可证△以。之△C4f,可得8D=C'E；由全等二角形的性质可得由

外角的性质和三角形内角和定理可得N8PE=N4C8+N/8C=180°-a；由全等三角形的性质可得

BAD=SMAE，由三角形面积公式可得彳"=4凡由角平分线的性质可得平分N8P£；由全等三角形的

性质可得N&M=NCE/1,由“S4r可证△力△力PQ,可得力。=力/\可证是等边三角形,

可得力Q=/Y)，可得PE=/1P+PD,即可求解.

【解答】解：•••NH4C=/D4E=a,

中考撤号

:・/BAD=NCAE,RAB=AC,AD=AE,

：.ABAD^^CAE(SAS)

:.BD=CE,故①符合题意；

•:△BAgACAE,

・•・N<BD=NACE,

VZBAC=a,

/.ZABC+ZACB=18O°-a,

,?ZBPE=ZPBC+ZPCB=/PBC+NACB+NACP=/PBC+/ACB+NABP,

:・NBPE=NACB+NABC=T8D°-a,故②不符合题意；

如图，过点/作《H_L4。，AFA.CE,

•:△BADgACAE,

:・SAB.AD=SACAE，

11

寸DXAH=;CEXAF,且BD=CE,

:・AH=AF,且力H_L8。，AF1CE,

：.4P平分NBPE,故③符合题意；

如图，在线段尸E上截取0£=尸》连接力O,

,:4BADq4CAE,

:・NBDA=NCEA,KOE=PD,AE=AD,

:.△AOE"AAPD(SAS)

：,AP=AO,

VZ5P£,=180°-a=120°,且/0平分NBPE,

中考撤号

4Po=60°,RAP=AO,

，△力尸。是等边三角形，

:・AP=PO,

•；PE=PO+OE,

:・PE=AP+PD,故④符合题意.

故选：C.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形

的判定和性质以及角之间的关系，证明△84。出是解本题的关键.

7.如图，在RtZ\/14C中，ZC=90°,/川气:的角平分线交力C于点。，过点。分别作8C和4?的平行

线，交于点E,交于点，，连接交〃。于点G,在4E上截取连接。尺下列说法

中正确的有（）

2

（1）GH：FD=\：2；（2）BD?=BF*BC；（3）四边形EBHD是菱形；（4）SAADF=^S^A3C-

A.I个B.2个C.3个D.4个

【分析】①由题意可证四边形。E8”是平行四边形，可得GK=EG,BG=DG,由三角形中位线定理可

得EG〃DF,GE=±DF,可得GH=』DF；

_BDBF、

②通过证明△8。尸S/X4CQ,可得，7=右，可证8。2=8。・4尸；

DCULJ

③由菱形的判定可证四边形EBHD是菱形；

④条件不足，无法证明.

【解答】解：VDE//BC,DHVAB,

・•・四边形DEBH是平行四边形，

:.GH=EG,BG=DG,

又,：EF=BE,

中考核等

1

C.EG//DF,GE=-乙DF,

1

：，

GH=-乙DF,

:.GH：。尸=1：2,故①正确；

•：BD平分/ABC,

/.ZABD=ZDBC,

•：DE//BC,

NEDB=NDBC,

，/EDB=NEBD,

：.BE=DE,

:,BE=DE=EF,

:.NBDF=90°=ZC,

又•・•NABD=NDBC,

:.△BDFSMBCD,

.BDBF

*'~BC='BD'

:.B»=BC・BF,故②正确；

•：BE=DE,四边形。石夕，是平行四边形，

・•・四边形是菱形，故③正确；

2

条件不足，无法证明=△/8c.故④错误，

故选：C.

【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，相

似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

8.如图，△48。为等腰直角三角形，。为三角形外一点，连接。，过。作。£_LQC交43于点£,F为DE

上一点且。「=。。，连接8RN为BF中点,延长DN至点、M,交BC于点、G,使得NABM=NACD,

连接4W,AF,BM,下列结论：①MN=ND；②DM=y^AM；③N84W>NCGO；④24F+BF=DM；

⑤若BM=2,AB=7而,AF=6,则S四边形力cz）广=4.其中正确的个数为（）

中考撤号

【分析】连接力。，交8c于凡连接4V,CF,由“S4r可证△EMVg△/0M可得MN=OMBM=

DF,由“S4r可证△48”且也4。。，可得4M=40,/BAM=/CAD,由等腰直角三角形的性质和三

侑形的三边关系以及三角形的面积公式依次判断可求解.

【解答】解：•••△48。为等腰直角三角形，

：.AB=AC,NACB=NABC=45°,

■:CD工DE,

：.ZBAC=ZEDC=9^,

•；NCDE+NDEA+NBAC+N力CD=360°,

/.ZACD+ZAED=180°,

VZACD+ZBED=ISO0,

：.ZBED=ZACD,

,:NABM=NACD,

：,4BM=NBED,

:・BM〃DE,

：,4BMD=/EDM,

•：N为BF中点、,

:.BN=NF,

又：/BNM=NDNF,

:.△BMN注AFDN(/US),

:.MN=DN,凡故①正确；

如图1,连接力。，交.BC于H，连接AN,CF,

中考撤号

♦：CD=DF,

:・DC=BM,

又NABM=NACD,

:.△ABMWMCD(SAS),

：.AM=AD,NBAM=NCAD,

；・/CAD+NBAD=NBAM+NBAD=/MAD=90°,

是等腰直角三角形，

:.MD=WAM,ZAMD=ZADM=45<>,故②正确；

/.ZACB=ZADM=45a,

又：NAHC=NGHD,

:・NCAD=NCGD,

：.4BAM=/CGD,故③错误；

是等腰直角三角形，MN=ND,

:.MD=2AN,

在/中，ANVAF+FN,

：,2AN<2AF+2FN,

：.MD<2AF+BF,故④错误；

*：BM=2=DF=CD,

:.CF='D=2&,

•・"/+。产=2+8=10,482=10,

：.AF2+CF2=AS2,

AZAFC=90°,

1广1

*,*S四边形,4CZV=SZS,CQ+SA4/TC=5x2\：12x\i2+~x2X2=4,故⑤正确»

中考撤号

故选：B.

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股

定理，三角形的三边关系等关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

9.如图，等边△48C中，。、石分别为AC、4C边上的点，AD=CE,连接力及〃。交于点R4CBD、Z

,4EC的平分线交于力。边上的点G,BG与4E交于点H,连接/G.下列说法①②N

BGE=30°；③/ABG=NBGF；®AB=AH+FG,@S^A(iE'S^BGC=DG：GC,其中正确的说法有

()

A.5个B.4个C.3个D.2个

【分析［①正确.根据S4S证明三角形全等即可.

1

②正确.证明=NBFE=600即可.

③正确.证明N8GF-30°+-ZEAC,ZABG~300+5//^。即可.

乙乙

④正确.过点G作G「_L8。于7,GJVAETJ,GK1BC于K,想办法证明Gb=GC,即

可.

_S&AEGrAE.GJ/ifS^AEGBDS&BGDDG

⑤正确.由题意，-=1因为力七=8。，推出^=67，又因为=77=

CBG-BC-GKBCCBGBCS公BGCGC

S^-2S^

BD-GTBD

；BCGK=而，由此可得结论•

【解答】解：•••△48C是等边三角形，

：.AB=AC=BC,ZACB=ZBAC=6G°,

在AABD和△。1七中，

AB=AC

Z.BAD=Z.ACE=60°,

AD=CE

中考撤号

:•△ABDgACAE(SAS),故①正确，

:・NCAE=N4BD,

,//BFE=NBAE+NABD,

；・NBFE=NB4E+NG4E=/BAC=60°,

,:ZAEC=4EBF,/BFE,

:・/AEC=NFBE+60°,

VZCBD,N4EC的平分线交于4c边上的点G,

1111

/.ZGEC=-ZAEC=-ZFBE^O°,ZGBE=-CBD=~ZFBE,

乙乙乙乙

•・•ZGEC=NGBE+NBGE,

・・・NBGE=300,故②正确,

,:FG平分乙DFE,BG平分NFBE,

111

・••同法可得N4G少=5N/1E8=5(NE4C+/C)=-ZEJC+300,

11

,：ZABG=ZABD+ZDBG=ZABD+-(60°-ZABD)="Z/f^D+30°,

NABD=NEAC,

:・NABG=NBGF,故③正确，

过点G作Gr1B。于7,于/GK1.BC于K,

■:GB平分乙DBC,GE平分N.4EC,

:.GT=GK=GJ,

•・・NGE7=NC=60°,/GJF=/GKC=90°,

•••△G"且△GKC(AAS),

:・GF=GC,

•：NB4H+NEAC=NE4C+N4GF=6()°,

・•・NBAH=N/1GF,

/AHG=ZABG+ZBAH,ZAGH=ZBGF+ZAGF,

・•・ZAHG=ZAGH,

：,AH=AG,

：.AH+GF=AG+GC=AC=AB,

中考撤号

:.AB=AH+GF,故④正确，

..S△的7jgG/_竺

'S^CBG~yBC-GK~BCf

•：AE=BD,

SAAEGBD

,,S^CBGBC'

S^BGDDG”D•GTBD

,△BGCGCl-BC^GKBC

故选:A.

AG

【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键

是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

10.如图，在△力8c中，AC=BC,N/iC4=9（T,AE平分NBAC交BC于E,BDLAE于D,DMLAC

交XC的延长线于M,连接CD,给出四个结论①4。。=45°；②BD=』AE；③AC+CE=AB；®AB

AC+AB

-BC=2MCx⑤为定值，其中正确的结论有（）个

.VD

C.4

【分析】通过证明点力，点C,点。，点8四点共圆，由圆周角的性质可判断①；延长BD,4W交于点

F,由“力£4”可证妾△BC凡可得4£=8凡由互余的性质可求8/=28。=力£；过点E作EH工

于H,由“44S”可证4g△〃£>!,可得4C=4H,CE=EH,由直角三角形性质可得8〃="£=

CE,可判断③；由全等三角形的性质和平行线分线段成比例可判断④，设4C=8C=m用〃表示48,

中考撤号

CE,CM,AM,即可求判断⑤.

【解答】解：・：AC=BC,N4C4=90°,

••・N/4C=N3/C=45°,

,:NACB=NADB=90°,

:.点、A,点C,点D,点8四点共圆，

/.ZADC=Z.ABC=45^,ZCAD=ZCBD,ZBAD=ZBCD,

，①正确；

如图，延长4。，AM交于点、凡

•:AC=BC,NCAD=NCBD,N4CE=NBCF=90°,

:.AACEWABCF(ASA)

：.AE=BF,

•ZE平分/助C,

••・NCAD=/BAD,

:・/DBC=/DCB,且NBC/=90°,

:・CD=BD,ZBCD+ZDCF=90°,NDBC+NF=90°,

/.NDCF=NF,

:.CD=DF,

:・CD=DF=BD,

：,Bb'=2BD=AE,

故②正确；

如图，过点E作于〃，

中考撤号

■:/CAD=NBAD,AE=AE,ZACB=ZAHE=90<>,

:ACEAgAHEA(AAS)

:・AC=AH,CE=EH,

VZABC=45°,ZEHB=90°,

:・/ABC=NHEB=45°,

:.BH=HE=CE,

：.AB=AH^HB=AC^-CE,

故③正确；

•；/lB=/lC+CE=BC+CE,

：.AB-BC=CE,

■:/\ACE妾MBCF,

:・CF=CE,

：.CF=AB-BC,

*：DM±AC,N/C8=90°,

:,DM〃BC,

.BDCM1

：，~BF=~CF=2,

：.CF=2CM,

：.AB-BC=2CM,

故④正确；

设4C=8C=a,

:・AB=\'2小

：.CF=CE=BH=AB-AC=(”-1)a.

ACM=

中考教号

r-

.八/>/2+1

.•AM=------

2

AC+AB（；'24-l）a

A==2,

AM^±la

故⑤正确，

故选：。.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了四点共圆的判断，圆的性质，圆周角的性质，角平分线的性

质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，解本题的关键是添加

恰当辅助线构造全等三角形.

11.如图，在矩形48co中，E是力。边的中点，垂足为点凡连接。凡分析下列四个结论，©△

AEFs△CAB②S二DFC=4S△FDE@DF=DC④AD=网B,其中正确的结论是（）

【分析】①正确.只要证明N£4C=N4C8,NABC=NAFE=900即可；

②根据三角形的面积公式即可得到结论，

③根据已知条件得到四边形8必。石是平行四边形，求得BM=DE=、C,根据线段垂直平分线的性质得

到。M垂直平分6,于是得到结论；

④设花=〃，AB=b,则/。=20根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：①如图，过D作DM//BE交AC于N,

•・•四边形力8CQ是矩形，

:.AD〃BC,NABC=90",AD=BC,S4DCF=4S&DEF

于点尸，

:・NEAC=NACB,N4BC=NAFE=90°,

•••△AEFsACAB,故①正确；

②r.•点£是4）边的中点,

1

：•SADEF=5s△/£»尸，

中考撤号

■:AAEFSACBF,

1

AJF：CF=AEtBC=~,

乙

:•s△CDF=2S&ADF=4SADEF，故②正.确；

③•：DE“BM,BE//DM,

・•・四边形BMDE是平行四边形，

1

:・BM=DE=《BC,

:.CN=NF,

:BEL4c于点、F,DM"BE,

:.DNLCF，

••・DH垂直平分CR

:.DF=DC,

故③正确；

④设4E=a,AB=b,则4)=2。，

b2a

由△B/IES/X/QC,有一=丁，即。=J2°,

ab

CDAB2

/.tanZC//D=—AD=—AD="2•

，AD=WAB

故④正确;

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的

综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键.解题时注意：相似三角形的对应边成比

例.

中考教号

12.如图，等腰直角三角形△45。中，N历1C=9O°、AD=AE,BE和CD交于点、N,AFLBE、FGVCD

交6E的延长线于点G.下列说法：®ZABE=ZFAC；②/N垂直平分8C；③GE=GM；④BG=

AF+FG.其中正确的个数是（）

【分析】由余角的性质可求48E=/E4C,可判断①；由“S4s1”可证RtZ^BfgRt△/CD可得N/8E

=NACD,可求/CBN=NBCN,可得BN=CN,由线段垂直平分线的性质可得4V垂直平分8C,可判

斯②；由余角的性质可得N,4E?=NEWC,可得NGEM=NGME,可证GE=GM,可判断③：过G作

GHLBC于K,交力尸的延长于点〃，连BH,由“S4T可证△G/7K0△〃产K,可得GK=K〃，GF=

FH,可得力F+FG=4H,由线段垂直平分线的性质可得8〃=8G,由等腰三角形的判定和性质可得4/=

BH,可得8G=4”=力/+EG,可判断④，即可求解.

【解答】解：

/.ZJBF+Z5/lF=90o,

VZ5/iC=90°,

：.ZBAF+ZFAC=90°,

：.NABE=/FAC,故①正确；

如图，连接力N,

：.AC=AB,NA4c=90°,

中考撤号

<AD=AE,ZBAC=ZBAC,AC=AB,

：.Rt^ABE^Rt/\ACD(SAS),

：.ZABE=ZACD,

•；AC=/IB,

：,ZABC=ZACB=45°,

/.4CBN=乙BCN,

:・BN=CN,

又•：AB=AC,

，4V垂直平分AC,故②正确；

•••Rt△48E四Rt△力CO,

；・NBEA=NADC,

又•••G/7J_OC,

/.ZFMC+ZDCM=90°,

而N/IQC+NDCA/=90°,

・•・ZAEB=ZFMC,

:./GEM=NGME,

:・GE=GM,故③正确.

如上图，过G作GH_L8C于K,交力尸的延长于点〃，连BH,

VCD1FG,AF1.BG,

:,/GFC+/BCN=90°,/CBN+/BFAS,

AZGFC=ZAFB,

・•・ZGFC=/HFK,

在△GFK和△〃户K中，

ZGFK=NHFK

FK=FK,

"KF=乙HKF

:.△GFK@AHFK(SAS),

:・GK=KH,GF=FH,

:.AF+FG=AF+FH=AH,

,:GK=KH,GH1BC,

中考撤号

又•：BC1GII,

：,NGBC=NHBC=/BCD,

VZJ5C+ZJC5=90°，

AZABC+ZBCD=90°-NACD,

/./4BC+/GBC=/ABC+/HBC=NABH=98-^ACD,

〈NB4H=90°-ZFAC,ZABE=ZCAF=ZACD,

/.ZABH=ZBAH,

:.AH=BH,

：.BG=AH=AF+FG,故④正确，

故选：。.

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平

分线的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

二.填空题

13.如图，在平面直角坐标中，AACB=W,ZBAC=30°,BC=2,点/I在x轴的正半轴上滑动，点、B

在y轴的正半轴上滑动，点4点4在滑动过程中可与原点。重合，下列结论：

①若C、O两点关于48对称，则。/=2G；

②C,。两点之间的最大距离为4：

③当80=8。时°,则48_LC0；

的中点。运动路径的长为会.

其中正确的是一①②③（写出所有正确结论的序号）.

【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求力。和力8,由对称的性质可知：是OC

的垂直平分线，所以。4=/G

中考核等

②当OC经过的中点£时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；

③如图2,当NABO=30。时，易证四边形。1C8是矩形，此时力4与CO互相平分，但所夹锐角为

60°,明显不垂直，或者根据四点共圆可知力、C、B、。四点共圆，则力4为直径，由垂径定理相关推

论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，与OC互

相平分，但48与OC不一定垂直；

④如图3,半径为2,圆心角为90・，根据弧长公式进行计算即可.

【解答】解：在Rt△4?。中，・・・8C=2,ZBAC=30°,

AC=\42—22=2小,

①若C、。两点关于对称，如图1,

图1

・・・力4是OC的垂直平分线，

则OA=AC=25

所以①正确；

②如图1,取48的中点为£,连接OE、CE,

■:NAOB=/ACB=90°,

1

：.OE=CE=~AB=2,

乙

当OC经过点E时，。。最大，

则C、O两点距离的最大值为4：

所以②正确；

③如图2,

中考撤号

在和Rta/CB中，

fBO=BC

\AB=ABf

/.RtAJ(95^RtAJC5(HL),

：.AC=AO,OB=OC,

・・・力4垂直平分。C.

所以③正确；

④如图3,

图3

1

斜边48的中点。运动路径是：以。为圆心，以2为半径的圆周的了，

4

90zrx2

则：FT"

所以④不正确；

综上所述，本题正确的有：①②③；

故答案为：①②③.

【点评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三

角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三

中考撤号

角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中.

14.如图，△力4c中，力。为8c上的中线，ZEBC=ZACB,ZZ?EC=120°,点/在4c的延长线上，连

接DF,DF=AD,AC-BE=5,CF=1,则力8=7.

【分析】延长力。到G,使。G=%。，连接8G,CG,GF,过点C作C〃J_8G于，，过作CALL8E于

N,由平行四边形的判定可证四边形力8GC是平行四边形，可得力C〃8G,AC=BG,AB=CG,由

“44r可证△BCNg/XZ^C”,可得BN=BH,CN=CH,由三个角是直角是四边形是矩形可证四边形

3G4是矩形，可得〃G=W=1,由线段的数量关系可求£V的长，由直角三角形的性质可求CN=C"

=4小，由勾股定理可求CG的长，即可求解.

【解答】解如图，延长4?到G,使QG=/。，连接4G,CG,GF,过点。作C〃_L4G于〃，过作CN

LBE于N,

•••力。为4C上的中线，

：.BD=CD,且OG=/O,

・•・四边形ABGC是平行四边形，

：.AC//BG,AC=BG,AB=CG,

:・/ACB=/CBG,且/EBC=NACB,

：./EBC=/CBG,且NN=NCHB=90",BC=BC,

：.4BCNg4BCHCAAS),

中考核等

:.BN=BH,CN=CH,

•：AC-BE=5,

：.BG-BE=BH+HG-BE=BN+HG-BE=EN+HG=5,

•:4D=DF,AD=DG,

:・AD=DF=DG,

・・・N"G=9（T,

•:AC"BG、CH±BG,

:.CH1AF,且C〃_LBG,Z/iFG=90°,

・•・四边形CFG〃是矩形，

:.CF=HG=\,

:・EN=4,

VZ5£C=120°,

・・・NNEC=60°，且NN=90°,

:・NC=^EN=4邓,

：.CH=4^f

：.AB=CG=J"+g=J48+1=7,

故答案为：7.

【点评】本题是三角形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判

定和性质，勾股定理等知识，添加